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Esercizio 34  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un alpino di massa m si arrampica mediante una fune inestensibile e di massa trascurabile a velocità costante su una parete verticale alta h. Per raggiungere la sommità impiega un tempo pari a \Delta t. Si calcoli la potenza P che devono fornire i muscoli dell’alpino in un generico istante t>0. Inoltre, si consideri l’alpino come un punto materiale.

 

 

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Svolgimento.

L’alpino in esame si muove di moto rettilineo uniforme verticalmente, poiché per ipotesi la sua velocità è costante, possiamo definire un sistema di riferimento inerziale Oy, tale per cui l’origine O, istante per istante, coincida con l’alpino. Costruiamo il diagramma di corpo libero, come in figura 2. Sull’alpino agiscono la forza peso m\vec{g} e la tensione della fune \vec{T}, orientate come in figura 2.

 

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Dal secondo principio della dinamica, poiché dell’alpino è rettilineo uniforme (ossia accelerazione nulla), si ha

(1)   \begin{equation*} T-mg=0\quad\Leftrightarrow\quad T=mg. \end{equation*}

Per il teorema dell’energia lavoro, abbiamo

(2)   \begin{equation*} \mathcal{L}_{\text{Alpino}}+\mathcal{L}_{\text{Peso}}=0, \end{equation*}

dove \mathcal{L}_{\text{Alpino}} e L_{\text{peso}} sono rispettivamente il lavoro della forza dell’Alpino e della forza peso per percorre uno spazio pari ad h, e si posto la somma dei lavori uguale a zero perché la variazione di energia cinetica è nulla. Il moto è rettilineo uniforme, pertanto, la relazione che intercorre tra lo spazio percorso h, la velocità costante v, e il tempo \Delta t è

(3)   \begin{equation*} v=\dfrac{h}{\Delta t}. \end{equation*}

La potenza è definita come

(4)   \begin{equation*} P=\dfrac{d\mathcal{L}}{dt}, \end{equation*}

dove \mathcal{L} è il lavoro di una forza \vec{F} in un generico istante t>0. Dalla (4), con semplici passaggi, è possibile ottenere

(5)   \begin{equation*} P=\vec{F}\cdot \vec{v}, \end{equation*}

dove \vec{v} è la velocità di un corpo di massa m in un generico istante t>0. Osserviamo che, poiché, la forza \vec{F} risulta costante, in modulo, direzione e verso, e la velocità \vec{v} è costante in modulo, direzione e verso, e inoltre \vec{F}\parallel \vec{v} nello stesso verso, grazie alla precedente formula, otteniamo che la potenza generata dai muscoli dell’alpino in un generico istante t>0 è

(6)   \begin{equation*} P_{\text{Alpino}}=Tv=\dfrac{mgh}{\Delta t}, \end{equation*}

dove si sono usate le equazioni (1) e (3). Si noti che la potenza generata dall’alpino non dipende dal tempo, pertanto, in ogni istante t>0 la potenza è sempre uguale. Si conclude che la potenza generata dai muscoli dell’alpino è

    \[\boxcolorato{fisica}{ P_{\text{Alpino}}=\dfrac{mgh}{\Delta t}.}\]