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Esercizio 45  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m è agganciato ad un supporto fisso da una molla di costante elastica k. Il sistema è inizialmente in quiete sopra un piano orizzontale che è liscio alla destra del punto O e scabro alla sua sinistra. Ad un certo istante con un’opportuna forza esterna si imprime al corpo una velocità \vec{v}_0 nel verso indicato in figura 1. Si richiede di calcolare

  • di quanto è allungata la molla nell’istante in cui il corpo si ferma.

Il corpo ripassa per O con velocità -\vec{v}_0, orientata come in figura 1, e si ferma dopo aver percorso da O la distanza x', nel piano scabro. Si richiede di calcolare

  • il valore del coefficiente di attrito dinamico \mu.

Supporre che valga mv_0^2-kx'^2>0.

 

 

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Svolgimento punto 1.

Osserviamo che, nella parte del piano orizzontale liscio, sulla massa m agiscono la reazione vincolare \vec{N} e la forza peso m\vec{g}. Le forze \vec{N} e m\vec{g} non fanno lavoro perché sono perpendicolari, istante per istante, al moto di m. Inoltre, agisce anche la forza elastica \vec{f}_{\text{el}}, generata dalla molla al quale è attaccata la massa, che è conservativa. Dunque, da quanto detto, deduciamo che nel piano liscio, dove si svolge inizialmente il moto della massa m, si conserva l’energia per la massa m. Per la risoluzione del punto 1 del problema è sufficiente sfruttare la conservazione dell’energia meccanica. Consideriamo come configurazione iniziale l’istante in cui al corpo viene trasmessa una velocità iniziale di modulo v_0 e la molla è momentaneamente nella posizione di riposo. L’energia meccanica E_{\text{in}} iniziale del sistema, in questo istante, è data dal solo contributo cinetico del corpo di massa m, ossia

(1)   \begin{equation*} E_{\text{in}}=\dfrac{1}{2}mv_{0}^2. \end{equation*}

Consideriamo come configurazione finale l’istante in cui il corpo si ferma (v=0), ovvero quando la molla raggiunge la sua massima elongazione \Delta x. Chiaramente il corpo di massa m si ferma a causa della forza elastica \vec{f}_{\text{el}}. L’energia meccanica E_{\text{fin}} del sistema in questo istante è data dal solo contributo potenziale elastico, ossia

(2)   \begin{equation*} E_{\text{fin}}=\dfrac{1}{2}k\Delta x^2, \end{equation*}

dove \Delta x rappresenta il massimo allungamento della molla. Dalla conservazione dell’energia meccanica, si ha

(3)   \begin{equation*} E_{\text{in}}=E_{\text{fin}}, \end{equation*}

da cui, usando le equazioni (1) e (2), la precedente equazione diventa

(4)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_{0}^2=\dfrac{1}{2}k\Delta x^2, \end{equation*}

per cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta x=\sqrt{\dfrac{m}{k}}v_0.}\]


Svolgimento punto 2.

Quando il corpo ripassa per O con velocità -\vec{v}_0 esso continuerà a muoversi nella regione in cui il piano risulta scabro. Quindi l’energia meccanica adesso non è più conservata, dato che è presente attrito tra il piano ed il corpo m. Per il teorema delle forze vive o dell’energia lavoro sappiamo che il lavoro L_{\text{att}} svolto dalla forza di attrito dinamico \vec{f}_d, in un certo lasso di tempo (chiaramente ci si sta riferendo a questo particolare problema), è pari alla variazione di energia meccanica totale \Delta E del sistema nel medesimo intervallo temporale, ovvero

(5)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=\Delta E. \end{equation*}

Consideriamo come lasso temporale quello in cui il corpo passa dal punto O con velocità -\vec{v}_0 e la molla è a riposo, fino all’istante in cui esso si arresta, raggiungendo la massima compressione della molla pari ad x'. Nell’istante iniziale il corpo ha velocità di modulo v_0 e la molla è a riposo. In questa configurazione l’energia meccanica E_{\text{in}} del corpo è data dalla sola energia cinetica essendo la molla a riposo, ossia

(6)   \begin{equation*} E_{\text{in}}=\dfrac{1}{2}mv_{0}^2. \end{equation*}

Nell’istante finale il corpo si arresta e la molla è compressa di x'. In questa configurazione l’energia meccanica E_{\text{fin}} del corpo è data dalla sola energia potenziale elastica della molla essendo il corpo fermo, cioè

(7)   \begin{equation*} E_{\text{fin}}=\dfrac{1}{2}kx'^2. \end{equation*}

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, tale per cui l’origine O coincida con la posizione a riposo della molla, e l’asse delle x sia coincidente con il piano orizzontale sul quale poggia m. Il sistema di riferimento è rappresentato nella figura 2.

 

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Sul corpo agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}, la forza di attrito dinamico \vec{f}_d, e la forza elastica \vec{f}_{\text{el}}, orientate come in figura 3. Per la seconda legge della dinamica, nella direzione dell’asse y, si ha N=mg. Ricordando che la forza di attrito dinamico è definita come f_d=N\mu, si ottiene f_d=N\mu=mg\mu. Sia \hat{x} il versore dell’asse delle x. Essendo \vec{f}_d una forza costante in modulo, direzione e verso, risulta che il lavoro fatto da quest’ultima nel tratto in cui il corpo si è spostato di \vec{x}^{\,'}=x'\,\hat{x} rispetto ad O, è pari a

(8)   \begin{equation*} L_{\text{att}}=\vec{f}_d\cdot\vec{x}^{\,'}=(-f_d\,\hat{x})\cdot(x'\,\hat{x})=-f_dx'=-mg\mu x'. \end{equation*}

Usando le equazioni (6), (7) e (8), l’equazione (5) diventa

(9)   \begin{equation*} -\mu mgx'=\dfrac{1}{2}k(x')^2-\dfrac{1}{2}mv_{0}^2\quad\Leftrightarrow\quad \mu m gx'=\dfrac{1}{2}mv_{0}^2-\dfrac{1}{2}k(x')^2, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ \mu=\dfrac{mv_{0}^2-kx'^2}{2mgx'}.}\]

Osserviamo che il precedente risultato è ben definito perché per ipotesi vale mv_0^2-kx'^2>0.

 


Approfondimento.

L’equazione (9) esprime in termini quantitativi il fatto che non tutta l’energia cinetica iniziale del corpo viene convertita in energia potenziale elastica, ma una parte di essa è dissipata dalla forza di attrito. Infatti, risolvendo mv_0^2-kx'^2>0 rispetto ad x', abbiamo che

(10)   \begin{equation*} \left(x'\right)^2<\dfrac{mv_{0}^2}{k}= \Delta x^2\quad\Leftrightarrow\quad \left| x'\right|<\left| \Delta x\right|. \end{equation*}

Quindi l’ampiezza del moto armonico quando il corpo passa alla sinistra del punto O viene smorzata a causa della forza di attrito.