Lavoro ed energia: esercizio 46

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio lavoro ed energia 46

L’esercizio 46 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 45 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 47. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

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Testo lavoro ed energia 46

Esercizio 46 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due masse $m_1$ ed $m_2$ sono collegate tra loro tramite una carrucola da un filo ideale di massa trascurabile, come rappresentato in figura 1. Si assuma che tra filo e carrucola non ci sia attrito. La massa $m_2$ è collegata al piano orizzontale mediante una molla ideale, di lunghezza a riposo nulla, posta in verticale e di costante elastica $k$ , allungata di una quantità $y>0$ . Il sistema complessivamente è in quiete sotto l’azione della forza $\vec{F}$ . La forza $\vec{F}$ è costante in modulo, direzione e verso. Si richiede di calcolare

il valore di $y$ .

Ad un certo istante si sgancia la molla ed il sistema entra in movimento. Si richiede di calcolare:

il valore $\vec{R}$ della forza totale agente su $m_1$ durante il moto.

Si osserva che dopo un tempo $\Delta t>0$ dall’inizio del moto, il corpo $m_1$ è avanzato di $h$ . Si richiede di calcolare

nell’intervallo di tempo $\Delta t>0$ il lavoro $W$ svolto dalla forza $F$ ;
la variazione di energia potenziale $\Delta U_2$ della massa $m_2$ ;
il valore di $\Delta t>0$ ;
l’energia cinetica totale del sistema $K_{\text{tot}}$ all’istante $\Delta t>0$ .

Supporre che valga $F>m_2g$ .

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Svolgimento punto 1.

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso $Oxy$ , con l’origine $O$ in corrispondenza del corpo $m_1$ , come illustrato in figura 2. Inoltre, costruiamo il diagramma di corpo libero per i corpi di massa $m_1$ e $m_2$ . Sul corpo di massa $m_1$ agiscono la forza peso $m_1\vec{g}$ , la reazione vincolare $\vec{N}_1$ , la forza $\vec{F}$ e la tensione del filo $\vec{T}_1$ . Sul corpo di massa $m_2$ agiscono la forza peso $m_2\vec{g}$ , la tensione del filo $\vec{T}_2$ e la forza elastica $\vec{f}_{\text{el}}$ . Tutte le forze sono rappresentate in figura 2. Inoltre, notiamo che, essendo il filo teso e di massa trascurabile, in corrispondenza della carrucola agiscono le forze $-\vec{T}_1$ e $-\vec{T}_2$ . Dal secondo principio della dinamica, proiettando lungo gli assi $x$ e $y$ le forze agenti su $m_1$ che è in quiete, otteniamo

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} x: F-T_1=0\\ y: N-m_1g=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x: F=T_1\\ y:N=m_1g. \end{cases} \end{equation*}$

Dal secondo principio della dinamica, proiettando lungo l’asse delle $y$ le forze agenti su $m_2$ che è in quiete, si ha

(2) $\begin{equation*} T_2-m_2g-f_{\text{el}}=0\quad\Leftrightarrow\quad T_2-m_2g-ky=0, \end{equation*}$

dove abbiamo esplicitato il modulo della forza elastica $f_{\text{el}}=ky$ quando la molla è allungata di $y$ . Infine, osserviamo che, siccome tra filo e carrucola non è presente attrito, vale

(3) $\begin{equation*} T_1-T_2=0\quad\Leftrightarrow\quad T_1=T_2=T. \end{equation*}$

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Diagramma di corpo libero per lo studio delle forze di lavoro ed energia sulle masse m1 e m2

Mettendo a sistema le due equazioni del sistema (1) con le equazioni (2) e (3), otteniamo

(4) $\begin{equation*} \begin{cases} F=T_1\\ N=m_1g\\ T_2=m_2g+ky\\ T_1=T_2. \end{cases} \end{equation*}$

Utilizzando la prima, la quarta e la terza equazione del sistema (4), ricaviamo che

(5) $\begin{equation*} F=T_1=T_2=m_2g+ky, \end{equation*}$

da cui

$\boxcolorato{fisica}{ y=\dfrac{F-m_2g}{k}.}$

Osserviamo che $y$ è ben definita, ossia è una quantità positiva, perché vale $F>m_2g$ .

Svolgimento punto 2.

Una volta che la molla viene sganciata il sistema non è più in equilibrio ed i due corpi cominciano a muoversi. La dinamica del corpo $m_1$ , che nel punto 1 era descritta dal sistema (1), adesso è descritta dalle seguenti equazioni

(6) $\begin{equation*} \begin{cases} x: F-T_1=m_1a_1\\ y: N-m_1g=0, \end{cases} \end{equation*}$

dove $a_1$ è l’accelerazione del corpo $m_1$ . Osserviamo che la risultante la forza totale $\vec{R}$ agente sul corpo $m_1$ è

(7) $\begin{equation*} \vec{R}=m_1\vec{g}+\vec{N}_1+\vec{F}+\vec{T}_1=-m_1g\,\hat{y}+N_1\,\hat{y}+F\,\hat{x}-T_1\,\hat{x}=\left(N-m_1g\right)\hat{y}+\left(F-T_1\right)\hat{x}, \end{equation*}$

dove $\hat{x}$ e $\hat{y}$ rappresentano rispettivamente i versori dell’asse delle $x$ e delle $y$ . Mettendo a sistema la seconda equazione del sistema (6) con la precedente equazione, si ottiene che

(8) $\begin{equation*} \vec{R}_1=\left(F-T_1\right)\hat{x}=m_1a_1\,\hat{x}\quad \Rightarrow\quad R=m_1a_1. \end{equation*}$

Dall’equazione (8), deduciamo che, per conoscere il modulo $R$ della forza totale agente sul corpo $m_1$ è sufficiente determinare l’accelerazione $a_1$ in funzione dei dati del problema. La dinamica del corpo $m_2$ , che nel punto 1 era descritta dall’equazione (2), adesso è determinata dalla seguente equazione

(9) $\begin{equation*} T_2-m_2g=m_2a_2\quad\Leftrightarrow\quad T_2-m_2g=m_2a_2, \end{equation*}$

dove $a_2$ è l’accelerazione del corpo $m_2$ . Il filo che collega i due corpi è teso e inestensibile, pertanto i corpi $m_1$ e $m_2$ avranno stessa accelerazione in modulo. Per dimostrare quanto detto, si consideri la figura 3.

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Rappresentazione delle lunghezze significative per calcoli di lavoro ed energia in un sistema meccanico

Sia $r$ la lunghezza del raggio della carrucola. Senza perdita di generalità possiamo assumere che la lunghezza del filo avvolto attorno alla carrucola sia costante e pari ad $\pi r/2$ . La lunghezza del filo è altresì costante e pari ad $\ell$ . Nel generico istante $t>0$ , mentre il sistema è in movimento, vale

(10) $\begin{equation*} \ell(=x_1(t)+y_2(t)+\dfrac{\pi r}{2}, \end{equation*}$

dove $x_1(t)$ e $y_2(t)$ rappresentano la distanza dalla carrucola dei corpi $m_1$ e $m_2$ rispettivamente. Derivando rispetto al tempo, ambo i membri, della precedente equazione, si ottiene

(11) $\begin{equation*} \dot{\ell}=\dot{x_1}+\dot{y_2}=0, \end{equation*}$

o anche

(12) $\begin{equation*} \dot{x}_1=-\dot{y}_2, \end{equation*}$

da cui, derivando nuovamente rispetto al tempo ambo i membri della precedente equazione, si trova

(13) $\begin{equation*} \ddot{x}_1=-\ddot{y}_2. \end{equation*}$

Sia $\left \vert \ddot{x}_1\right \vert=a_1$ e $\left \vert \ddot{y}_2 \right \vert=a_2$ , da cui sfruttando la precedente equazione, si ha

(14) $\begin{equation*} a_1=a_2\equiv a. \end{equation*}$

Mettendo a sistema la prima equazione del sistema (6) con l’equazione (9), e usando l’identità ottenuta nell’equazione (14), si ottiene

(15) $\begin{equation*} \begin{cases} F-T_1=m_1a\\ T_2-m_2g=m_2a. \end{cases} \end{equation*}$

Utilizzando l’equazione (3), il sistema (15) diventa

(16) $\begin{equation*} \begin{cases} F-T=m_1a\\ T-m_2g=m_2a \end{cases} \end{equation*}$

da cui, sommando membro a membro delle due equazioni del sistema (16), si trova

(17) $\begin{equation*} F-m_2g=(m_1+m_2)a\quad\Leftrightarrow\quad \boxed{a=\dfrac{F-m_2g}{m_1+m_2}.} \end{equation*}$

Noto il modulo dell’accelerazione $a$ con cui si muovono i corpi $m_1$ e $m_2$ data dall’equazione (17), l’equazione (8) diventa

$\boxcolorato{fisica}{ R=\dfrac{m_1(F-m_2g)}{m_1+m_2},}$

che rappresenta il modulo della forza totale che agisce sul corpo $m_1$ . La condizione $F>m_2g$ assicura che il risultato appena ottenuto sia ben definito, ovvero che $R>0$ .

Svolgimento punto 3.

La forza $\vec{R}=R\,\hat{x}$ è costante in modulo, direzione e verso, pertanto il lavoro compiuto sul corpo $m_1$ per spostarlo di una quantità $\vec{h}=h\,\hat{x}$ lungo il piano orizzontale nell’intervallo di tempo $\Delta t>0$ è pari ad

(18) $\begin{equation*} W=\vec{F}\cdot\vec{h}=Fh(\hat{x}\cdot\,\hat{x}), \end{equation*}$

cioè

$\boxcolorato{fisica}{ W=Fh.}$

Svolgimento punto 4.

Il sistema composto dalle masse $m_1$ e $m_2$ , in virtù di quanto visto nello svolgimento del punto 2, si muove rigidamente e quindi se $m_1$ si è mosso orizzontalmente di una quantità $h$ lungo l’orizzontale, anche $m_2$ si è spostato in verticale complessivamente di $h$ . La variazione di energia potenziale del corpo $m_2$ è pertanto pari a

$\boxcolorato{fisica}{ \Delta U_2=m_2gh.}$

Svolgimento punto 5.

Osserviamo che l’accelerazione $a$ è non dipende dal tempo, cioè è costante per ogni $t>0$ ; pertanto sia $m_1$ che $m_2$ si muovono di moto rettilineo uniformemente accelerato, rispetto al sistema di riferimento $Oxy$ definito nel punto 1, ossia il sistema di riferimento fisso $Oxy$ con l’origine $O$ in corrispondenza della posizione di $m_1$ quando il sistema era all’equilibrio (prima che venisse sganciata la molla), come illustrato in figura 4.

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Rappresentazione del corpo m1 nello stato di quiete e dopo aver percorso h, analisi di lavoro ed energia

La legge oraria del moto uniformemente accelerato descritto da $m_1$ è data da

(19) $\begin{equation*} x(\Delta t)=x_0+v_{0,1}\Delta t+\dfrac{1}{2}a\Delta t^2=\dfrac{1}{2}a\Delta t^2, \end{equation*}$

dove $x_0=0$ in seguito alla scelta del riferimento $Ox$ ed inoltre la velocità iniziale $v_{0,1}=0$ perché il corpo inizialmente in quiete. Dall’equazione (19), ricordando che lo spazio percorso è $h$ , segue che

(20) $\begin{equation*} \Delta t=\sqrt{\dfrac{2h}{a}}, \end{equation*}$

da cui, usando l’espressione di $a$ ottenuta all’equazione (17), la precedente equazione diventa

$\boxcolorato{fisica}{ \Delta t=\sqrt{\dfrac{2h(m_1+m_2)}{F-m_2g}}.}$

Osserviamo che la condizione $F>m_2g$ garantisce che il risultato appena ottenuto sia fisicamente accettabile.

Svolgimento punto 6.

L’energia cinetica totale $K_{\text{tot}}$ del sistema, all’istante $\Delta t$ , è data da

(21) $\begin{equation*} K_{\text{tot}}(\Delta t)=\dfrac{1}{2}m_1v_1^2(\Delta t)+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2(\Delta t)=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)v^2(\Delta t), \end{equation*}$

dove abbiamo sfruttato il fatto che $\left |v_1(\Delta t)\right|=\left |v_2(\Delta t)\right|\equiv \left|v(\Delta t)\right|$ , come si evince dall’equazione (12). Un corpo in moto uniformemente accelerato, rispetto ad un opportuno sistema di riferimento in un generico istante $t>0$ , ha velocità $v(t)$ pari ad

(22) $\begin{equation*} v(t)=v_0+at, \end{equation*}$

dove $v_0$ è la velocità iniziale del corpo. Nel caso specifico il sistema è inizialmente in quiete, per cui $v_0=0$ . Mettendo a sistema l’equazione (22) con l’equazione (21), si ha

(23) $\begin{equation*} K_{\text{tot}}(\Delta t)=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)a^2\left(\Delta t\right)^2. \end{equation*}$

Utilizzando l’espressione di $a$ ottenuta all’equazione (17) e il valore di $\Delta t$ ricavato al punto 5, la precedente equazione diventa

(24) $\begin{equation*} K_{\text{tot}}(\Delta t)=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)\left(\dfrac{F-m_2g}{m_1+mg}\right)^22h\left(\dfrac{m_1+m_2}{F-m_2g}\right), \end{equation*}$

conseguentemente

$\boxcolorato{fisica}{ K_{\text{tot}}(\Delta t)=h(F-m_2g).}$

Osserviamo che, la condizione $F>m_2g$ impone che $K_{\text{tot}}>0$ , come ovvio che sia dalla definizione di energia cinetica.

Esercizi di Meccanica classica

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Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.

Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.

Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

Un sito molto utile, professionale e chiaro, che approfondisce vari argomenti. Ho utilizzato questo sito per prepararmi a diversi esami, lo stesso mi ha fornito di strumenti adatti e specifici, permettendomi di colmare lacune che mi portavo avanti dai tempi del liceo. Il sito web è adatto ad una ricerca e risoluzione rapida di ogni quesito inerente alle materie trattate, facile ed intuitivo da utilizzare. Grazie e ben fatto.

Diego Aracri

2024-07-09

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Alessandro Morra

2024-06-20

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

2024-06-13

Sito meraviglioso! Ho scoperto per caso questo sito perché cercavo le soluzioni degli esercizi di Fisica del libro "Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde" del Mazzoldi. Riescono a spiegare in modo chiaro ed esaustivo come si svolgono i problemi. Sono un'ottima risorsa per chi sta affrontando per la prima volta gli esercizi, ma anche per chi ha già una preparazione e vuole chiarire alcuni dubbi. Inoltre sono molto gentili e disponibili. Veramente un'ottima scoperta, consiglio a tutti.

Ugo Cozzi

2024-06-02

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antonio elia

2024-05-29

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Lavoro ed energia: esercizio 46

Esercizio lavoro ed energia 46

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Testo lavoro ed energia 46

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