Esercizio lavoro ed energia 38
L’esercizio 38 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 37 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 39. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.
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Testo lavoro ed energia 38
Esercizio 38 . Un corpo di massa è attaccato ad un filo inestensibile, di lunghezza e massa trascurabile, a un punto della superficie laterale di un disco di raggio e con l’asse di simmetria parallelo al suolo. Si assuma che il disco sia fermo e che inizialmente il corpo pende liberamente sotto l’azione della forza peso (si veda la figura 1). Si mette in movimento il corpo con velocità perpendicolare al filo e all’asse del disco, dopo di che, il filo si avvolge attorno al disco. Si chiami l’angolo che forma il raggio con l’orizzontale, nel verso indicato nella figura 1, assumendo che . Si richiede di determinare
- il modulo della tensione del filo in funzione dell’angolo ;
- il valore minimo del modulo della velocità iniziale tale per cui il corpo riesca ad avvolgersi intorno a metà circonferenza.
Premessa.
Svolgimento punto 1. Metodo 1.
Sulla massa , nel generico istante , agiscono la tensione e la forza peso , come rappresentato in figura 2. Dalla geometria del problema, si evince che la posizione lungo l’asse delle e delle della massa , sono rispettivamente
(1)
(2)
Elevando al quadrato, ambo i membri delle equazioni (2) e (2), si ottiene
(3)
Sommando, membro a membro delle equazioni (3) e (3), si trova
(4)
L’equazione (4) rappresenta l’equazione di una circonferenza di centro e raggio . Dunque, da quanto ottenuto, deduciamo che il punto è il centro della circonferenza osculatrice per ; pertanto proiettando le forze nella direzione normale, si ha
(5)
Osserviamo che
(6)
pertanto il prodotto scalare tra la velocità e la tensione è in ogni istante zero, da cui deduciamo che il lavoro complessivo fatto dalla tensione per fare un angolo è zero. La forza peso è conservativa, e quindi si conserva l’energia meccanica in ogni istante per il punto materiale di massa . Per la conservazione dell’energia, si ha
(7)
dove è il modulo della velocità del corpo di massa in un generico istante . Dall’equazione (7), si ottiene
(8)
Mettendo a sistema l’equazione (8) con l’equazione (5), si giunge ad
(9)
Si conclude che il modulo della tensione è
Svolgimento punto 1. Metodo 2.
(10)
(11)
Derivando rispetto al tempo, ambo i membri dell’equazione (11), si trova
(12)
Il modulo quadro della velocità è
(13)
dove abbiamo sfruttato i risultati ottenuti nel sistema (11).
Per la conservazione dell’energia, in un generico istante , si ha
(14)
da cui, sfruttando il risultato pervenuto nell’equazione (13), l’equazione precedente diventa
(15)
(16)
Deriviamo rispetto al tempo, ambo i membri della precedente equazione, ottenendo
(17)
da cui
(18)
o anche
(19)
(20)
Dalla seconda legge della dinamica, proiettando la tensione nella direzione dell’asse delle , si ottiene
(21)
che sfruttando il risultato pervenuto nell’equazione (12) diventa
(22)
Sostituendo (calcolato nell’equazione (20)) nella precedente equazione, si ottiene
(23)
ovvero
(24)
o anche
(25)
cioè
(26)
Sostituendo (calcolato nell’equazione (16)) nella precedente equazione, si trova
(27)
Si conclude che il modulo della tensione è
Svolgimento punto 2.
Per percorrere metà circonferenza il punto materiale deve fare un angolo pari ad . Sostituendo nell’espressione trovata per al primo punto del problema, si ha
(28)
La condizione per determinare la velocità minima richiesta è quella velocità tale per cui, una volta fatto un angolo pari ad , la tensione risulti nulla, cioè
(29)
da cui
(30)
oppure
(31)
ovvero
(32)
cioè
(33)
Si conclude che il modulo della velocità è
Per ipotesi sappiamo che , pertanto vale , e quindi l’espressione della velocità trovata risulta essere ben definita. Inoltre, si osservi che, la condizione vuol dire che la lunghezza del filo deve essere maggiore della lunghezza di metà circonferenza; pertanto per una velocità iniziale il filo può avvolgersi intorno alla circonferenza per un angolo .
Esercizi di Meccanica classica
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Ulteriori risorse didattiche per la fisica
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- American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
- Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
- Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
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Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile
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Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.
L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.
Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.
Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.
Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica
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Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.
Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.
La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.