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Esercizio 46  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due masse m_1 ed m_2 sono collegate tra loro tramite una carrucola da un filo ideale di massa trascurabile, come rappresentato in figura 1. Si assuma che tra filo e carrucola non ci sia attrito. La massa m_2 è collegata al piano orizzontale mediante una molla ideale, di lunghezza a riposo nulla, posta in verticale e di costante elastica k, allungata di una quantità y>0. Il sistema complessivamente è in quiete sotto l’azione della forza \vec{F}. La forza \vec{F} è costante in modulo, direzione e verso. Si richiede di calcolare

  • il valore di y.

Ad un certo istante si sgancia la molla ed il sistema entra in movimento. Si richiede di calcolare:

  • il valore \vec{R} della forza totale agente su m_1 durante il moto.

Si osserva che dopo un tempo \Delta t>0 dall’inizio del moto, il corpo m_1 è avanzato di h. Si richiede di calcolare

  • nell’intervallo di tempo \Delta t>0 il lavoro W svolto dalla forza F;
  • la variazione di energia potenziale \Delta U_2 della massa m_2;
  • il valore di \Delta t>0;
  • l’energia cinetica totale del sistema K_{\text{tot}} all’istante \Delta t>0.

Supporre che valga F>m_2g.

 

 

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Svolgimento. Punto 1.  Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy, con l’origine O in corrispondenza del corpo m_1, come illustrato in figura 2. Inoltre, costruiamo il diagramma di corpo libero per i corpi di massa m_1 e m_2. Sul corpo di massa m_1 agiscono la forza peso m_1\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_1, la forza \vec{F} e la tensione del filo \vec{T}_1. Sul corpo di massa m_2 agiscono la forza peso m_2\vec{g}, la tensione del filo \vec{T}_2 e la forza elastica \vec{f}_{\text{el}}. Tutte le forze sono rappresentate in figura 2. Inoltre, notiamo che, essendo il filo teso e di massa trascurabile, in corrispondenza della carrucola agiscono le forze -\vec{T}_1 e -\vec{T}_2.
Dal secondo principio della dinamica, proiettando lungo gli assi x e y le forze agenti su m_1 che è in quiete, otteniamo

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x: F-T_1=0\\ y: N-m_1g=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x: F=T_1\\ y:N=m_1g. \end{cases} \end{equation*}

Dal secondo principio della dinamica, proiettando lungo l’asse delle y le forze agenti su m_2 che è in quiete, si ha

(2)   \begin{equation*} T_2-m_2g-f_{\text{el}}=0\quad\Leftrightarrow\quad T_2-m_2g-ky=0, \end{equation*}

dove abbiamo esplicitato il modulo della forza elastica f_{\text{el}}=ky quando la molla è allungata di y.
Infine, osserviamo che, siccome tra filo e carrucola non è presente attrito, vale

(3)   \begin{equation*} T_1-T_2=0\quad\Leftrightarrow\quad T_1=T_2=T. \end{equation*}

 

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Mettendo a sistema le due equazioni del sistema (1) con le equazioni (2) e (3), otteniamo

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} F=T_1\\ N=m_1g\\ T_2=m_2g+ky\\ T_1=T_2. \end{cases} \end{equation*}

Utilizzando la prima, la quarta e la terza equazione del sistema (4), ricaviamo che

(5)   \begin{equation*} F=T_1=T_2=m_2g+ky, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ y=\dfrac{F-m_2g}{k}.}\]

Osserviamo che y è ben definita, ossia è una quantità positiva, perché vale F>m_2g.

Punto 2.  Una volta che la molla viene sganciata il sistema non è più in equilibrio ed i due corpi cominciano a muoversi. La dinamica del corpo m_1, che nel punto 1 era descritta dal sistema (1), adesso è descritta dalle seguenti equazioni

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} x: F-T_1=m_1a_1\\ y: N-m_1g=0, \end{cases} \end{equation*}

dove a_1 è l’accelerazione del corpo m_1.
Osserviamo che la risultante la forza totale \vec{R} agente sul corpo m_1 è

(7)   \begin{equation*} \vec{R}=m_1\vec{g}+\vec{N}_1+\vec{F}+\vec{T}_1=-m_1g\,\hat{y}+N_1\,\hat{y}+F\,\hat{x}-T_1\,\hat{x}=\left(N-m_1g\right)\hat{y}+\left(F-T_1\right)\hat{x}, \end{equation*}

dove \hat{x} e \hat{y} rappresentano rispettivamente i versori dell’asse delle x e delle y.
Mettendo a sistema la seconda equazione del sistema (6) con la precedente equazione, si ottiene che

(8)   \begin{equation*} \vec{R}_1=\left(F-T_1\right)\hat{x}=m_1a_1\,\hat{x}\quad \Rightarrow\quad R=m_1a_1. \end{equation*}

Dall’equazione (8), deduciamo che, per conoscere il modulo R della forza totale agente sul corpo m_1 è sufficiente determinare l’accelerazione a_1 in funzione dei dati del problema.
La dinamica del corpo m_2, che nel punto 1 era descritta dall’equazione (2), adesso è determinata dalla seguente equazione

(9)   \begin{equation*} T_2-m_2g=m_2a_2\quad\Leftrightarrow\quad T_2-m_2g=m_2a_2, \end{equation*}

dove a_2 è l’accelerazione del corpo m_2.
Il filo che collega i due corpi è teso e inestensibile, pertanto i corpi m_1 e m_2 avranno stessa accelerazione in modulo. Per dimostrare quanto detto, si consideri la figura 3.

 

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Sia r la lunghezza del raggio della carrucola. Senza perdita di generalità possiamo assumere che la lunghezza del filo avvolto attorno alla carrucola sia costante e pari ad \pi r/2. La lunghezza del filo è altresì costante e pari ad \ell. Nel generico istante t>0, mentre il sistema è in movimento, vale

(10)   \begin{equation*} \ell(=x_1(t)+y_2(t)+\dfrac{\pi r}{2}, \end{equation*}

dove x_1(t) e y_2(t) rappresentano la distanza dalla carrucola dei corpi m_1 e m_2 rispettivamente. Derivando rispetto al tempo, ambo i membri, della precedente equazione, si ottiene

(11)   \begin{equation*} \dot{\ell}=\dot{x_1}+\dot{y_2}=0, \end{equation*}

o anche

(12)   \begin{equation*} \dot{x}_1=-\dot{y}_2, \end{equation*}

da cui, derivando nuovamente rispetto al tempo ambo i membri della precedente equazione, si trova

(13)   \begin{equation*} \ddot{x}_1=-\ddot{y}_2. \end{equation*}

Sia \left \vert \ddot{x}_1\right \vert=a_1 e \left \vert \ddot{y}_2 \right \vert=a_2, da cui sfruttando la precedente equazione, si ha

(14)   \begin{equation*} a_1=a_2\equiv a. \end{equation*}

Mettendo a sistema la prima equazione del sistema (6) con l’equazione (9), e usando l’identità ottenuta nell’equazione (14), si ottiene

(15)   \begin{equation*} \begin{cases} F-T_1=m_1a\\ T_2-m_2g=m_2a. \end{cases} \end{equation*}

Utilizzando l’equazione (3), il sistema (15) diventa

(16)   \begin{equation*} \begin{cases} F-T=m_1a\\ T-m_2g=m_2a \end{cases} \end{equation*}

da cui, sommando membro a membro delle due equazioni del sistema (16), si trova

(17)   \begin{equation*} F-m_2g=(m_1+m_2)a\quad\Leftrightarrow\quad \boxed{a=\dfrac{F-m_2g}{m_1+m_2}.} \end{equation*}

Noto il modulo dell’accelerazione a con cui si muovono i corpi m_1 e m_2 data dall’equazione (17), l’equazione (8) diventa

    \[\boxcolorato{fisica}{ R=\dfrac{m_1(F-m_2g)}{m_1+m_2},}\]

che rappresenta il modulo della forza totale che agisce sul corpo m_1. La condizione F>m_2g assicura che il risultato appena ottenuto sia ben definito, ovvero che R>0.

Punto 3.  La forza \vec{R}=R\,\hat{x} è costante in modulo, direzione e verso, pertanto il lavoro compiuto sul corpo m_1 per spostarlo di una quantità \vec{h}=h\,\hat{x} lungo il piano orizzontale nell’intervallo di tempo \Delta t>0 è pari ad

(18)   \begin{equation*} W=\vec{F}\cdot\vec{h}=Fh(\hat{x}\cdot\,\hat{x}), \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ W=Fh.}\]

Punto 4.  Il sistema composto dalle masse m_1 e m_2, in virtù di quanto visto nello svolgimento del punto 2, si muove rigidamente e quindi se m_1 si è mosso orizzontalmente di una quantità h lungo l’orizzontale, anche m_2 si è spostato in verticale complessivamente di h.
La variazione di energia potenziale del corpo m_2 è pertanto pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta U_2=m_2gh.}\]

Punto 5.  Osserviamo che l’accelerazione a è non dipende dal tempo, cioè è costante per ogni t>0; pertanto sia m_1 che m_2 si muovono di moto rettilineo uniformemente accelerato, rispetto al sistema di riferimento Oxy definito nel punto 1, ossia il sistema di riferimento fisso Oxy con l’origine O in corrispondenza della posizione di m_1 quando il sistema era all’equilibrio (prima che venisse sganciata la molla), come illustrato in figura 4.

 

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La legge oraria del moto uniformemente accelerato descritto da m_1 è data da

(19)   \begin{equation*} x(\Delta t)=x_0+v_{0,1}\Delta t+\dfrac{1}{2}a\Delta t^2=\dfrac{1}{2}a\Delta t^2, \end{equation*}

dove x_0=0 in seguito alla scelta del riferimento Ox ed inoltre la velocità iniziale v_{0,1}=0 perché il corpo inizialmente in quiete.
Dall’equazione (19), ricordando che lo spazio percorso è h, segue che

(20)   \begin{equation*} \Delta t=\sqrt{\dfrac{2h}{a}}, \end{equation*}

da cui, usando l’espressione di a ottenuta all’equazione (17), la precedente equazione diventa

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta t=\sqrt{\dfrac{2h(m_1+m_2)}{F-m_2g}}.}\]

Osserviamo che la condizione F>m_2g garantisce che il risultato appena ottenuto sia fisicamente accettabile.

Punto 6.  L’energia cinetica totale K_{\text{tot}} del sistema, all’istante \Delta t, è data da

(21)   \begin{equation*} K_{\text{tot}}(\Delta t)=\dfrac{1}{2}m_1v_1^2(\Delta t)+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2(\Delta t)=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)v^2(\Delta t), \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato il fatto che \left |v_1(\Delta t)\right|=\left |v_2(\Delta t)\right|\equiv \left|v(\Delta t)\right|, come si evince dall’equazione (12).
Un corpo in moto uniformemente accelerato, rispetto ad un opportuno sistema di riferimento in un generico istante t>0, ha velocità v(t) pari ad

(22)   \begin{equation*} v(t)=v_0+at, \end{equation*}

dove v_0 è la velocità iniziale del corpo.
Nel caso specifico il sistema è inizialmente in quiete, per cui v_0=0. Mettendo a sistema l’equazione (22) con l’equazione (21), si ha

(23)   \begin{equation*} K_{\text{tot}}(\Delta t)=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)a^2\left(\Delta t\right)^2. \end{equation*}

Utilizzando l’espressione di a ottenuta all’equazione (17) e il valore di \Delta t ricavato al punto 5, la precedente equazione diventa

(24)   \begin{equation*} K_{\text{tot}}(\Delta t)=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)\left(\dfrac{F-m_2g}{m_1+mg}\right)^22h\left(\dfrac{m_1+m_2}{F-m_2g}\right), \end{equation*}

conseguentemente

    \[\boxcolorato{fisica}{ K_{\text{tot}}(\Delta t)=h(F-m_2g).}\]

Osserviamo che, la condizione F>m_2g impone che K_{\text{tot}}>0, come ovvio che sia dalla definizione di energia cinetica.