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Esercizio 33  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un bue traina una slitta con un carico complessivo di massa m su una strada ripida, con pendenza \theta, mediante una fune inestensibile e di massa trascurabile. Il coefficiente di attrito dinamico fra la slitta e la strada è \mu_d. Il bue durante il traino eroga una potenza P.

  1. Calcolare il modulo costante della velocità con cui il bue riesce a tirare la slitta diretta parallelamente al piano inclinato.
  2. Calcolare la potenza dissipata per effetto dell’attrito e la corrispondente frazione rispetto alla potenza P erogata dal bue.
  3. Calcolare la potenza per compiere lavoro contro la forza di gravità e la corrispondente frazione rispetto alla potenza P erogata dal bue.
  4.  Si verifichi che si conserva la potenza, in ogni istante t>0.

 

 

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Svolgimento. Punto 1. Definiamo un sistema di riferimento cartesiano inerziale Oxy, con l’asse delle x parallelo al piano inclinato e l’asse delle y ad esso ortogonale, tale per cui, istante per istante l’origine O sia coincidente con la massa m, come in figura 2. Costruiamo il diagramma di corpo libero per il corpo m, come illustrato in figura 2. Sulla slitta di massa m agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} in seguito al contatto col piano inclinato, la forza di attrito dinamico \vec{f}_d e la forza \vec{T} esercitata dal bue trasmessa attraverso la corda. Le forze sono orientate come in figura 2.

 

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Dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo gli assi x ed y, si ottiene

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x: -f_d-mg\sin\theta+T=0\\ y: N-mg\cos\theta=0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x: T=f_d+mg\sin\theta\\ y: N=mg\cos\theta, \end{cases} \end{equation*}

dove si è tenuto conto che lungo l’asse delle x il corpo m si muove di velocità costante.
Il modulo della forza di attrito dinamico è per definizione

(2)   \begin{equation*} f_d=\mu_d N=\mu_d mg\cos\theta, \end{equation*}

dove abbiamo sostituito il modulo della reazione vincolare N ottenuto nella seconda equazione del sistema (1). Sostituendo l’espressione della forza di attrito dinamico, ottenuta nell’equazione (2), nella prima equazione del sistema (1), si ottiene

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} x: T=\mu_dmg\cos\theta+mg\sin\theta\\ y: N=mg\cos\theta, \end{cases} \end{equation*}

da cui il modulo della forza con cui il bue traina la slitta alla velocità costante è pari a

(4)   \begin{equation*} T=mg(\mu_d\cos\theta+\sin\theta). \end{equation*}

La potenza P sviluppata dal bue, per trainare la slitta lungo il piano inclinato alla velocità costante \vec{v}, è data da

(5)   \begin{equation*} P=\vec{T}\cdot\vec{v}. \end{equation*}

Definendo \hat{x} il versore dell’asse delle x,
nel caso in esame, è possibile esprimere il vettore \vec{T}=T\,\hat{x} e \vec{v}=v\,\hat{x}. I vettori \vec{T} e \vec{v} hano la stessa direzione e stesso verso, per cui l’equazione (5) diventa

(6)   \begin{equation*} P=Tv\cos(0^\circ)=Tv, \end{equation*}

da cui, sostituendo l’espressione di T ottenuta all’equazione (4) nella precedente equazione, si ha che

(7)   \begin{equation*} P=mg(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)v. \end{equation*}

Si conclude che la velocità costante con cui il bue traina la slitta è pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{ v=\dfrac{P}{mg(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)}.}\]

 

Punto 2. La potenza dissipata dalla forza di attrito dinamico P_{\text{att}} è

(8)   \begin{equation*} P_{\text{att}}= \vec{f}_d\cdot\vec{v}. \end{equation*}

In questo caso i vettori \vec{f}_d=-f_d\,\hat{x} e \vec{v}=v\,\hat{x} sono tra loro antiparalleli\footnote{Due vettori sono antiparalleli quando hanno stessa direzione, ma verso opposto, ossia l’angolo compreso tra di loro è piatto.}, per cui

(9)   \begin{equation*} P_{\text{att}}= f_d v\cos(\pi)=-f_d v=-\mu_dmgv\cos\theta , \end{equation*}

dove abbiamo sostituito l’espressione di f_d ricavata nell’equazione (2).
Utilizzando l’espressione di v, ottenuta al punto 1 del problema, possiamo riscrivere la potenza dissipata dall’attrito come

(10)   \begin{equation*} P_{\text{att}}=-\mu_dmg\cos\theta \dfrac{P}{mg(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)}=-\dfrac{\mu_d\cos\theta}{\mu_d\cos\theta+\sin\theta}P, \end{equation*}

da cui, dividendo numeratore e denominatore per \mu_d\cos\theta, si ottiene

    \[\boxcolorato{fisica}{ P_{\text{att}}=-\dfrac{P}{1+\dfrac{\tan\theta}{\mu_d}}.}\]

Osserviamo che essendo \theta\in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) si ha che la \tan\theta>0; inoltre, poiché anche \mu_d>0, deduciamo che il denominatore della frazione è sempre maggiore di 1, pertanto vale che \left|P_{\text{att}}\right|<\left|P\right|; ossia una parte della potenza sviluppata dal bue viene dissipata sotto forma di attrito.
La quantità

    \[\boxcolorato{fisica}{ \dfrac{1}{1+\dfrac{\tan\theta}{\mu_d}},}\]

rappresenta la frazione di potenza erogata dal bue che viene dissipata per attrito dinamico.

 

Punto 3.  La potenza della forza peso è

(11)   \begin{equation*} P_{\text{peso}}=m\vec{g}\cdot\vec{v}=mg\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)v=-mgv\sin\theta , \end{equation*}

dove si è osservato che l’angolo tra m\vec{g} e \vec{v} è pari a \theta+\dfrac{\pi}{2}.
Utilizzando l’espressione di v, ottenuta al punto 1, possiamo riscrivere la potenza sviluppata dalla forza peso come

(12)   \begin{equation*} P_{\text{peso}}=-mg\sin\theta\dfrac{P}{mg(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)}=-\dfrac{\sin\theta}{\mu_d\cos\theta+\sin\theta}P, \end{equation*}

da cui, dividendo numeratore e denominatore per \sin\theta, otteniamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{ P_{\text{peso}}=-\dfrac{P}{1+\mu_d\cot\theta}.}\]

Osserviamo, come in precedenza, che essendo \theta\in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) e \mu_d>0, si ha che \left|P_{\text{peso}}\right|< \left|P\right|; ossia una parte della potenza sviluppata dal bue viene dissipata dalla forza peso.
La quantità

    \[\boxcolorato{fisica}{\dfrac{1}{1+\mu_d\cot\theta},}\]

rappresenta la frazione di potenza erogata dal bue che viene dissipata dalla forza peso.

 

Punto 4. 
Per la conservazione della potenza, si ha

(13)   \begin{equation*} \left|P_{\text{peso}}\right|+\left|P_{\text{attrito}}\right|=\left|P\right|, \end{equation*}

ossia utilizzando i risultati ottenuti, si trova

(14)   \begin{equation*} P\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{\tan\theta}{\mu_d}}+\dfrac{1}{1+\mu_d\cot\theta}\right)=P \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{1+\dfrac{\tan\theta}{\mu_d}}+\dfrac{1}{1+\mu_d\cot\theta}=1. \end{equation*}

Osserviamo che

    \[\begin{aligned} &\dfrac{1}{1+\dfrac{\tan\theta}{\mu_d}}+\dfrac{1}{1+\mu_d\cot\theta}=\dfrac{1+\mu_d\cot\theta+1+\dfrac{\tan\theta}{\mu_d}}{(1+\mu_d\cot\theta)\left(1+\dfrac{\tan\theta}{\mu_d}\right)} =\dfrac{2+\mu_d\cot\theta+\dfrac{\tan\theta}{\mu_d}}{1+\dfrac{\tan\theta}{\mu_d}+\mu_d\cot\theta+1}=\\ &\dfrac{2+\mu_d\cot\theta+\dfrac{\tan\theta}{\mu_d}}{2+\mu_d\cot\theta+\dfrac{\tan\theta}{\mu_d}}=1, \end{aligned}\]

come volevasi dimostrare.