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Lavoro ed energia: esercizio 30

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio lavoro ed energia 30

L’esercizio 30 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 29 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 31. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

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Testo lavoro ed energia 30

Esercizio 30 (\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una molla è legata per un’estremità al punto più alto di una guida circolare di raggio R disposta verticalmente e per l’altra estremità ad un anello di massa m e raggio trascurabile in grado di scorrere senza attrito lungo la guida circolare. La lunghezza della molla a riposo è \ell<2R. Quando viene stirata, la molla reagisce con una forza elastica F=-k\Delta\ell. Si determini

  1. i valori assunti dall’angolo \phi tra l’elastico e la verticale nelle posizioni di equilibrio dell’anello;
  2. la condizione che deve soddisfare la costante elastica k affinché l’anello sia in equilibrio ad un angolo \phi\neq0.

 

 

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Svolgimento.

Prima di procedere con la risoluzione del punto a) è utile schematizzare il sistema in esame da un punto di vista geometrico, come illustrato in figura 2. In particolare supponiamo che l’anello di massa m individuato dal punto A si trovi ad una distanza radiale r dal punto più alto della guida circolare detto O. Se dal punto A tracciamo il segmento che lo congiunge al punto più basso della guida, detto O', otteniamo un triangolo OAO' inscritto in una semicirconferenza e pertanto rettangolo in A.

 

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Geometria del sistema in esame con un anello di massa m che scorre lungo una guida circolare e la posizione del punto A dove si analizza l'equilibrio dell'anello con la molla allungata.

 

Per quanto detto, segue che la distanza dell’anello dall’estremità superiore della circonferenza \overline{OA} è

(1)   \begin{equation*} r=2R\cos\phi, \end{equation*}

da cui otteniamo che l’allungamento della molla \Delta\ell è data da

(2)   \begin{equation*} \Delta\ell=r-\ell=2R\cos\phi-\ell. \end{equation*}

 


Punto 1.

Immaginiamo di avere l’anello in equilibrio e che formi un angolo \phi come in figura 3. Definiamo un sistema di riferimento inerziale Otn, con l’origine O in corrispondenza dell’anello di massa m, l’asse t è tangente alla circonferenza nel punto O e l’asse n ad esso ortogonale (quindi nella direzione del raggio). Costruiamo il diagramma di corpo libero per l’anello di massa m come illustrato in figura 3. Sull’anello agisce la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} e la forza elastica \vec{F}_{el}, orientate come in figura 3. Ovviamente la reazione vincolare \vec{N} è in direzione dell’asse n, cioè perpendicolare alla guida.

 

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Diagramma di corpo libero per l'anello di massa m, mostrando le forze in gioco: forza elastica, forza peso e reazione vincolare mentre si trova in equilibrio sulla guida circolare.

 

Dalla seconda equazione della dinamica, proiettando le forze lungo l’asse delle t e richiedendo che l’anello sia in equilibrio, si ha che

(3)   \begin{equation*} F_{el}\sin\gamma-mg\sin\beta=0\quad\Leftrightarrow\quad k\Delta\ell\sin\gamma=mg\sin\beta, \end{equation*}

dove \gamma è l’angolo che il vettore \vec{F}_{el} forma con il semiasse positivo dell’asse n, mentre \beta è l’angolo che m\vec{g} forma con il semiasse negativo dell’asse n, come rappresentato in figura 3. Osserviamo che nell’equazione (3) compaiono gli angoli \gamma e \beta che non sono dati espliciti del problema, ma vanno scritti opportunamente in funzione dell’angolo \phi. A tal proposito si consideri la figura 4.

 

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Rappresentazione dei vari angoli formati dalle forze e dall'equilibrio dell'anello sulla guida circolare, analizzando le componenti lungo gli assi n e t.

 

Innanzitutto osserviamo che l’angolo \beta è il corrispondente angolo al centro (la dimostrazione di quanto detto segue direttamente dal legame tra angoli al centro e angoli alla circonferenza: un angolo alla circonferenza è la metà di un angolo al centro che insiste sullo stesso arco) dell’angolo \phi, entrambi insistenti sullo stesso arco di circonferenza OB, pertanto

(4)   \begin{equation*} \beta=2\phi. \end{equation*}

Inoltre, in riferimento al triangolo ACO, richiedendo che la somma degli angoli interni sia pari a \pi, si ha che

(5)   \begin{equation*} \phi+(\pi-\beta)+\gamma=\pi\quad\Leftrightarrow\quad \gamma=\beta-\phi, \end{equation*}

da cui, usando la relazione (4), si trova che

(6)   \begin{equation*} \gamma=\phi. \end{equation*}

Abbiamo ottenuto gli angoli \gamma e \beta in funzione dell’angolo \phi. Dunque, possiamo riscrivere l’equazione (3) in termini dell’angolo \phi, ossia

(7)   \begin{equation*} k\Delta\ell\sin\phi=mg\sin \left(2\phi\right). \end{equation*}

Infine, utilizzando l’espressione di \Delta\ell calcolata nell’equazione (2), si può riscrivere l’equazione (3) come segue

(8)   \begin{equation*} k(2R\cos\phi-\ell)\sin\phi=mg\sin 2\phi. \end{equation*}

Svolgendo i calcoli otteniamo

    \[\begin{aligned} &k(2R\cos\phi-\ell)\sin\phi=mg\sin 2\phi\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad k(2R\cos\phi-\ell)\sin\phi=2mg\sin\phi\cos\phi\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad k(2R\cos\phi-\ell)\sin\phi-2mg\sin\phi\cos\phi=0\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] & \Leftrightarrow\quad\sin\phi(2kR\cos\phi-k\ell-2mg\cos\phi)=0. \end{aligned}\]

Dalla precedente equazione si ha

(9)   \begin{equation*} \sin\phi=0, \end{equation*}

da cui

(10)   \begin{equation*} \phi=0,\pi. \end{equation*}

Inoltre, sempre dalla precedente equazione, abbiamo

(11)   \begin{equation*} 2kR\cos\phi-k\ell-2mg\cos\phi=0\quad\Leftrightarrow\quad \cos\phi=\dfrac{k\ell}{2(kR-mg)}, \end{equation*}

che ha come soluzioni

(12)   \begin{equation*} \phi=\pm\arccos\left(\dfrac{k\ell}{2\left(kR-mg\right)}\right). \end{equation*}

Quindi esistono quattro possibili configurazioni angolari del sistema tali per cui esso risulta in equilibrio, ossia

    \[\boxcolorato{fisica}{\begin{aligned} &\phi_1=0;\\ &\phi_2=\pi;\\ &\phi_3=\arccos\left(\dfrac{k\ell}{2\left(kR-mg\right)}\right);\\ &\phi_4=-\arccos\left(\dfrac{k\ell}{2\left(kR-mg\right)}\right). \end{aligned}}\]

 


Punto 2.

Per la risoluzione del punto b) è sufficiente notare che le soluzioni \phi_3 e \phi_4 non sono matematicamente ben definite per qualunque valore dei parametri k, R, m ed \ell. Infatti, per la condizione di esistenza dell’arcocoseno, si ha

(13)   \begin{equation*} -1\leq \dfrac{k\ell}{2(kR-mg)}\leq 1. \end{equation*}

È chiaro che per costruzione l’angolo dell’arcoseno è compreso tra 0^\circ e 90^\circ, pertanto

(14)   \begin{equation*} 0< \dfrac{k\ell}{2(kR-mg)}\leq 1. \end{equation*}

Abbiamo dunque

(15)   \begin{equation*} \dfrac{k\ell}{2(kR-mg)}\leq 1 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{k\ell-2(kR-mg)}{2(kR-mg)}\leq 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{k(\ell-2R)+2mg}{2(kR-mg)}\leq 0. \end{equation*}

Ricordando che 2R>\ell è utile riscrivere la disequazione (15) come segue

(16)   \begin{equation*} \dfrac{-k(2R-\ell)+2mg}{2(kR-mg)}\leq 0, \end{equation*}

o anche

(17)   \begin{equation*} \dfrac{k{(2R-\ell)}-2mg}{2(kR-mg)}\geq 0. \end{equation*}

Poniamo \alpha\coloneqq \dfrac{mg}{R}, da cui, la disequazione (17) diventa

(18)   \begin{equation*} \dfrac{k\left(1-\dfrac{\ell}{2R}\right)-\dfrac{mg}{R}}{\left(k-\dfrac{mg}{R}\right)}\geq 0 \end{equation*}

cioè

(19)   \begin{equation*} \dfrac{k\left(1-\dfrac{\ell}{2R}\right)-\alpha}{\left(k-\alpha\right)}\geq 0. \end{equation*}

Prima di procedere alla risoluzione della disequazione (19), si osservino i fatti ovvi

(20)   \begin{equation*} \dfrac{\alpha}{1-\dfrac{\ell}{2R}}>\alpha \end{equation*}

e

(21)   \begin{equation*} \dfrac{\alpha}{1+\dfrac{\ell}{2R}}<\alpha. \end{equation*}

La disequazione (19) ha come soluzione

(22)   \begin{equation*} k<\alpha \quad \Leftrightarrow \quad k\geq \dfrac{\alpha}{1-\dfrac{\ell}{2R}}. \end{equation*}

Risolviamo

(23)   \begin{equation*} 0< \dfrac{k\ell}{2(kR-mg)}, \end{equation*}

oppure

(24)   \begin{equation*} \dfrac{k\ell}{2(kR-mg)}>0, \end{equation*}

conseguentemente usando la definizione di \alpha, otteniamo

(25)   \begin{equation*} \dfrac{k\ell}{2R(k-\alpha)}>0, \end{equation*}

che ha come soluzione

(26)   \begin{equation*} k>\alpha. \end{equation*}

Mettendo a sistema la disequazione (??) e la disequazione (??), otteniamo come risultato

(27)   \begin{equation*} k\geq \dfrac{\alpha}{1-\dfrac{\ell}{2R}}. \end{equation*}

Si conclude che la condizione che deve soddisfare la costante elastica k affinché l’anello rimanga in equilibrio è

    \[\boxcolorato{fisica}{ k\geq \dfrac{\alpha}{1-\dfrac{\ell}{2R}}.}\]

Si osservi che le soluzioni trovate sono le condizioni che deve soddisfare \alpha affinché le condizioni di equilibrio \phi_3 e \phi_4 siano ben definite.


 
 

Esercizi di Meccanica classica

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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