Esercizio 34 . Un alpino di massa
si arrampica mediante una fune inestensibile e di massa trascurabile a velocità costante su una parete verticale alta
. Per raggiungere la sommità impiega un tempo pari a
. Si calcoli la potenza
che devono fornire i muscoli dell’alpino in un generico istante
. Inoltre, si consideri l’alpino come un punto materiale.
Svolgimento. L’alpino in esame si muove di moto rettilineo uniforme verticalmente, poiché per ipotesi la sua velocità è costante, possiamo definire un sistema di riferimento inerziale , tale per cui l’origine
, istante per istante, coincida con l’alpino. Costruiamo il diagramma di corpo libero, come in figura 2. Sull’alpino agiscono la forza peso
e la tensione della fune
, orientate come in figura 2.
Dal secondo principio della dinamica, poiché dell’alpino è rettilineo uniforme (ossia accelerazione nulla), si ha
(1)
Per il teorema dell’energia lavoro, abbiamo
(2)
dove e
sono rispettivamente il lavoro della forza dell’Alpino e della forza peso per percorre uno spazio pari ad
, e si posto la somma dei lavori uguale a zero perché la variazione di energia cinetica è nulla.
Il moto è rettilineo uniforme, pertanto, la relazione che intercorre tra lo spazio percorso , la velocità costante
, e il tempo
è
(3)
(4)
dove è il lavoro di una forza
in un generico istante
. Dalla (4), con semplici passaggi, è possibile ottenere
(5)
dove è la velocità di un corpo di massa
in un generico istante
. Osserviamo che, poiché, la forza
risulta costante, in modulo, direzione e verso, e la velocità
è costante in modulo, direzione e verso, e inoltre
nello stesso verso, grazie alla precedente formula, otteniamo che la potenza generata dai muscoli dell’alpino in un generico istante
è
(6)
dove si sono usate le equazioni (1) e (3). Si noti che la potenza generata dall’alpino non dipende dal tempo, pertanto, in ogni istante la potenza è sempre uguale.
Si conclude che la potenza generata dai muscoli dell’alpino è