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Lavoro ed energia: esercizio 45

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Lavoro ed energia: esercizio 45

L’esercizio 45 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 44 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 46. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 45

Esercizio 45 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m è agganciato ad un supporto fisso da una molla di costante elastica k. Il sistema è inizialmente in quiete sopra un piano orizzontale che è liscio alla destra del punto O e scabro alla sua sinistra. Ad un certo istante con un’opportuna forza esterna si imprime al corpo una velocità \vec{v}_0 nel verso indicato in figura 1. Si richiede di calcolare

  • di quanto è allungata la molla nell’istante in cui il corpo si ferma.

Il corpo ripassa per O con velocità -\vec{v}_0, orientata come in figura 1, e si ferma dopo aver percorso da O la distanza x', nel piano scabro. Si richiede di calcolare

  • il valore del coefficiente di attrito dinamico \mu.

Supporre che valga mv_0^2-kx'^2>0.

 

 

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Figura 1: sistema fisico in esame.

 

Svolgimento punto 1.

Osserviamo che, nella parte del piano orizzontale liscio, sulla massa m agiscono la reazione vincolare \vec{N} e la forza peso m\vec{g}. Le forze \vec{N} e m\vec{g} non fanno lavoro perché sono perpendicolari, istante per istante, al moto di m. Inoltre, agisce anche la forza elastica \vec{f}_{\text{el}}, generata dalla molla al quale è attaccata la massa, che è conservativa. Dunque, da quanto detto, deduciamo che nel piano liscio, dove si svolge inizialmente il moto della massa m, si conserva l’energia per la massa m. Per la risoluzione del punto 1 del problema è sufficiente sfruttare la conservazione dell’energia meccanica. Consideriamo come configurazione iniziale l’istante in cui al corpo viene trasmessa una velocità iniziale di modulo v_0 e la molla è momentaneamente nella posizione di riposo. L’energia meccanica E_{\text{in}} iniziale del sistema, in questo istante, è data dal solo contributo cinetico del corpo di massa m, ossia

(1)   \begin{equation*} E_{\text{in}}=\dfrac{1}{2}mv_{0}^2. \end{equation*}

Consideriamo come configurazione finale l’istante in cui il corpo si ferma (v=0), ovvero quando la molla raggiunge la sua massima elongazione \Delta x. Chiaramente il corpo di massa m si ferma a causa della forza elastica \vec{f}_{\text{el}}. L’energia meccanica E_{\text{fin}} del sistema in questo istante è data dal solo contributo potenziale elastico, ossia

(2)   \begin{equation*} E_{\text{fin}}=\dfrac{1}{2}k\Delta x^2, \end{equation*}

dove \Delta x rappresenta il massimo allungamento della molla. Dalla conservazione dell’energia meccanica, si ha

(3)   \begin{equation*} E_{\text{in}}=E_{\text{fin}}, \end{equation*}

da cui, usando le equazioni (1) e (2), la precedente equazione diventa

(4)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_{0}^2=\dfrac{1}{2}k\Delta x^2, \end{equation*}

per cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta x=\sqrt{\dfrac{m}{k}}v_0.}\]


Svolgimento punto 2.

Quando il corpo ripassa per O con velocità -\vec{v}_0 esso continuerà a muoversi nella regione in cui il piano risulta scabro. Quindi l’energia meccanica adesso non è più conservata, dato che è presente attrito tra il piano ed il corpo m. Per il teorema delle forze vive o dell’energia lavoro sappiamo che il lavoro L_{\text{att}} svolto dalla forza di attrito dinamico \vec{f}_d, in un certo lasso di tempo (chiaramente ci si sta riferendo a questo particolare problema), è pari alla variazione di energia meccanica totale \Delta E del sistema nel medesimo intervallo temporale, ovvero

(5)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=\Delta E. \end{equation*}

Consideriamo come lasso temporale quello in cui il corpo passa dal punto O con velocità -\vec{v}_0 e la molla è a riposo, fino all’istante in cui esso si arresta, raggiungendo la massima compressione della molla pari ad x'. Nell’istante iniziale il corpo ha velocità di modulo v_0 e la molla è a riposo. In questa configurazione l’energia meccanica E_{\text{in}} del corpo è data dalla sola energia cinetica essendo la molla a riposo, ossia

(6)   \begin{equation*} E_{\text{in}}=\dfrac{1}{2}mv_{0}^2. \end{equation*}

Nell’istante finale il corpo si arresta e la molla è compressa di x'. In questa configurazione l’energia meccanica E_{\text{fin}} del corpo è data dalla sola energia potenziale elastica della molla essendo il corpo fermo, cioè

(7)   \begin{equation*} E_{\text{fin}}=\dfrac{1}{2}kx'^2. \end{equation*}

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, tale per cui l’origine O coincida con la posizione a riposo della molla, e l’asse delle x sia coincidente con il piano orizzontale sul quale poggia m. Il sistema di riferimento è rappresentato nella figura 2.

 

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Figura 2: diagramma di corpo libero.

Diagramma di corpo libero che illustra le forze, tra cui l'energia elastica e il lavoro dell'attrito, agenti su un blocco collegato a una molla su un piano orizzontale

 

Sul corpo agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}, la forza di attrito dinamico \vec{f}_d, e la forza elastica \vec{f}_{\text{el}}, orientate come in figura 2. Per la seconda legge della dinamica, nella direzione dell’asse y, si ha N=mg. Ricordando che la forza di attrito dinamico è definita come f_d=N\mu, si ottiene f_d=N\mu=mg\mu. Sia \hat{x} il versore dell’asse delle x. Essendo \vec{f}_d una forza costante in modulo, direzione e verso, risulta che il lavoro fatto da quest’ultima nel tratto in cui il corpo si è spostato di \vec{x}^{\,'}=x'\,\hat{x} rispetto ad O, è pari a

(8)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=\vec{f}_d\cdot\vec{x}^{\,'}=(-f_d\,\hat{x})\cdot(x'\,\hat{x})=-f_dx'=-mg\mu x'. \end{equation*}

Usando le equazioni (6), (7) e (8), l’equazione (5) diventa

(9)   \begin{equation*} -\mu mgx'=\dfrac{1}{2}k(x')^2-\dfrac{1}{2}mv_{0}^2\quad\Leftrightarrow\quad \mu m gx'=\dfrac{1}{2}mv_{0}^2-\dfrac{1}{2}k(x')^2, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ \mu=\dfrac{mv_{0}^2-kx'^2}{2mgx'}.}\]

Osserviamo che il precedente risultato è ben definito perché per ipotesi vale mv_0^2-kx'^2>0.

 


Approfondimento.

L’equazione (9) esprime in termini quantitativi il fatto che non tutta l’energia cinetica iniziale del corpo viene convertita in energia potenziale elastica, ma una parte di essa è dissipata dalla forza di attrito. Infatti, risolvendo mv_0^2-kx'^2>0 rispetto ad x', abbiamo che

(10)   \begin{equation*} \left(x'\right)^2<\dfrac{mv_{0}^2}{k}= \Delta x^2\quad\Leftrightarrow\quad \left| x'\right|<\left| \Delta x\right|. \end{equation*}

Quindi l’ampiezza del moto armonico quando il corpo passa alla sinistra del punto O viene smorzata a causa della forza di attrito.

 

 

 

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Esercizi di Meccanica classica

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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