Lavoro ed energia: esercizio 35

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio lavoro ed energia 35

L’esercizio 35 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 34 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 36. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

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Testo lavoro ed energia 35

Esercizio 35 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m$ entra con velocità $\vec{v}_A$ in una guida verticale circolare liscia di raggio $R$ . La velocità $\vec{v}_A$ è parallela al piano orizzontale sul quale poggia $m$ prima di entrare nella guida, come rappresentato in figura 1.

Calcolare:

il modulo della velocità nei punti $B$ e $C$ della guida;
il modulo della reazione vincolare generato dalla guida su $m$ nei punti $A$ , $B$ e $C$ ;
il valore minimo del modulo della velocità $v_A$ affinché il corpo arrivi nel punto $C$ mantenendo il contatto con la guida.

Si supponga che sia soddisfatta la seguente condizione $v_A^2> 5gR$ .

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Svolgimento punto 1.

Sul corpo di massa $m$ durante tutto il moto agiscono la forza peso $m\vec{g}$ e la reazione vincolare $\vec{N}$ . La forza peso $m\vec{g}$ è conservativa e la reazione vincolare è perpendicolare, istante per istante, al moto di $m$ , pertanto fa lavoro nullo. Grazie a quanto osservato, possiamo affermare che si conserva l’energia meccanica per $m$ . Per calcolare il modulo della velocità del corpo nei punti $B$ e $C$ possiamo sfruttare la conservazione dell’energia meccanica per $m$ . Posto il livello zero dell’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza del piano orizzontale, il corpo arriva nel punto $A$ con un’energia meccanica puramente cinetica e progressivamente che sale lungo la guida parte dell’energia cinetica iniziale si converte in energia potenziale gravitazionale, preservando l’energia meccanica totale del sistema in ogni istante $t>0$ . Scegliamo un sistema di riferimento inerziale $Oy$ , con origine $O$ alla medesima quota del piano orizzontale, su cui si muove inizialmente il corpo di massa $m$ , come rappresentato in figura 2.

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Rappresentazione della massa m in tre punti distinti della guida (A, B, C) con indicazione della velocità nei rispettivi punti, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

Dalla conservazione dell’energia meccanica del sistema segue che

(1) $\begin{equation*} E_{A}=E_{B}=E_{C}, \end{equation*}$

dove $E_{A}$ , $E_{B}$ e $E_{C}$ , rappresentano l’energia meccanica totale del punto di massa $m$ nei punti $A$ , $B$ e $C$ rispettivamente. Nel punto $A$ l’energia meccanica del corpo $m$ è puramente cinetica, ossia

(2) $\begin{equation*} E_{A}=\dfrac{1}{2}mv_{A}^2, \end{equation*}$

mentre nel punto $B$ (si veda figura 2) abbiamo che

(3) $\begin{equation*} E_{B}=\dfrac{1}{2}mv_{B}^2+mgR. \end{equation*}$

Dall’equazione (1), utilizzando i risultati ottenuti nelle equazioni (2) e (3), si ottiene che

(4) $\begin{equation*} E_{A}=E_{B}\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{1}{2}mv_{A}^2=\dfrac{1}{2}mv_{B}^2+mgR\quad\Leftrightarrow\quad v_{B}^2=v_{A}^2-2gR, \end{equation*}$

da cui il modulo della velocità del corpo nel punto $B$ è data da

$\boxcolorato{fisica}{ v_{B}=\sqrt{v_{A}^2-2gR}.}$

Osserviamo che la precedente soluzione è ben definita in quanto vale la condizione $v_{A}^2> 5gR>2gR$ .

Continuando il suo moto lungo la guida, quando il corpo arriverà nel punto $C$ la sua energia meccanica sarà data da

(5) $\begin{equation*} E_C=\dfrac{1}{2}mv_{C}^2+mg(2R). \end{equation*}$

Dall’equazione (1), utilizzando i risultati ottenuti nelle equazioni (2) e (5), segue che

(6) $\begin{equation*} E_{A}=E_{C}\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{1}{2}mv_{A}^2=\dfrac{1}{2}mv_{C}^2+2mgR\quad\Leftrightarrow\quad v_{C}^2=v_{A}^2-4gR, \end{equation*}$

da cui la velocità del corpo nel punto $C$ è data da

$\boxcolorato{fisica}{ v_{C}=\sqrt{v_{A}^2-4gR}.}$

Osserviamo che la precedente soluzione è ben definita in quanto vale la condizione $v_{A}^2>5gR> 4gR$ .

Svolgimento punto 2.

Per calcolare la reazione vincolare della guida nei punti $A$ , $B$ e $C$ è sufficiente costruire il diagramma di corpo libero nelle tre distinte configurazioni ed utilizzare il secondo principio della dinamica. Consideriamo il corpo di massa $m$ quando si trova nel punto $A$ e definiamo un sistema di riferimento inerziale $Otn$ , dove l’asse delle $t$ è tangente alla guida nel punto $A$ e l’asse delle $n$ è ad essa ortogonale, e tale per cui $A\equiv O$ , come illustrato in figura 3. Sul corpo $m$ agiscono la forza peso $m\vec{g}$ e la reazione vincolare della guida $\vec{N}_A$ dirette entrambe lungo l’asse delle $n$ , com’è mostrato nella figura 3.

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Diagramma di corpo libero nel punto A della guida, con le forze agenti indicate, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

Quando il corpo di massa $m$ arriva nel punto $A$ è vincolato a muoversi lungo la guida di profilo circolare, pertanto anche il suo moto risulterà circolare, rispetto al sistema di riferimento $Otn$ . Dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo l’asse $n$ , otteniamo che

(7) $\begin{equation*} N_A-mg=m\dfrac{v_{A}^2}{R}, \end{equation*}$

dove la quantità $\dfrac{v_{A}^2}{R}$ rappresenta l’accelerazione centripeta del corpo vincolato a muoversi lungo la guida circolare. Dall’equazione (7) segue che la reazione vincolare della guida nel punto $A$ è data da

$\boxcolorato{fisica}{ N_A=\dfrac{m}{R}\left({v_{A}^2}+ gR\right).}$

Ripetiamo esattamente lo stesso discorso del punto $A$ , utilizzando il medesimo sistema di riferimento cartesiano ma ruotato opportunamente e con origine nel punto $B$ , come illustrato in figura 4. Questa volta, sebbene la reazione vincolare della guida sia sempre diretta lungo l’asse delle $n$ , la forza peso $m\vec{g}$ è invece diretta lungo l’asse delle $t$ .

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Diagramma di corpo libero nel punto B della guida, con le forze agenti indicate, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

Pertanto dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo gli assi $t$ e $n$ , otteniamo che

(8) $\begin{equation*} \begin{cases} t: -mg=ma_{t,B}\\ n: N_B=m\dfrac{v_{B}^2}{R}, \end{cases} \end{equation*}$

dove $a_{t,B}$ rappresenta l’accelerazione tangenziale nel punto $B$ e $\dfrac{v_{B}^2}{R}$ l’accelerazione centripeta nel punto $B$ entrambe del corpo di massa $m$ . Dalla seconda equazione del sistema 8, esprimendo $v_{B}$ in termini di $v_{A}$ come ricavato nel punto 1, segue che la reazione vincolare della guida nel punto $B$ è data da

$\boxcolorato{fisica}{ N_B=\dfrac{m}{R}\left(v_{A}^2-2gR\right).}$

Osserviamo che la precedente soluzione è ben definita in quanto vale la condizione $v_{A}^2> 5gR>2gR$ . Comparando le espressioni ottenute per $N_A$ e $N_B$ notiamo che $N_B<N_A$ .

In analogia a quanto visto nei due punti precedenti, definito il sistema di riferimento inerziale $Otn$ , tale per cui $C=\equiv O$ , come illustrato in figura 5, le forze agenti sul corpo sono entrambe dirette lungo l’asse delle $n$ .

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Diagramma di corpo libero nel punto C della guida, con le forze agenti indicate, utilizzato per esercizi di lavoro ed energia

Dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo l’asse delle $n$ , otteniamo che

(9) $\begin{equation*} N_C+mg=m\dfrac{v_{C}^2}{R}, \end{equation*}$

dove $\dfrac{v_{C}^2}{R}$ rappresenta l’accelerazione centripeta in $C$ del corpo di massa $m$ . Dall’equazione (9), esprimendo $v_{C}$ in termini di $v_{A}$ come ricavato nel punto 1, segue che la reazione vincolare della guida nel punto $C$ è data da

(10) $\begin{equation*} N_C=-mg+m\left(\dfrac{v_{A}^2-4gR}{R}\right), \end{equation*}$

da cui

$\boxcolorato{fisica}{ N_C=\dfrac{m}{R}\left({v_{A}^2-5gR}\right).}$

Osserviamo che la precedente soluzione è ben definita in quanto vale la condizione $v_{A}^2>5gR$ . Comparando le espressioni ottenute per $N_A$ , $N_B$ e $N_C$ notiamo che $N_C<N_B<N_A$ .

Svolgimento punto 3.

Per calcolare la minima velocità $v_A$ che il corpo di massa $m$ deve avere per arrivare nel punto $C$ mantenendo il contatto con la guida, è sufficiente ricordare che la condizione di distacco del corpo dalla guida nel punto $C$ è data dalla seguente equazione

(11) $\begin{equation*} N_C=0, \end{equation*}$

da cui utilizzando l’espressione di $N_C$ ottenuta al punto precedente otteniamo che

(12) $\begin{equation*} \dfrac{m}{R}\left({v_{A}^2-5gR}\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad v_{A}^2=5gR. \end{equation*}$

Pertanto deduciamo che la velocità minima $v_{A,\text{min}}$ che deve avere il corpo $m$ per mantenere il contatto con la guida nel punto $C$ è

$\boxcolorato{fisica}{ v_{A,\text{min}}=\sqrt{5gR}.}$

Esercizi di Meccanica classica

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Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.

Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.

Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

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Diego Aracri

2024-07-09

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2024-06-20

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2024-06-13

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Ugo Cozzi

2024-06-02

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2024-05-29

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