Esercizio 16 
. Un corpo rigido è costituito da un disco e da un’asta, disposta come in figura. Il disco ha massa 
kg e raggio 
m, l’asta ha massa 
kg e lunghezza 
. Calcolare:
a) dove si trova rispetto al centro 
dell’asta, il centro di massa del sistema;
b) Il momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse passante per e ortogonale al piano contenente l’asta e il disco.
Supponiamo che il sistema stia in un piano verticale, per cui l’asse passante per quindi è orizzontale e sia in quiete con l’asta orizzontale. Se ad un certo istante il sistema viene lasciato libero di ruotare rispetto all’asse passante per , calcolare:
c) La sua velocità angolare 
quando l’asta passa per la posizione verticale.
Svolgimento punto a. Il centro di massa di un sistema è la media pesata, dove i pesi sono le masse, dei centri di massa dei singoli oggetti. Calcoliamo il centro di massa del sistema rispetto al punto , il centro di massa dell’asta è il punto stesso, ne segue che 
. Il centro di massa del disco è nel suo centro e quindi abbiamo che 
. Applichiamo la media pesata, cioè
(1) 
Concludiamo con la seguente soluzione
![\[\boxcolorato{fisica}{ x_{cm}= -{m_1R \over m_1+m_2} = -0,103\,\text{m}.}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8470185ef7039e783498e2c1c2dba405_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Punto b. Il momento d’inerzia dell’asta rispetto all’asse ortogonale al piano passante per è noto ed è pari a
(2) 
Si noti che coincide con il centro di massa dell’asta.
Per calcolare il momento d’inerzia del disco possiamo applicare il teorema di Huygens-Steiner, ovvero
(3) 
Ne segue il momento totale vale
![\[\boxcolorato{fisica}{I = {3\over 2}m_1 R^2+{1\over 12}m_2d^2 = 0,22\,\text{kg m}^2.}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9918ca2bec9de01eb30ebd2523f68137_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Punto c. Il sistema viene lasciato libero di ruotare, ne segue che inizialmente la sua energia cinetica è nulla. Si consideri in figura 2 quando l’asta passa per la posizione più bassa
All’inizio è tutto in quiete e il centro di massa del si trova a quota nulla rispetto al sistema di riferimento scelto. Pertanto l’energia cinetica iniziale è
(4) 
Quando l’asta ha compito una rotazione di 
ha un’energia cinetica rotazione e potenziale, cioè
(5) 
L’energia si conserva, pertanto si ha
(6) 
o anche
(7) 
da cui
![\[\boxcolorato{fisica}{\omega_f = \sqrt{{2m_1gR\over I}}=8,4\,\text{rad/s},}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41c72d667dc324af859df9f32f11734e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ovvero la velocità angolare cercata.
Nota. Si osservi che l’esercizio è molto simile al esercizio corpo rigido numero 10.
Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, EdiSES (1992).