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Esercizio lavoro ed energia 32

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Esercizio lavoro ed energia 32

L’esercizio 32 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 31 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 33. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 32

Esercizio 32 (\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Due punti materiali 1 e 2, ciascuno di massa m, sono vincolati a scorrere senza attrito lungo due binari in un piano orizzontale che formano tra di loro un angolo fisso 2\theta e che giacciono su un piano orizzontale.
I due punti materiali sono connessi da una molla ideale, di lunghezza a riposo nulla, di costante elastica k, e di massa trascurabile. Le due masse si muovono in modo da mantenere le rispettive distanze dal punto di giunzione dei due binari uguali tra loro. Calcolare:

  1. Il modulo della forza esercitata dalla molla su ciascuna massa quando le masse distano \ell dal punto in comune dei due binari;
  2. il periodo del moto quando le masse vengono messe ad una distanza generica x^\prime dal punto di intersezione delle due guide.

Si trascuri ogni forma di attrito e supporre che quando i due punti si urtino nel punto di intersezione delle due guide non ci sia dissipazione di energia. In altri termini, supporre che il moto sia periodico anche se sussiste un urto nella posizione di equilibrio x^\prime=0, ovvero quando i due punti materiali si incontrano nel punto di intersezione tra le due guide.

 

 

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Figura 1: schema del problema.

 
 

Svolgimento punto 1.

Per risolvere il problema scegliamo due sistemi di riferimento fissi O^{\prime}x^{\prime}y^{\prime} e O^{\prime\prime} x^{\prime\prime} y^{\prime\prime}, tali che gli assi x^{\prime} e x^{\prime\prime} giacciano lungo i due binari, e con O^{\prime} e O^{\prime\prime} coincidenti con i punti materiali di massa m nell’istante iniziale, come mostra la figura 2.

 

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Figura 2: scelta dei sistemi di riferimento, rappresentazione delle forze e della geometria del problema.

Diagramma delle forze e dei sistemi di riferimento utilizzati per calcolare le forze agenti sui punti materiali in un sistema di guide inclinate, in un problema di lavoro ed energia

   

Chiamiamo x la lunghezza della molla, come mostra la figura 2. Sul punto materiale 1 agisce la reazione vincolare \vec{N}_1 e la forza della molla \vec{F}_{\text{el}}. Sul punto materiale 2 agisce la reazione vincolare \vec{N}_2 e la forza della molla -\vec{F}_{\text{el}}. Si osservi che abbiamo considerato solo le forze presenti sul piano orizzontale; la forze peso e la reazioni vincolari di entrambi i corpi sono perpendicolari al piano sul quale giacciono i punti materiali, ma non è necessario considerale ai fini della risoluzione del problema. Facendo riferimento alla figura 1, è possibile esprimere la lunghezza della molla x in funzione dell’angolo \theta; dalla geometria del problema risulta infatti

(1)   \begin{equation*} \dfrac{x}{2}=\ell\sin \theta \quad\Rightarrow\quad x=2\ell \sin \theta, \end{equation*}

da cui, sfruttando la legge di Hooke, concludiamo

    \[\boxcolorato{fisica}{{F}_{\text{el}}=kx =2k\ell \sin \theta.}\]

Siccome la molla è ideale e di massa trascurabile entrambi i corpi sono soggetti a una forza di modulo F_{\text{el}}, stessa direzione, ma verso opposto, come si può dedurre dalla figura 2.


Svolgimento punto 2.

Osserviamo che le reazioni vincolari \vec{N}_1 e \vec{N}_2 fanno lavoro nullo, poiché sono perpendicolari istante per istante alla velocità. Inoltre, la forza della molla è una forza conservativa, pertanto possiamo affermare che si conserva l’energia totale E del sistema composto dalle due masse, ovvero E=\text{costante}. L’energia totale si esprime come

(2)   \begin{equation*} E=\dfrac{1}{2}m\left(\dot{x^{\prime}}\right)^2+\dfrac{1}{2}m\left(\dot{x^{\prime}}\right)^2+\dfrac{1}{2}kx^2=m\left(\dot{x^{\prime}}\right)^2+\dfrac{1}{2}kx^2, \end{equation*}

dove \left(\dot{x^{\prime}}\right)^2 rappresenta il modulo quadro della velocità con il quale si muovono i due punti materiali, supposta uguale per via del vincolo imposto dal problema, ovvero che i due punti materiale devono mantenere le rispettive distanze dal punto di giunzione uguali tra di loro. Di seguito in figura 3, rappresentiamo la geometria del problema e le forze agenti sui due punti materiali.

 

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Diagramma dettagliato delle forze e della geometria del problema con molla ideale e due punti materiali, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

Figura 3: scelta dei sistemi di riferimento, rappresentazione delle forze e della geometria del problema.

   

Dalla figura 3, si deduce che

(3)   \begin{equation*} \dfrac{x}{2}=x^\prime \sin \theta , \end{equation*}

da cui, derivando ambo i membri, si ottiene

(4)   \begin{equation*} \dfrac{ \dot{x}}{2}=\dot{x^\prime} \sin \theta . \end{equation*}

Mettendo a sistema le equazioni (2), (3), e (4), otteniamo

(5)   \begin{equation*} E=m\left(\dot{x^{\prime}}\right)^2+\dfrac{1}{2}k\left(2x^\prime \sin \theta\right)^2, \end{equation*}

oppure

(6)   \begin{equation*} E=m\left(\dot{x^{\prime}}\right)^2+2k\left(x^{\prime}\right)^2\sin^2 \theta. \end{equation*}

Derivando ambo i membri dell’equazione (6), si ottiene

(7)   \begin{equation*} 0=2m\dot{x^{\prime}}\ddot{x^{\prime}}+4kx^{\prime}\dot{x}^{\prime}\sin^2 \theta, \end{equation*}

conseguentemente

(8)   \begin{equation*} 0=\ddot{x^{\prime}}+\left(\dfrac{2k}{m}\sin^2\theta\right) x^{\prime}. \end{equation*}

L’equazione (8) è la condizione necessaria e sufficiente affinché un moto sia armonico semplice, pertanto deduciamo che la pulsazione è

(9)   \begin{equation*} \omega^2=\dfrac{2k}{m}\sin^2\theta. \end{equation*}

Per il calcolo del periodo dobbiamo prestare molta attenzione alla fisica del problema. Consideriamo, ad esempio, il caso massa-molla che in x=0 (posizione di equilibrio) presenta una parete verticale con cui la massa urta elasticamente. Poiché non è libera di andare nelle x negative, il periodo si dimezza, nell’ipotesi che l’urto sia elastico chiaramente. Qui il caso è analogo, dato che i due punti materiali una volta che si urtano nel punto in comune delle due guide tornano indietro e non proseguono oltre il punto in comune delle guide. Pertanto abbiamo

    \[\boxcolorato{fisica}{T=\dfrac{2\pi}{2\sin \theta} \sqrt{\dfrac{m}{2k}}=\dfrac{\pi}{\sin \theta} \sqrt{\dfrac{m}{2k}}.}\]

 

 


Approfondimento.

Se si vuole vedere un procedimento alternativo per il punto 2, clicca qui.

 

Scarica gli esercizi svolti

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Esercizi di Meccanica classica

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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