Esercizio lavoro ed energia 38

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 38 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m$ è attaccato ad un filo inestensibile, di lunghezza $\ell$ e massa trascurabile, a un punto $P$ della superficie laterale di un disco di raggio $R<\ell/\pi$ e con l’asse di simmetria parallelo al suolo. Si assuma che il disco sia fermo e che inizialmente il corpo pende liberamente sotto l’azione della forza peso (si veda la figura 1). Si mette in movimento il corpo con velocità $\vec{v}_0$ perpendicolare al filo e all’asse del disco, dopo di che, il filo si avvolge attorno al disco. Si chiami $\theta$ l’angolo che forma il raggio $R$ con l’orizzontale, nel verso indicato nella figura 1, assumendo che $\theta\in[0,\pi]$ . Si richiede di determinare

il modulo della tensione $\vec{\tau}$ del filo in funzione dell’angolo $\theta$ ;
il valore minimo $\vec{v}_{\min}$ del modulo della velocità iniziale tale per cui il corpo riesca ad avvolgersi intorno a metà circonferenza.

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Premessa. Di seguito proponiamo due metodi differenti per il punto 1 del problema: il primo è più intuitivo e veloce del secondo, mentre il secondo sfrutta l’uso delle coordinate polari, da cui conti maggiormente tediosi.

Svolgimento. Punto 1. Metodo 1. Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oxyz$ , tale per cui $O$ coincida con il centro del disco, e l’asse $z$ con l’asse di simmetria del disco. Di seguito, nella figura 2, rappresentiamo il corpo mentre si avvolge sulla circonferenza in un generico istante $t>0$ .

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Sulla massa $m$ , nel generico istante $t>0$ , agiscono la tensione $\vec{\tau}$ e la forza peso $m\vec{g}$ , come rappresentato in figura 2.
Dalla geometria del problema, si evince che la posizione lungo l’asse delle $x$ e delle $y$ della massa $m$ , sono rispettivamente

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} x=-\left(R\cos \theta -\left(\ell-R\theta\right)\sin \theta\right)\\ y=-R\sin\theta-\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta, \end{cases} \end{equation*}$

oppure

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} x+R\cos \theta =\left(\ell-R\theta\right)\sin \theta\\ y+R\sin\theta=-\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta. \end{cases} \end{equation*}$

Elevando al quadrato, ambo i membri delle equazioni (2) $_1$ e (2) $_2$ , si ottiene

(3) $\begin{equation*} \begin{cases} \left(x+R\cos \theta\right)^2 =\left(\ell-R\theta\right)^2\sin^2 \theta\\ \left(y+R\sin\theta\right)^2=\left(\ell-R\theta\right)^2\cos^2\theta. \end{cases} \end{equation*}$

Sommando, membro a membro delle equazioni (3) $_1$ e (3) $_2$ , si trova

(4) $\begin{equation*} \left(x+R\cos \theta\right)^2 +\left(y+R\sin\theta\right)^2=\left(\ell-R\theta\right)^2. \end{equation*}$

L’equazione (4) rappresenta l’equazione di una circonferenza di centro $(-R\cos \theta,-R\sin\theta)$ e raggio $\tilde{R}=\ell-R\theta$ .
Dunque, da quanto ottenuto, deduciamo che il punto $(-R\cos \theta,-R\sin\theta)$ è il centro della circonferenza osculatrice per $m$ ; pertanto proiettando le forze nella direzione normale, si ha

(5) $\begin{equation*} \tau=mg\cos \theta+\dfrac{mv^2}{\ell-R\theta}. \end{equation*}$

Osserviamo che

(6) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\vec{\tau}\cdot\left(\dot{x}(t)\,\hat{x}+\dot{y}(t)\,\hat{y}\right)=\\ &=\left(\tau\cos \theta \,\hat{y}-\tau\sin \theta \,\hat{x}\right)\cdot\left(\dot{x}(t)\,\hat{x}+\dot{y}(t)\,\hat{y}\right)=\\ &=\left(\tau\cos \theta \,\hat{y}-\tau\sin \theta \,\hat{x}\right)\cdot\left(\dot{\theta} \cos\theta(\ell-R\theta)\,\hat{x}+\dot{\theta} \sin\theta(\tau-R\theta)\,\hat{y}\right)=\\ &=\tau\dot{\theta}\cos\theta\sin\theta(\ell-R\theta)-\tau\dot{\theta}\cos\theta\sin\theta(\ell-R\theta)=0, \end{aligned} \end{equation*}$

pertanto il prodotto scalare tra la velocità e la tensione è in ogni istante zero, da cui deduciamo che il lavoro complessivo fatto dalla tensione $\vec{\tau}$ per fare un angolo $\theta$ è zero. La forza peso è conservativa, e quindi si conserva l’energia meccanica in ogni istante per il punto materiale di massa $m$ . Per la conservazione dell’energia, si ha

(7) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2=mg\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right), \end{equation*}$

dove $v$ è il modulo della velocità del corpo di massa $m$ in un generico istante $t>0$ . Dall’equazione (7), si ottiene

(8) $\begin{equation*} \dfrac{mv^2}{\ell-R\theta}=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+\dfrac{2mg}{\ell-R\theta}\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell -R\theta\right)\cos\theta\right). \end{equation*}$

Mettendo a sistema l’equazione (8) con l’equazione (5), si giunge ad

(9) $\begin{equation*} \begin{aligned} \tau&=mg\cos \theta+\dfrac{mv^2}{\ell-R\theta}=\\[10pt] &=mg\cos \theta+\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+\dfrac{2mg}{\ell-R\theta}\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell -R\theta\right)\cos\theta\right)=\\[10pt] &=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+\dfrac{mg}{\ell-R\theta}\left(-2\ell+2R\sin\theta+2\cos\theta\left(\ell-R\theta\right)+\cos\theta\left(\ell-R\theta\right)\right)=\\ &=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+\dfrac{mg}{\ell-R\theta}\left(2\left(-\ell+R\sin\theta\right)+3\cos\theta\left(\ell-R\theta\right)\right)=\\[10pt] &=\tau=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+mg\left(\dfrac{2\left(-\ell+R\sin\theta\right)}{\ell-R\theta}+3\cos\theta\right). \end{aligned} \end{equation*}$

Si conclude che il modulo della tensione è

$\boxcolorato{fisica}{\tau=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+mg\left(\dfrac{2\left(-\ell+R\sin\theta\right)}{\ell-R\theta}+3\cos\theta\right).}$

Punto 1. Metodo 2. Derivando rispetto al tempo, ambo i membri delle equazioni (2) $_1$ e (2) $_2$ , si ottiene

(10) $\begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}=R\dot{\theta}\sin \theta -R\dot{\theta}\sin \theta +\dot{\theta}\cos \theta\left(\ell-R\theta\right)\\ \dot{y}=-R\dot{\theta}\cos \theta +R\dot{\theta}\cos \theta +\dot{\theta}\sin \theta\left(\ell-R\theta\right) , \end{cases} \end{equation*}$

o anche

(11) $\begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}=\dot{\theta}\cos \theta\left(\ell-R\theta\right)\\ \dot{y}=\dot{\theta}\sin \theta\left(\ell-R\theta\right). \end{cases} \end{equation*}$

Derivando rispetto al tempo, ambo i membri dell’equazione (11) $_1$ , si trova

(12) $\begin{equation*} \ddot{x}=-R\dot{\theta}^2\cos \theta +\left(\ell-R\theta\right)\ddot{\theta}\cos \theta -\left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2\sin \theta. \end{equation*}$

Il modulo quadro della velocità è

(13) $\begin{equation*} \dot{x}^2+\dot{y}^2=\dot{\theta}^2\cos^2 \theta\left(\ell-R\theta\right)^2+\dot{\theta}^2\sin^2 \theta\left(\ell-R\theta\right)^2=\dot{\theta}^2\left(\ell-R\theta\right)^2, \end{equation*}$

dove abbiamo sfruttato i risultati ottenuti nel sistema (11).

Per la conservazione dell’energia, in un generico istante $t>0$ , si ha

(14) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)-\dfrac{1}{2}mv_i^2=mg\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right), \end{equation*}$

da cui, sfruttando il risultato pervenuto nell’equazione (13), l’equazione precedente diventa

(15) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}\dot{\theta}^2\left(\ell-R\theta\right)^2-\dfrac{1}{2}v_i^2=g\left(-\ell+R\sin\theta+ \left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right), \end{equation*}$

cioè

(16) $\begin{equation*} \boxed{\dot{\theta}^2=\dfrac{v_i^2+2g\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right)}{\left(\ell-R\theta\right)^2}.} \end{equation*}$

Deriviamo rispetto al tempo, ambo i membri della precedente equazione, ottenendo

(17) $\begin{equation*} \begin{aligned} 2\dot{\theta}\ddot{\theta}&=\dfrac{2g\left(R\dot{\theta}\cos \theta-R\dot{\theta}\cos \theta +\left(R\theta-\ell\right)\dot{\theta}\sin\theta\right)\left(\ell-R\theta\right)^2}{\left(\ell-R\theta\right)^4}+\\ &-\dfrac{\left(v_i^2+2g\left(R\sin\theta-\ell-\left(R\theta-\ell\right)\cos\theta\right)\right)2\left(\ell-R\theta\right)\left(-R\dot{\theta}\right)}{\left(\ell-R\theta\right)^4}, \end{aligned} \end{equation*}$

da cui

(18) $\begin{equation*} \begin{aligned} 2\ddot{\theta}&=-\dfrac{2g\sin\theta\left(\ell-R\theta\right)^2}{\left(\ell-R\theta\right)^3}+\dfrac{2R\left(\ell-R\theta\right)\left(v_i^2+2g\left(R\sin\theta-\ell-\left(R\theta-\ell\right)\cos\theta\right)\right)}{\left(\ell-R\theta\right)^4}, \end{aligned} \end{equation*}$

o anche

(19) $\begin{equation*} \begin{aligned} \ddot{\theta}&=-\dfrac{g\sin\theta}{\left(\ell-R\theta\right)}+\dfrac{R}{\ell-R\theta}\,\underbrace{\dfrac{\left(v_i^2+2g\left(R\sin\theta-\ell-\left(R\theta-\ell\right)\cos\theta\right)\right)}{\left(\ell-R\theta\right)^2}}_{=\dot{\theta}^2}, \end{aligned} \end{equation*}$

cioè

(20) $\begin{equation*} \boxed{\ddot{\theta}=\dfrac{R\dot{\theta}^2-g\sin\theta}{\ell-R\theta}.} \end{equation*}$

Dalla seconda legge della dinamica, proiettando la tensione nella direzione dell’asse delle $x$ , si ottiene

(21) $\begin{equation*} -\tau\sin\theta=m\ddot{x}, \end{equation*}$

che sfruttando il risultato pervenuto nell’equazione (12) diventa

(22) $\begin{equation*} -\tau\sin\theta=m\left(-R\dot{\theta}^2\cos \theta +\left(\ell-R\theta\right)\ddot{\theta}\cos \theta -\left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2\sin \theta\right). \end{equation*}$

Sostituendo $\ddot{\theta}$ (calcolato nell’equazione (20)) nella precedente equazione, si ottiene

(23) $\begin{equation*} -\tau\sin\theta=m\left(-R\dot{\theta}^2\cos \theta -\left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2\sin \theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos \theta\left(\dfrac{R\dot{\theta}^2-g\sin\theta}{\ell-R\theta}\right)\right), \end{equation*}$

ovvero

(24) $\begin{equation*} -\tau\sin\theta=m\left(-R\dot{\theta}^2\cos \theta -\left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2\sin \theta+\cos \theta\left({R\dot{\theta}^2-g\sin\theta}\right)\right), \end{equation*}$

o anche

(25) $\begin{equation*} -\tau\sin\theta=-m\left( \left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2\sin \theta+g\sin\theta\cos \theta\right), \end{equation*}$

cioè

(26) $\begin{equation*} \tau=m\left( \left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2+g\cos \theta\right). \end{equation*}$

Sostituendo $\dot{\theta}^2$ (calcolato nell’equazione (16)) nella precedente equazione, si trova

(27) $\begin{equation*} \begin{aligned} \tau&=m\left( \left(\ell-R\theta\right)\dot{\theta}^2+g\cos \theta\right)=\\ &=m\left( \left(\ell-R\theta\right)\left(\dfrac{v_i^2+2g\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right)}{\left(\ell-R\theta\right)^2}\right)+g\cos \theta\right)=\\ &=m\left( \dfrac{v_i^2+2g\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right)}{\ell-R\theta}+g\cos \theta\right)=\\ &=m\left( \dfrac{v_i^2}{\ell-R\theta}+\dfrac{2g\left(-\ell+R\sin\theta+\left(\ell-R\theta\right)\cos\theta\right)+g\left(\ell-R\theta\right)}{\ell-R\theta}\right)=\\ &=m\left( \dfrac{v_i^2}{\ell-R\theta}+\dfrac{2g\left(-\ell+R\sin\theta\right)}{\ell-R\theta}+\dfrac{2g\cos\theta\left(\ell-R\theta\right)+g\cos\theta\left(\ell-R\theta\right)}{\ell-R\theta}\right)=\\ &=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+mg\left(\dfrac{2g\left(-\ell+R\sin\theta\right)}{\ell-R\theta}+3g\cos\theta\right). \end{aligned} \end{equation*}$

Si conclude che il modulo della tensione è

$\boxcolorato{fisica}{\tau=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\theta}+mg\left(\dfrac{2\left(-\ell+R\sin\theta\right)}{\ell-R\theta}+3\cos\theta\right).}$

Punto 2. Per percorrere metà circonferenza il punto materiale deve fare un angolo pari ad $\theta=\pi$ . Sostituendo $\theta=\pi$ nell’espressione trovata per $\tau$ al primo punto del problema, si ha

(28) $\begin{equation*} \tau=\dfrac{mv_i^2}{\ell-R\pi}+mg\left(\dfrac{-2\ell}{\ell-R\pi}-3\right). \end{equation*}$

La condizione per determinare la velocità minima richiesta è quella velocità tale per cui, una volta fatto un angolo pari ad $\theta=\pi$ , la tensione $\tau$ risulti nulla, cioè

(29) $\begin{equation*} \tau=\dfrac{mv_{\min}^2}{\ell-R\pi}+mg\left(\dfrac{-2\ell}{\ell-R\pi}-3\right)=0, \end{equation*}$

da cui

(30) $\begin{equation*} {mv_{\min}^2}+mg{\left(\ell-R\pi\right)}\left(\dfrac{-2\ell}{\ell-R\pi}-3\right)=0, \end{equation*}$

oppure

(31) $\begin{equation*} {v_{\min}^2}+g\left({-2\ell}-3\left(\ell-R\pi\right)\right)=0, \end{equation*}$

ovvero

(32) $\begin{equation*} {v_{\min}^2}=g\left(5\ell-3R\pi\right), \end{equation*}$

cioè

(33) $\begin{equation*} v_{\min}=\sqrt{g\left(5\ell-3R\pi\right)}. \end{equation*}$

Si conclude che il modulo della velocità è

$\boxcolorato{fisica}{v_{\min}=\sqrt{g\left(5\ell-3R\pi\right)}.}$

Per ipotesi sappiamo che $\ell>\pi R$ , pertanto vale $5\ell>5R\pi >3R\pi$ , e quindi l’espressione della velocità $v_{\min}$ trovata risulta essere ben definita. Inoltre, si osservi che, la condizione $\ell>\pi R$ vuol dire che la lunghezza $\ell$ del filo deve essere maggiore della lunghezza di metà circonferenza; pertanto per una velocità iniziale $v_0>v_{\min}$ il filo può avvolgersi intorno alla circonferenza per un angolo $\theta>\pi$ .