Esercizio corpo rigido 16

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 16  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo rigido è costituito da un disco e da un’asta, disposta come in figura. Il disco ha massa m_1=5 kg e raggio R = 0.16 m, l’asta ha massa m_2 = 2.8 kg e lunghezza d = 2R. Calcolare:

a) dove si trova rispetto al centro O dell’asta, il centro di massa del sistema;

b) Il momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse passante per O e ortogonale al piano contenente l’asta e il disco.

Supponiamo che il sistema stia in un piano verticale, per cui l’asse passante per O quindi è orizzontale e sia in quiete con l’asta orizzontale. Se ad un certo istante il sistema viene lasciato libero di ruotare rispetto all’asse passante per O, calcolare:

c) La sua velocità angolare \omega quando l’asta passa per la posizione verticale.

 

 

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Svolgimento punto a. Il centro di massa di un sistema è la media pesata, dove i pesi sono le masse, dei centri di massa dei singoli oggetti. Calcoliamo il centro di massa del sistema rispetto al punto O, il centro di massa dell’asta è il punto O stesso, ne segue che x_{cm,2} = 0\,\,\text{m}. Il centro di massa del disco è nel suo centro e quindi abbiamo che x_{cm,1} = -m_1R. Applichiamo la media pesata, cioè

(1)   \begin{equation*} x_{cm} = {m_1 x_{cm,1}+m_2x_{cm,2}\over m_1+m_2}= {m_1 x_{cm,1}\over m_1+m_2}. \end{equation*}

Concludiamo con la seguente soluzione

    \[\boxcolorato{fisica}{ x_{cm}= -{m_1R \over m_1+m_2} = -0,103\,\text{m}.}\]

 

Punto b. Il momento d’inerzia dell’asta rispetto all’asse ortogonale al piano passante per O è noto ed è pari a

(2)   \begin{equation*} I_{2} = {1\over 12}m_2d^2. \end{equation*}

Si noti che O coincide con il centro di massa dell’asta.
Per calcolare il momento d’inerzia del disco possiamo applicare il teorema di Huygens-Steiner, ovvero

(3)   \begin{equation*} I_1 = {1\over 2}m_1 R^2+4m_1R^2={3\over 2}m_1 R^2. \end{equation*}

Ne segue il momento totale vale

    \[\boxcolorato{fisica}{I = {3\over 2}m_1 R^2+{1\over 12}m_2d^2 = 0,22\,\text{kg m}^2.}\]

 

Punto c. Il sistema viene lasciato libero di ruotare, ne segue che inizialmente la sua energia cinetica è nulla. Si consideri in figura 2 quando l’asta passa per la posizione più bassa

 

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All’inizio è tutto in quiete e il centro di massa del si trova a quota nulla rispetto al sistema di riferimento scelto. Pertanto l’energia cinetica iniziale è

(4)   \begin{equation*} E_i=0\,\,\text{J}. \end{equation*}

Quando l’asta ha compito una rotazione di 90^\circ ha un’energia cinetica rotazione e potenziale, cioè

(5)   \begin{equation*} E_f=\dfrac{1}{2}I\omega^2-(m_1+m_2)g\left \vert x_{cm}\right \vert . \end{equation*}

L’energia si conserva, pertanto si ha

(6)   \begin{equation*} E_i=E_f, \end{equation*}

o anche

(7)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}I\omega_f^2=(m;_1+m_2)g\left({m_1R \over m_1+m_2}\right)=m_1gR \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{\omega_f = \sqrt{{2m_1gR\over I}}=8,4\,\text{rad/s},}\]

ovvero la velocità angolare cercata.

 

Nota. Si osservi che l’esercizio è molto simile al esercizio corpo rigido numero 10.

 

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edisis (1992)