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Esercizio 44  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un pendolo semplice di massa m e lunghezza \ell, oscilla intorno al punto A con un’ampiezza iniziale rispetto alla verticale pari a \theta_0=\pi/2. Si richiede di calcolare, in funzione del generico angolo \theta che il pendolo semplice forma con la verticale al piano di sospensione:

  1. il modulo v della velocità \vec{v} di m;
  2. il modulo a dell’accelerazione \vec{a} di m;
  3. il modulo T della tensione \vec{T} del filo esercitata sul corpo di massa m.

 

 

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Svolgimento. Punto 1. Sul corpo di massa m agisce la forza peso m\vec{g} che è conservativa e la tensione \vec{T} del filo che non compie lavoro perché è perpendicolare, istante per istante, al moto della massa m. Da quanto osservato, deduciamo che, l’energia della massa m è conservata in ogni istante. Definiamo un sistema di riferimento fisso Oy, la cui origine O è posta alla medesima quota del punto A; tale quota definisce arbitrariamente lo zero dell’energia potenziale gravitazionale, come illustrato in figura 2.

 

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Consideriamo come configurazione iniziale quella per cui il pendolo si trova, con velocità nulla, alla sua massima ampiezza \theta_0=\pi/2; in tale configurazione l’energia meccanica E_{\text{in}} di m è

(1)   \begin{equation*} E_{\text{in}}=0. \end{equation*}

Come configurazione finale consideriamo la situazione tale per cui il corpo si trova ad un generico angolo \theta, rispetto alla verticale; in tale configurazione l’energia meccanica E_{\text{fin}} di m è

(2)   \begin{equation*} E_{\text{fin}}=-mg\ell\cos\theta+\dfrac{1}{2}mv^{2}(\theta). \end{equation*}

Dalla conservazione dell’energia meccanica, segue che

(3)   \begin{equation*} E_{\text{in}}=E_{\text{fin}}. \end{equation*}

Utilizzando le equazioni (1) e (2), la precedente equazione diventa

(4)   \begin{equation*} 0=-mg\ell\cos\theta+\dfrac{1}{2}mv^2(\theta). \end{equation*}

Esplicitando v(\theta), nell’equazione (4), otteniamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{ v(\theta)=\sqrt{2g\ell\cos\theta}.}\]

Osserviamo che il corpo di massa m raggiunge la massima velocità quando il filo è posto in verticale, cioè quando vale \theta=0\,\text{rad}, e in particolare, il valore massimo della velocità è

(5)   \begin{equation*} v(0)=\sqrt{2g\ell}. \end{equation*}

Punto 2. Il corpo di massa m è vincolato a muoversi lungo una circonferenza di raggio \ell e sappiamo che la sua accelerazione \vec{a} in generale può essere scomposta come la somma di una componente tangenziale \vec{a}_{\tau} ed una normale \vec{a}_{n}, ossia

(6)   \begin{equation*} \vec{a}=\vec{a}_{\tau}+\vec{a}_{n}, \end{equation*}

da cui il suo modulo è

(7)   \begin{equation*} \left |\vec{a}\right|=a=\sqrt{a_{\tau}^2+a_{n}^2}, \end{equation*}

dove a_{\tau} e a_{n} sono rispettivamente il modulo dell’accelerazione \vec{a}_{\tau} e dell’accelerazione \vec{a}_{n}.
La componente normale dell’accelerazione ha modulo

(8)   \begin{equation*} a_n(\theta)=\dfrac{v^2(\theta)}{\ell}=2g\cos\theta, \end{equation*}

dove abbiamo usato l’espressione di v(\theta) ricavata al punto 1.
Per calcolare la componente tangenziale \vec{a}_\tau dell’accelerazione del corpo, costruiamo il diagramma di corpo libero, come illustrato in figura 3. Inoltre, abbiamo definito il sistema di riferimento cartesiano Otn, con l’asse delle t tangente alla traiettoria della massa m, e l’asse delle n ortogonale alla traiettoria. Si ricordi che sul corpo di massa m agiscono la forza peso m\vec{g} e la tensione del filo \vec{T}, orientate come in figura 3.

 

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Dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo gli assi t e n, abbiamo che

(9)   \begin{equation*} \begin{cases} t: -mg\sin\theta=ma_\tau\\ n: T-mg\cos\theta=ma_n. \end{cases} \end{equation*}

Dalla prima equazione del sistema (9), otteniamo che

(10)   \begin{equation*} a_\tau=-g\sin\theta. \end{equation*}

L’equazione (7), usando le equazioni (8) e (10), diventa

(11)   \begin{equation*} a=\sqrt{4g^{2}\cos^{2}\theta+g^{2}\sin^{2}\theta}=g\sqrt{4\cos^{2}\theta+1-\cos^{2}\theta}, \end{equation*}

ossia

    \[\boxcolorato{fisica}{ a(\theta)=g\sqrt{1+3\cos^{2}\theta}.}\]

Punto 3. Dalla seconda equazione del sistema (9), si trova

(12)   \begin{equation*} T=mg\cos\theta+ma_n, \end{equation*}

da cui, utilizzando l’espressione di a_n data dall’equazione (8), la precedente equazione diventa

(13)   \begin{equation*} T=mg\cos\theta+2mg\cos\theta, \end{equation*}

ossia

    \[\boxcolorato{fisica}{ T(\theta)=3mg\cos\theta.}\]