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Esercizio 31  (\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo approssimabile a un punto materiale di massa m è agganciato a due molle; la prima, di costante elastica k_1, ha l’altro estremo fissato sulla parte superiore di una scatola, mentre l’altra di costante elastica k_2 ha l’altro estremo agganciato alla parte inferiore della stessa scatola. La scatola è alta \ell_0 e tale lunghezza è pari anche alla lunghezza a riposo di entrambe le molle. Il corpo è vincolato a muoversi lungo la direzione verticale, le molle sono ideali e possono comprimersi fino ad avere lunghezza nulla. Si supponga la scatola ferma.

  1. Si appoggi m alla base della scatola e si determini il valore minimo k_{2,{\min}} di k_2 necessario affinché la massa m possa essere in equilibrio senza essere appoggiata alla base della scatola (reazione vincolare nulla).
  2. Il corpo viene lasciato da fermo dalla posizione iniziale y_0=\ell_0/2. Si calcoli la velocità massima v_{\max} che ha il corpo durante il moto e il periodo del moto.

 

 

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Svolgimento punto 1.

Per ipotesi, sappiamo che il corpo è vincolato a muoversi lungo la direzione verticale, dunque il suo moto è descritto nella sola direzione verticale (un grado di libertà). Per studiare tale moto, introduciamo un sistema di riferimento fisso Oy, tale che O sia posto alla stessa quota della parete superiore della scatola e l’asse y sia parallelo alle pareti laterali, come mostrato in figura 2. In questo punto del problema, viene richiesto di trovare il valore minimo di k_2 per cui il corpo sia in equilibrio alla base della scatola, come mostra la figura 2.

 

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Osserviamo che in questa configurazione le forze che agiscono sul punto materiale sono la propria forza peso m\vec{g}, la forza elastica \vec{F}_{\text{el},2} esercitata dalla molla di costante elastica k_2, la reazione vincolare \vec{N} dovuta al contatto con la parete inferiore della scatola, e la forza elastica di richiamo \vec{F}_{\text{el},1} esercitata dalla molla di costante elastica k_1. La forza \vec{F}_{\text{el},1} risulta nulla in quanto l’elongazione della molla è pari alla sua lunghezza a riposo, dunque dalla legge di Hooke segue che \vec{F}_{\text{el},1}=\vec{0}. Impostiamo l’equazione del moto sfruttando il secondo prinicipio della dinamica e imponendo che, poichè il punto materiale è in equilibrio, che la somma delle forze agenti su di esso sia nulla, cioè

(1)   \begin{equation*} mg-N-k_2\ell_0=0. \end{equation*}

Per ipotesi il punto materiale non tocca la parete, dunque la forza dovuta al contatto con la scatola deve essere nulla, ossia N=0. Segue che

(2)   \begin{equation*} mg-k_{2,{\min}}\ell_0=0, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{k_{2,{\min}}=\dfrac{mg}{\ell_0}.}\]


Svolgimento punto 2.

Quando il corpo viene lasciato libero di muoversi, si ha che nel generico istante di tempo t>0, le forze che agiscono su di esso sono le forze elastiche delle due molle e la forza peso del corpo stesso. Chiaramente rispetto al punto precedente non è presente la reazione vincolare in quanto stiamo considerando la situazione di quando non avviene il contatto con la parete superiore o inferiore della scatola.

 

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Osserviamo inoltre che, dal momento che il moto del punto materiale è confinato all’interno della scatola e che la lunghezza a riposo di entrambe le molle è pari a \ell_0, le forze elastiche \vec{F}_{\text{el},1} e \vec{F}_{\text{el},2} essendo entrambe forze di richiamo, \vec{F}_{\text{el},1} sarà sempre concorde al verso positivo dell’asse y, mentre \vec{F}_{\text{el},2} sarà sempre concorde al verso negativo dell’asse y. In questo caso, per il secondo principio della dinamica, l’equazione del moto è

(3)   \begin{equation*} k_1(\ell_0-y)+k_2(\ell_0-y-\ell_0)+mg=m\ddot{y}, \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} k_1(\ell_0-y)-k_2y+mg=m\ddot{y}. \end{equation*}

Per determinare la posizione \tilde{y} rispetto al punto O in cui la velocità del corpo risulta massima, imponiamo che la sua accelerazione sia nulla (il moto del punto materiale è armonico semplice, dunque, la velocità risulta massima quando l’accelerazione è nulla), ossia che \ddot{y}=0. Otteniamo così

(5)   \begin{equation*} k_1\ell_0-k_1\tilde{y}-k_2\tilde{y}+mg=0\quad\Leftrightarrow\quad\tilde{y}=\dfrac{k_1\ell_0+mg}{k_1+k_2}, \end{equation*}

dove abbiamo posto y=\tilde{y}. Osserviamo che sul punto materiale m agiscono solo forze conservative, pertanto si conserva l’energia meccanica di m. A questo punto, nota la posizione in cui il corpo raggiunge la massima velocità, possiamo calcolare quest’ultima attraverso il bilancio energetico: sappiamo infatti che il corpo viene lasciato libero di muoversi da fermo, dunque la sua energia cinetica iniziale è nulla. Avremo invece che la sua energia potenziale iniziale sarà data dalla somma dei due contributi elastici delle molle e del contributo dell’energia gravitazionale. Ponendo l’energia potenziale nulla alla quota y=0, nel sistema di riferimento Oy, avremo

(6)   \begin{equation*} U_i=\dfrac{1}{2}k_1\dfrac{\ell_0^2}{4}+\dfrac{1}{2}k_2\dfrac{\ell_0^2}{4}-mg\dfrac{\ell_0}{2}=\dfrac{1}{8}\ell_0^2(k_1+k_2)-mg\dfrac{\ell_0}{2}. \end{equation*}

L’energia meccanica del corpo quando y=\tilde{y}, ossia quando la velocità è pari a v_{\max}, è data invece oltre che dai contributi potenziali elastici e gravitazionali, anche da un contributo cinetico. Avremo dunque

(7)   \begin{equation*} U_f=\dfrac{1}{2}mv_{\max}^2+\dfrac{1}{2}k_1(\ell_0-\tilde{y})^2+\dfrac{1}{2}k_2\tilde{y}^2-mg\tilde{y}. \end{equation*}

Si osservi che siccome abbiamo posto il sistema di riferimento orientato come in figura 3, l’energia potenziale gravitazionale è -mgy, altrimenti se avessimo posto il sistema di riferimento nel verso opposto avremmo avuto mgy, con y quota generica di m nel sistema di riferimento adottato. Pe la conservazione dell’energia abbiamo

(8)   \begin{equation*} U_i=U_f, \end{equation*}

ossia

(9)   \begin{equation*} \dfrac{\ell_0}{8}^2(k_1+k_2)-mg\dfrac{\ell_0}{2}=\dfrac{1}{2}mv_{max}^2+\dfrac{1}{2}k_1(\ell_0-\tilde{y})^2+\dfrac{1}{2}k_2\tilde{y}^2-mg\tilde{y}, \end{equation*}

per cui

(10)   \begin{equation*} v_{max}^2=\dfrac{2}{m}\left(\dfrac{\ell_0^2}{8}(k_1+k_2)-mg\left(\dfrac{\ell_0}{2}-\tilde{y}\right)-\dfrac{1}{2}k_1\left(\ell_0-\tilde{y}\right)^2-\dfrac{1}{2}k_2\tilde{y}^2\right), \end{equation*}

o anche, sostituendo \tilde{y} (determinata nell’equazione (5)), si ottiene

    \[\boxcolorato{fisica}{v_{max}=\sqrt{\dfrac{2}{m}\left(\dfrac{\ell_0^2}{8}(k_1+k_2)-mg\left(\dfrac{\ell_0}{2}-\dfrac{k_1\ell_0+mg}{k_1+k_2}\right)-\dfrac{1}{2}k_1\left(\ell_0-\dfrac{k_1\ell_0+mg}{k_1+k_2}\right)^2-\dfrac{1}{2}k_2\left(\dfrac{k_1\ell_0+mg}{k_1+k_2}\right)^2\right)}.}\]

Dall’equazione (4), si ha

(11)   \begin{equation*} k_1\ell_0-k_1\tilde{y}-k_2\tilde{y}+mg=m\ddot{y}, \end{equation*}

oppure

(12)   \begin{equation*} \ddot{y}=g+\dfrac{k_1\ell_0}{m}-\left(\dfrac{k_1+k_2}{m}\right)\tilde{y}. \end{equation*}

L’equazione (12) un’equazione differenziale del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti, la cui omogenea associata è l’equazione di un oscillatore armonico unidimensionale; le sue soluzioni sono dunque funzioni oscillanti con pulsazione pari a

(13)   \begin{equation*} \omega=\sqrt{\dfrac{k_1+k_2}{m}}. \end{equation*}

Possiamo dunque concludere che il periodo delle oscillazioni è

    \[\boxcolorato{fisica}{T=2\pi\sqrt{\dfrac{k_1+k_2}{m}}.}\]