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Esercizio 37  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due blocchi di massa m_1 e m_2, collegati tra loro da una molla ideale di costante elastica k, sono appoggiati su un piano inclinato di un angolo \theta. Il piano è scabro nella parte superiore dove si trova m_1 con coefficiente di attrito statico \mu_s, ed è liscio nella parte inferiore dove si trova m_2. Nell’istante iniziale m_1 è in quiete, m_2 ha velocità di modulo v_0 e la molla è al riposo. La velocità di modulo v_0 è diretta parallelamente al piano inclinato, come in figura 1. Calcolare, nell’istante iniziale

  • l’accelerazione di m_2;
  • la forza di attrito agente su m_1.

In un certo istante successivo m_1 entra in moto. Calcolare in tale istante:

  • l’allungamento della molla;
  • la velocità di m_2.

Supporre mu_s\cos\theta-\sin\theta>0 e \left(2+\dfrac{m_1}{m_2}\right)\sin\theta-\dfrac{m_1}{m_2}\mu_s\cos\theta>0.

 

 

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Svolgimento punto 1.

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano inerziale Oxy in corrispondenza del corpo di massa m_1, con l’asse delle x tangente al piano inclinato e l’asse delle y ad esso ortogonale, come illustrato in figura 2. Costruiamo il diagramma di corpo libero per le masse m_1 e m_2. Nella configurazione in cui la molla si trova nella posizione di riposo: sul corpo m_1 agiscono la forza peso m_1\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_1 e la forza di attrito statico \vec{f}_s, mentre sul corpo m_2 agiscono la forza peso m_2\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N}_2. Tutte le forze sono rappresentate in figura 2.

 

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Dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo l’asse delle x e delle y, per il corpo di massa m_2, si ha

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x: m_2g\sin\theta=m_2a_2\\ y: N_2-m_2g\cos\theta=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x: g\sin\theta=a_2\\ y: N_2=m_2g\cos\theta. \end{cases} \end{equation*}

Dalla prima equazione del sistema (1) otteniamo

    \[\boxcolorato{fisica}{ a_2=g\sin\theta,}\]

cioè l’accelerazione del corpo m_2 nell’istante iniziale.


Svolgimento punto 2.

Per calcolare la forza di attrito statico agente sul corpo m_1 nell’istante iniziale, utilizziamo il secondo principio della dinamica proiettando le forze agenti su di esso lungo gli assi x ed y, ossia

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} x: m_1g\sin\theta-f_s=0\\ y: N_1-m_1g\cos\theta=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x: m_1g\sin\theta=f_s\\ y: N_1=m_1g\cos\theta. \end{cases} \end{equation*}

Dalla prima equazione del sistema (2) otteniamo

    \[\boxcolorato{fisica}{ f_s=m_1g\sin\theta,}\]

cioè la forza di attrito agente su m_1 nell’istante iniziale.


Svolgimento punto 3.

Nell’istante iniziale il corpo m_1 è in quiete, e il corpo m_2 ha una velocità di modulo v_0, e la molla è nella posizione di riposo; nell’istante immediatamente successivo il corpo m_2 continua a scendere e ciò provoca l’allungamento della molla. Pertanto su m_2 agisce una forza elastica \vec{F}_{\text{el}}, mentre su m_1 agisce la forza -\vec{F}_{\text{el}}. Il modulo della forza della molla è \left \vert \vec{F}_{\text{el}}\right \vert =k\Delta x, dove \Delta x rappresenta l’allungamento della molla. In figura 3 è rappresentato il diagramma di corpo libero del sistema in esame in questa nuova configurazione, in analogia a quanto già fatto al punto 2.

 

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In questa nuova configurazione il sistema (2) che descrive la dinamica del corpo m_1 diventa

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} x: m_1g\sin\theta-f_s+k\Delta x=0\\ y: N_1-m_1g\cos\theta=0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x: m_1g\sin\theta-f_s+k\Delta x=0\\ y: N_1=m_1g\cos\theta, \end{cases} \end{equation*}

dove abbiamo imposto che la somma delle forze agenti su corpo di massa m_1 lungo l’asse x è nulla perché il corpo m_1 è fermo. Chiaramente, progressivamente che il corpo m_2 scende lungo il piano inclinato la molla continua ad allungarsi e di conseguenza il modulo della forza elastica k \Delta x crescerà fino al punto di mettere in moto il corpo m_1, cioè la forza elastica raggiungerà un valore tale per cui la forza di attrito statico non sarà più in grado di tenere fermo m_1. Per calcolare quale sia il massimo allungamento della molla \Delta x_{\text{max}} per il quale il corpo m_1 entra in movimento, osserviamo che

(4)   \begin{equation*} f_s\leq f_{s,\text{max}}=\mu_s N_1=\mu_s m_1g\cos\theta, \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato l’espressione di N_1 ottenuta dalla seconda equazione del sistema (3). Dalla precedente disequazione deduciamo che la forza di attrito statico massima è f_{s,\text{max}}=m_1g\cos\theta. Sostituendo f_{s,\text{max}}=m_1g\cos\theta all’interno della prima equazione del sistema (3), abbiamo che

(5)   \begin{equation*} m_1g\sin\theta -\mu_s m_1g\cos\theta+k\Delta x_{\text{max}}=0, \end{equation*}

dove \Delta x_{\text{max}} è l’allungamento massimo cercato. Dalla precedente equazione otteniamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{\Delta x_{\text{max}}=\dfrac{m_1g}{k}(\mu_s\cos\theta-\sin\theta).}\]


Svolgimento punto 4.

Per calcolare la velocità di m_2 nell’istante in cui m_1 si mette in moto possiamo utilizzare la conservazione dell’energia meccanica dato che su m_2 agiscono solo forze conservative: la forza della molla e la forza peso. Consideriamo come istante iniziale la configurazione per cui m_2 scende lungo il piano con velocità v_0 da una certa altezza rispetto alla quota raggiunta dal corpo nell’istante finale in cui la molla risulta allungata di \Delta x_{\text{max}}, e m_2 ha velocità di modulo v da determinare, come illustrato in figura 4.

 

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Sia Oy il riferimento cartesiano inerziale con l’origine O in corrispondenza della quota alla quale si trova il corpo m_2 nell’istante finale, che definisce arbitrariamente lo zero dell’energia potenziale gravitazionale. Nella configurazione iniziale l’energia meccanica E_{\text{i}} del corpo m_2, che si trova ad una quota h dall’origine O, è data dalla somma dell’energia cinetica K_{\text{i}} e di quella potenziale gravitazionale U_{\text{peso}}, ossia

(6)   \begin{equation*} E_{\text{i}}=K_{\text{i}}+U_{\text{peso}}=\dfrac{1}{2}m_2v_{0}^2+m_2gh=\dfrac{1}{2}m_2v_{0}^2+m_2g\Delta x_{\text{max}}\sin\theta. \end{equation*}

Nella configurazione finale l’energia meccanica E_{\text{f}} del corpo m_2 è data dalla somma dell’energia cinetica K_{\text{f}} e dall’energia potenziale elastica U_{\text{el}}, per cui

(7)   \begin{equation*} E_{\text{f}}=K_{\text{f}}+U_{\text{el}}=\dfrac{1}{2}m_2v^2+\dfrac{1}{2}k\left(\Delta x_{\text{max}}\right)^2. \end{equation*}

Si osservi che nell’equazione (6) non compare il contributo energetico dato dalla molla perché è nella posizione di riposo. Dalla conservazione dell’energia meccanica segue che

(8)   \begin{equation*} E_{\text{i}}=E_{\text{f}}, \end{equation*}

ovvero usando le equazioni (6) e (7),

    \[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}m_2v_{0}^2+m_2g\Delta x_{\text{max}}\sin\theta=\dfrac{1}{2}m_2v^2+\dfrac{1}{2}k\left(\Delta x_{\text{max}}\right)^2 \quad\Leftrightarrow\quad m_2v^2=m_2v_{0}^2+2m_2g\Delta x_{\text{max}}\sin\theta-k\left(\Delta x_{\text{max}}\right)^2\quad\Leftrightarrow\quad\\ &\quad\Leftrightarrow\quad v^2=v_{0}^2+2g\Delta x_{\text{max}}\sin\theta-\dfrac{k}{m_2}\left(\Delta x_{\text{max}}\right)^2\quad\Leftrightarrow\quad v^2=v_{0}^2+\Delta x_{\text{max}}\left(2g\sin\theta-\dfrac{k}{m_2}\Delta x_{\text{max}}\right), \end{aligned}\]

e sostituendo il valore di \Delta x_{\text{max}} ottenuto al punto 3, si trova

    \[\begin{aligned} v^2&=v_{0}^2+\dfrac{m_1g}{k}(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)\left(2g\sin\theta-g\dfrac{m_1}{m_2}(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)\right)\\ &=v_{0}^2+\dfrac{m_1g^2}{k}(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)\left(\left(2+\dfrac{m_1}{m_2}\right)\sin\theta-\dfrac{m_1}{m_2}\mu_s\cos\theta\right)\\ &=v_{0}^2\left[1+\dfrac{m_1g^2}{kv_{0}^2}(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)\left(\left(2+\dfrac{m_1}{m_2}\right)\sin\theta-\dfrac{m_1}{m_2}\mu_s\cos\theta\right)\right], \end{aligned}\]

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ v=v_{0}\sqrt{1+\dfrac{m_1g^2}{kv_{0}^2}(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)\left(\left(2+\dfrac{m_1}{m_2}\right)\sin\theta-\dfrac{m_1}{m_2}\mu_s\cos\theta\right)}>0,}\]

cioè la velocità che il corpo m_2 possiede un’istante prima che m_1 entri in movimento.