Home » Esercizio lavoro ed energia 47

 

 

Esercizio 47  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un blocco di massa m poggia su di un piano orizzontale, ed è soggetto ad una forza \vec{F}(t) di direzione costante parallela al piano orizzontale, modulo variabile nel tempo, e verso indicato in figura 1. L’energia cinetica del corpo cresce nel tempo secondo la legge K(t)=\alpha t^3, con \alpha costante.
Si calcoli la costante \alpha e l’intensità della forza all’istante t=\tau>0, sapendo che l’impulso della forza nell’intervallo di tempo (0,\tau) ha modulo J>0. L’energia cinetica va riferita rispetto ad un sistema di riferimento fisso Ox, con l’asse delle x coincidente con il piano orizzontale sul quale poggia m.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Svolgimento.  Al generico istante t>0, l’energia cinetica del corpo è data da

(1)   \begin{equation*} K(t)=\alpha t^3, \end{equation*}

da cui, per definizione di energia cinetica, si ha

(2)   \begin{equation*} \alpha t^3=\dfrac{1}{2}mv^2(t), \end{equation*}

dove v(t) è la velocità del corpo nell’istante t>0 nel sistema di riferimento fisso Ox. Posto t=0, dalla precedente equazione, si trova

(3)   \begin{equation*} v(0)=0, \end{equation*}

ossia il corpo è inizialmente in quiete. Osserviamo che, poiché la forza \vec{F}(t) è parallela alla velocità \vec{v}(t) in ogni istante di tempo t>0, allora anche l’impulso \vec{J} è parallelo alla velocità \vec{v}(t); inoltre, essendo il corpo di massa m vincolato a muoversi lungo il piano orizzontale, si ha che in ogni istante di tempo t>0 la velocità \vec{v}(t) è diretta lungo il piano orizzontale; di conseguenza, per i calcoli successivi, è sufficiente considerare i moduli {J} e v rispettivamente dell’impulso \vec{J} e della velocità \vec{v}, perché sono sempre diretti parallelamente al piano orizzontale. Ricordiamo che l’impulso {J}, nell’intervallo di tempo (0,\tau), è dato dalla variazione della quantità di moto \Delta {p} (p è la quantità di moto del corpo m nel generico istante t>0) nell’intervallo considerato, ossia

(4)   \begin{equation*} J=\Delta q =mv(\tau)-mv(0)=m(v(\tau)-v(0)). \end{equation*}

Ricordando che, il corpo è inizialmente fermo (si ricordi il risultato pervenuto nell’equazione (3)), si ha

(5)   \begin{equation*} J=mv(\tau)\quad\Leftrightarrow\quad v(\tau)=\dfrac{J}{m}. \end{equation*}

Sostituendo t=\tau nell’equazione (2), si ottiene

(6)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv^2(\tau)=\alpha\tau^3, \end{equation*}

ovvero

(7)   \begin{equation*} \alpha=\dfrac{1}{2}\dfrac{mv^2(\tau)}{\tau^3}. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di v(\tau) ottenuta all’equazione (5) nell’equazione (7), si trova

(8)   \begin{equation*} \alpha=\dfrac{1}{2}\dfrac{m\dfrac{ J^2}{m^2}}{\tau^3}, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ \alpha=\dfrac{ J^2}{2m\tau^3}.}\]

Dall’equazione (2), si ottiene

(9)   \begin{equation*} v(t)=\sqrt{\dfrac{2\alpha t^3}{m}}. \end{equation*}

Per il secondo principio della dinamica, il modulo della forza F è dato da

(10)   \begin{equation*} F(t)=m\dfrac{dv(t)}{dt}=m\sqrt{\dfrac{2\alpha}{m}}\dfrac{d\left(t^{3/2}\right)}{dt}=m\sqrt{\dfrac{2\alpha}{m}}\left(\dfrac{3}{2}\sqrt{t}\right)=3\sqrt{\dfrac{m\alpha}{2}t}, \end{equation*}

dove si è sfruttato il risultato pervenuto nell’equazione (9). Quindi, valutando l’equazione (10) all’istante t=\tau, otteniamo che

(11)   \begin{equation*} F(\tau)=3\sqrt{\dfrac{m\alpha}{2}\tau}, \end{equation*}

da cui, utilizzando l’espressione di \alpha ricavata precedentemente, si giunge ad

(12)   \begin{equation*} F(\tau)=3\sqrt{\dfrac{m}{2}\dfrac{J^2}{2m\tau^3}\tau}, \end{equation*}

ossia

    \[\boxcolorato{fisica}{ F(\tau)=\dfrac{3}{2}\dfrac{J}{\tau}.}\]

 

Approfondimento.  Di seguito, proponiamo un metodo alternativo per calcolare il modulo della forza \vec{F}(t) all’istante t=\tau.
Osserviamo che, il corpo ha velocità iniziale nulla, e la forza \vec{F}(t) ha direzione costante, per cui la velocità del corpo \vec{v}(t) e la forza \vec{F}(t) sono parallele in ogni istante di tempo t>0, in particolare, oltre ad essere parallele \vec{v}(t) e \vec{F}(t) hanno la stessa direzione. Il lavoro elementare dL compiuto dalla forza \vec{F}(t) per spostare il corpo di massa m di una quantità d\vec{s} è pari ad

(13)   \begin{equation*} dL(t)=\vec{F}(t)\cdot d\vec{s}=\vec{F}(t)\cdot\vec{v}(t)\,dt=F(t)v(t)\,dt. \end{equation*}

Integrando ambo i membri della precedente equazione, tra gli istante di tempo t=0 e t=\tau, si ottiene

(14)   \begin{equation*} \int_{0}^tdL(t^\prime )=\int_{0}^tF(t^\prime)\,v(t^\prime)\,dt^\prime, \end{equation*}

o anche

(15)   \begin{equation*} L(t)-L(0)=\int_{0}^tF(t^\prime)\,6v(t^\prime)\,dt^\prime. \end{equation*}

Si osservi che L(t)-L(0) è il lavoro fatto dalla forza \vec{F} per spostare la massa m dalla posizione iniziale x_i ad una generica posizione x all’istante t>0, nel sistema di riferimento Ox. Sostituendo v(t) (calcolata nell’equazione (9)) nell’equazione (15), si ottiene

(16)   \begin{equation*} L(t)-L(0)=\displaystyle\int_{0}^t\sqrt{\dfrac{2\alpha \left(t^\prime\right)^3}{m}}\,F(t^\prime)\,dt^\prime. \end{equation*}

Dato che, L(t)-L(0) rappresenta il lavoro della forza \vec{F}, per il teorema delle forze vive o teorema dell’energia lavoro, la precedente equazione può essere riscritta come segue

(17)   \begin{equation*} K(t)-K(0)=\displaystyle\int_{0}^t\sqrt{\dfrac{2\alpha \left(t^\prime\right)^3}{m}}\,F(t^\prime)\,dt^\prime. \end{equation*}

Derivando ambo i membri della precedente equazione rispetto al tempo, si ha

(18)   \begin{equation*} \dot{K}(t)=\displaystyle\sqrt{\dfrac{2\alpha \left(t\right)^3}{m}}\,F(t), \end{equation*}

dove si è usato il teorema fondamentale del calcolo integrale per il calcolo della derivata di \displaystyle \int_{0}^t\sqrt{\dfrac{2\alpha \left(t^\prime\right)^3}{m}}\,F(t^\prime)\,dt^\prime. Ricordando che K(t)=\alpha t^3, la precedente equazione diventa

(19)   \begin{equation*} \dfrac{d\left(\alpha t^3\right)}{dt}=\displaystyle\sqrt{\dfrac{2\alpha t^3}{m}}\,F(t), \end{equation*}

o anche

(20)   \begin{equation*} 3\alpha t^2=\displaystyle\sqrt{\dfrac{2\alpha t^3}{m}}\,F(t), \end{equation*}

conseguentemente

(21)   \begin{equation*} 3\sqrt{t\alpha}=\displaystyle\sqrt{\dfrac{2}{m}}\,F(t). \end{equation*}

Sostituendo t=\tau nella precedente equazione, troviamo

(22)   \begin{equation*} 3\sqrt{\tau\alpha}=\displaystyle\sqrt{\dfrac{2}{m}}\,F(\tau). \end{equation*}

Infine, ricordando che \alpha=\dfrac{ J^2}{2m\tau^3}, l’equazione (22) diventa

(23)   \begin{equation*} 3\sqrt{\dfrac{\tau J^2}{2m\tau^3}}=\displaystyle\sqrt{\dfrac{2}{m}}\,F(\tau), \end{equation*}

ovvero

(24)   \begin{equation*} 3\sqrt{\dfrac{ J^2}{2\tau^2}}=\displaystyle\sqrt{2}F(\tau), \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ F(\tau)=\dfrac{3}{2}\dfrac{J}{\tau},}\]

come trovato in precedenza.