Esercizio 48 . Un corpo di massa
poggia su di un piano orizzontale ed è soggetto ad una forza
parallela al piano orizzontale, modulo variabile e direzione costante. Si scelga un sistema di riferimento fisso
, con l’asse delle
coincidente con il piano orizzontale; rispetto a tale sistema di riferimento si assuma che, il corpo di massa
si muova di moto rettilineo e che il modulo della sua quantità di moto sia
, con
costante avente unità di misura
. Tale moto può essere prodotto:
- da una forza
dipendente dal tempo;
- da una forza
dipendente dalla posizione del corpo, con
posizione generica del punto materiale nel sistema di riferimento scelto.
Si determini nei due casi il modulo della forza in funzione del tempo o della posizione. Inoltre, si assuma che, la massa non dipenda dal tempo.
Svolgimento. Punto 1. Per il secondo principio della dinamica, sappiamo che
(1)
Quindi deduciamo che la forza, sotto la quale il corpo di massa si muove di moto rettilineo, cresce linearmente nel tempo in accordo con la legge
Di seguito, in figura 2, rappresentiamo il grafico di nel caso particolare del valore
.
Punto 2. Per esprimere il modulo della forza in funzione della variabile è sufficiente esplicitare la variabile
in funzione della variabile
e sfruttare
. Per definizione di quantità di moto, si ha
(2)
Integrando rispetto al tempo, ambo i membri dell’equazione (2), si ottiene
(3)
(4)
Senza perdita di generalità, possiamo immaginare che il corpo di massa all’istante
si trovi nell’origine del sistema di riferimento scelto, cioè che valga
. Imponendo la condizione
, la precedente equazione diventa
(5)
Sostituendo nell’equazione (4), si trova
(6)
(7)
In virtù di quanto ottenuto nell’equazione (7), l’espressione analitica della forza ottenuta al primo punto del problema, diventa
Di seguito, in figura 3, rappresentiamo il grafico di nel caso particolare dei valori
e
.