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Esercizio 38  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Un corpo di massa m è attaccato ad un filo inestensibile, di lunghezza \ell e massa trascurabile, a un punto P della superficie laterale di un disco di raggio R<\ell/\pi e con l’asse di simmetria parallelo al suolo. Si assuma che il disco sia fermo e che inizialmente il corpo pende liberamente sotto l’azione della forza peso (si veda la figura 1). Si mette in movimento il corpo con velocità \vec{v}_0 perpendicolare al filo e all’asse del disco, dopo di che, il filo si avvolge attorno al disco. Si chiami \theta l’angolo che forma il raggio R con l’orizzontale, nel verso indicato nella figura 1, assumendo che \theta\in[0,\pi]. Si richiede di determinare

  1. il modulo della tensione \vec{\tau} del filo in funzione dell’angolo \theta;
  2. il valore minimo \vec{v}_{\min} del modulo della velocità iniziale tale per cui il corpo riesca ad avvolgersi intorno a metà circonferenza.

 

 

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Premessa.  Di seguito proponiamo due metodi differenti per il punto 1 del problema: il primo è più intuitivo e veloce del secondo, mentre il secondo sfrutta l’uso delle coordinate polari, da cui conti maggiormente tediosi.

Svolgimento. Punto 1. Metodo 1. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxyz, tale per cui O coincida con il centro del disco, e l’asse z con l’asse di simmetria del disco. Di seguito, nella figura 2, rappresentiamo il corpo mentre si avvolge sulla circonferenza in un generico istante t>0.

 

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Sulla massa m, nel generico istante t>0, agiscono la tensione \vec{\tau} e la forza peso m\vec{g}, come rappresentato in figura 2.
Dalla geometria del problema, si evince che la posizione lungo l’asse delle x e delle y della massa m, sono rispettivamente

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x=-\left(R\cos \theta -\left(\ell-R\theta\right)\sin \theta\right)\\ y=-R\sin\theta-\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta, \end{cases} \end{equation*}

oppure

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} x+R\cos \theta =\left(\ell-R\theta\right)\sin \theta\\ y+R\sin\theta=-\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta. \end{cases} \end{equation*}

Elevando al quadrato, ambo i membri delle equazioni (2)_1 e (2)_2, si ottiene

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} \left(x+R\cos \theta\right)^2 =\left(\ell-R\theta\right)^2\sin^2 \theta\\ \left(y+R\sin\theta\right)^2=\left(\ell-R\theta\right)^2\cos^2\theta. \end{cases} \end{equation*}

Sommando, membro a membro delle equazioni (3)_1 e (3)_2, si trova

(4)   \begin{equation*} \left(x+R\cos \theta\right)^2 +\left(y+R\sin\theta\right)^2=\left(\ell-R\theta\right)^2. \end{equation*}

L’equazione (4) rappresenta l’equazione di una circonferenza di centro (-R\cos \theta,-R\sin\theta) e raggio \tilde{R}=\ell-R\theta.
Dunque, da quanto ottenuto, deduciamo che il punto (-R\cos \theta,-R\sin\theta) è il centro della circonferenza osculatrice per m; pertanto proiettando le forze nella direzione normale, si ha

(5)   \begin{equation*} \tau=mg\cos \theta+\dfrac{mv^2}{\ell-R\theta}. \end{equation*}

Osserviamo che

(6)   \begin{equation*} \begin{aligned} &\vec{\tau}\cdot\left(\dot{x}(t)\,\hat{x}+\dot{y}(t)\,\hat{y}\right)=\\ &=\left(\tau\cos \theta \,\hat{y}-\tau\sin \theta \,\hat{x}\right)\cdot\left(\dot{x}(t)\,\hat{x}+\dot{y}(t)\,\hat{y}\right)=\\ &=\left(\tau\cos \theta \,\hat{y}-\tau\sin \theta \,\hat{x}\right)\cdot\left(\dot{\theta} \cos\theta(\ell-R\theta)\,\hat{x}+\dot{\theta} \sin\theta(\tau-R\theta)\,\hat{y}\right)=\\ &=\tau\dot{\theta}\cos\theta\sin\theta(\ell-R\theta)-\tau\dot{\theta}\cos\theta\sin\theta(\ell-R\theta)=0, \end{aligned} \end{equation*}

pertanto il prodotto scalare tra la velocità e la tensione è in ogni istante zero, da cui deduciamo che il lavoro complessivo fatto dalla tensione \vec{\tau} per fare un angolo \theta è zero. La forza peso è conservativa, e quindi si conserva l’energia meccanica in ogni istante per il punto materiale di massa m. Per la conservazione dell’energia, si ha

(7)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2=mg\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right), \end{equation*}

dove v è il modulo della velocità del corpo di massa m in un generico istante t>0. Dall’equazione (7), si ottiene

(8)   \begin{equation*} \dfrac{mv^2}{\ell-R\theta}=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+\dfrac{2mg}{\ell-R\theta}\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell -R\theta\right)\cos\theta\right). \end{equation*}

Mettendo a sistema l’equazione (8) con l’equazione (5), si giunge ad

(9)   \begin{equation*} \begin{aligned} \tau&=mg\cos \theta+\dfrac{mv^2}{\ell-R\theta}=\\[10pt] &=mg\cos \theta+\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+\dfrac{2mg}{\ell-R\theta}\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell -R\theta\right)\cos\theta\right)=\\[10pt] &=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+\dfrac{mg}{\ell-R\theta}\left(-2\ell+2R\sin\theta+2\cos\theta\left(\ell-R\theta\right)+\cos\theta\left(\ell-R\theta\right)\right)=\\ &=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+\dfrac{mg}{\ell-R\theta}\left(2\left(-\ell+R\sin\theta\right)+3\cos\theta\left(\ell-R\theta\right)\right)=\\[10pt] &=\tau=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+mg\left(\dfrac{2\left(-\ell+R\sin\theta\right)}{\ell-R\theta}+3\cos\theta\right). \end{aligned} \end{equation*}

Si conclude che il modulo della tensione è

    \[\boxcolorato{fisica}{\tau=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+mg\left(\dfrac{2\left(-\ell+R\sin\theta\right)}{\ell-R\theta}+3\cos\theta\right).}\]

 

Punto 1. Metodo 2. Derivando rispetto al tempo, ambo i membri delle equazioni (2)_1 e (2)_2, si ottiene

(10)   \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}=R\dot{\theta}\sin \theta -R\dot{\theta}\sin \theta +\dot{\theta}\cos \theta\left(\ell-R\theta\right)\\ \dot{y}=-R\dot{\theta}\cos \theta +R\dot{\theta}\cos \theta +\dot{\theta}\sin \theta\left(\ell-R\theta\right) , \end{cases} \end{equation*}

o anche

(11)   \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}=\dot{\theta}\cos \theta\left(\ell-R\theta\right)\\ \dot{y}=\dot{\theta}\sin \theta\left(\ell-R\theta\right). \end{cases} \end{equation*}

Derivando rispetto al tempo, ambo i membri dell’equazione (11)_1, si trova

(12)   \begin{equation*} \ddot{x}=-R\dot{\theta}^2\cos \theta +\left(\ell-R\theta\right)\ddot{\theta}\cos \theta -\left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2\sin \theta. \end{equation*}

Il modulo quadro della velocità è

(13)   \begin{equation*} \dot{x}^2+\dot{y}^2=\dot{\theta}^2\cos^2 \theta\left(\ell-R\theta\right)^2+\dot{\theta}^2\sin^2 \theta\left(\ell-R\theta\right)^2=\dot{\theta}^2\left(\ell-R\theta\right)^2, \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato i risultati ottenuti nel sistema (11).

Per la conservazione dell’energia, in un generico istante t>0, si ha

(14)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)-\dfrac{1}{2}mv_i^2=mg\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right), \end{equation*}

da cui, sfruttando il risultato pervenuto nell’equazione (13), l’equazione precedente diventa

(15)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}\dot{\theta}^2\left(\ell-R\theta\right)^2-\dfrac{1}{2}v_i^2=g\left(-\ell+R\sin\theta+ \left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right), \end{equation*}

cioè

(16)   \begin{equation*} \boxed{\dot{\theta}^2=\dfrac{v_i^2+2g\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right)}{\left(\ell-R\theta\right)^2}.} \end{equation*}

Deriviamo rispetto al tempo, ambo i membri della precedente equazione, ottenendo

(17)   \begin{equation*} \begin{aligned} 2\dot{\theta}\ddot{\theta}&=\dfrac{2g\left(R\dot{\theta}\cos \theta-R\dot{\theta}\cos \theta +\left(R\theta-\ell\right)\dot{\theta}\sin\theta\right)\left(\ell-R\theta\right)^2}{\left(\ell-R\theta\right)^4}+\\ &-\dfrac{\left(v_i^2+2g\left(R\sin\theta-\ell-\left(R\theta-\ell\right)\cos\theta\right)\right)2\left(\ell-R\theta\right)\left(-R\dot{\theta}\right)}{\left(\ell-R\theta\right)^4}, \end{aligned} \end{equation*}

da cui

(18)   \begin{equation*} \begin{aligned} 2\ddot{\theta}&=-\dfrac{2g\sin\theta\left(\ell-R\theta\right)^2}{\left(\ell-R\theta\right)^3}+\dfrac{2R\left(\ell-R\theta\right)\left(v_i^2+2g\left(R\sin\theta-\ell-\left(R\theta-\ell\right)\cos\theta\right)\right)}{\left(\ell-R\theta\right)^4}, \end{aligned} \end{equation*}

o anche

(19)   \begin{equation*} \begin{aligned} \ddot{\theta}&=-\dfrac{g\sin\theta}{\left(\ell-R\theta\right)}+\dfrac{R}{\ell-R\theta}\,\underbrace{\dfrac{\left(v_i^2+2g\left(R\sin\theta-\ell-\left(R\theta-\ell\right)\cos\theta\right)\right)}{\left(\ell-R\theta\right)^2}}_{=\dot{\theta}^2}, \end{aligned} \end{equation*}

cioè

(20)   \begin{equation*} \boxed{\ddot{\theta}=\dfrac{R\dot{\theta}^2-g\sin\theta}{\ell-R\theta}.} \end{equation*}

Dalla seconda legge della dinamica, proiettando la tensione nella direzione dell’asse delle x, si ottiene

(21)   \begin{equation*} -\tau\sin\theta=m\ddot{x}, \end{equation*}

che sfruttando il risultato pervenuto nell’equazione (12) diventa

(22)   \begin{equation*} -\tau\sin\theta=m\left(-R\dot{\theta}^2\cos \theta +\left(\ell-R\theta\right)\ddot{\theta}\cos \theta -\left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2\sin \theta\right). \end{equation*}

Sostituendo \ddot{\theta} (calcolato nell’equazione (20)) nella precedente equazione, si ottiene

(23)   \begin{equation*} -\tau\sin\theta=m\left(-R\dot{\theta}^2\cos \theta -\left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2\sin \theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos \theta\left(\dfrac{R\dot{\theta}^2-g\sin\theta}{\ell-R\theta}\right)\right), \end{equation*}

ovvero

(24)   \begin{equation*} -\tau\sin\theta=m\left(-R\dot{\theta}^2\cos \theta -\left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2\sin \theta+\cos \theta\left({R\dot{\theta}^2-g\sin\theta}\right)\right), \end{equation*}

o anche

(25)   \begin{equation*} -\tau\sin\theta=-m\left( \left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2\sin \theta+g\sin\theta\cos \theta\right), \end{equation*}

cioè

(26)   \begin{equation*} \tau=m\left( \left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2+g\cos \theta\right). \end{equation*}

Sostituendo \dot{\theta}^2 (calcolato nell’equazione (16)) nella precedente equazione, si trova

(27)   \begin{equation*} \begin{aligned} \tau&=m\left( \left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2+g\cos \theta\right)=\\ &=m\left( \left(\ell-R\theta\right)\left(\dfrac{v_i^2+2g\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right)}{\left(\ell-R\theta\right)^2}\right)+g\cos \theta\right)=\\ &=m\left( \dfrac{v_i^2+2g\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right)}{\ell-R\theta}+g\cos \theta\right)=\\ &=m\left( \dfrac{v_i^2}{\ell-R\theta}+\dfrac{2g\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right)+g\left(\ell-R\theta\right)}{\ell-R\theta}\right)=\\ &=m\left( \dfrac{v_i^2}{\ell-R\theta}+\dfrac{2g\left(-\ell+R\sin\theta\right)}{\ell-R\theta}+\dfrac{2g\cos\theta\left(\ell-R\theta\right)+g\cos\theta\left(\ell-R\theta\right)}{\ell-R\theta}\right)=\\ &=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+mg\left(\dfrac{2g\left(-\ell+R\sin\theta\right)}{\ell-R\theta}+3g\cos\theta\right). \end{aligned} \end{equation*}

Si conclude che il modulo della tensione è

    \[\boxcolorato{fisica}{\tau=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+mg\left(\dfrac{2\left(-\ell+R\sin\theta\right)}{\ell-R\theta}+3\cos\theta\right).}\]

 

Punto 2. Per percorrere metà circonferenza il punto materiale deve fare un angolo pari ad \theta=\pi. Sostituendo \theta=\pi nell’espressione trovata per \tau al primo punto del problema, si ha

(28)   \begin{equation*} \tau=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\pi}+mg\left(\dfrac{-2\ell}{\ell-R\pi}-3\right). \end{equation*}

La condizione per determinare la velocità minima richiesta è quella velocità tale per cui, una volta fatto un angolo pari ad \theta=\pi, la tensione \tau risulti nulla, cioè

(29)   \begin{equation*} \tau=\dfrac{mv_{\min}^2}{\ell-R\pi}+mg\left(\dfrac{-2\ell}{\ell-R\pi}-3\right)=0, \end{equation*}

da cui

(30)   \begin{equation*} {mv_{\min}^2}+mg{\left(\ell-R\pi\right)}\left(\dfrac{-2\ell}{\ell-R\pi}-3\right)=0, \end{equation*}

oppure

(31)   \begin{equation*} {v_{\min}^2}+g\left({-2\ell}-3\left(\ell-R\pi\right)\right)=0, \end{equation*}

ovvero

(32)   \begin{equation*} {v_{\min}^2}=g\left(5\ell-3R\pi\right), \end{equation*}

cioè

(33)   \begin{equation*} v_{\min}=\sqrt{g\left(5\ell-3R\pi\right)}. \end{equation*}

Si conclude che il modulo della velocità è

    \[\boxcolorato{fisica}{v_{\min}=\sqrt{g\left(5\ell-3R\pi\right)}.}\]

Per ipotesi sappiamo che \ell>\pi R, pertanto vale 5\ell>5R\pi >3R\pi, e quindi l’espressione della velocità v_{\min} trovata risulta essere ben definita. Inoltre, si osservi che, la condizione \ell>\pi R vuol dire che la lunghezza \ell del filo deve essere maggiore della lunghezza di metà circonferenza; pertanto per una velocità iniziale v_0>v_{\min} il filo può avvolgersi intorno alla circonferenza per un angolo \theta>\pi.