Esercizio 18 . Su un piano orizzontale è posta una massa
. La massa
viene messa in movimento tramite un filo che si avvolge su una puleggia di raggio
e quest’ultima è messa in rotazione dalla discesa, sotto l’azione del peso, di una massa
a cui è collegata da un filo avvolto su una puleggia di raggio
, coassiale e rigidamente fissata alla precedente con
. Il momento d’inerzia del sistema delle due pulegge rispetto al comune asse di rotazione vale
. Calcolare:
- la velocità
di
dopo che è scesa di
;
- le tensioni dei due fili durante il movimento;
- il valore di
se tra
e il piano ci fosse un coefficiente di attrito
.
Nota: supporre che i fili non slittino e che non ci sia attrito sull’asse.
Svolgimento. Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:
(1)
dove è la somma di tutte le forze esterne,
è la quantità di moto totale del sistema,
è la somma di tutti i momenti esterni,
è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare ,
è la velocità del centro di massa ed infine
è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo
. Dal momento che la massa
non dipende dal tempo, (1)
puo’ essere riscritta come segue
dove è l’accelerazione del centro di massa ed
è la massa totale del sistema.
Inoltre, siccome il polo scelto che coincide con “centro delle due pulegge” è fisso,
e quindi (1)
si puo’ scrivere come
e dal momento che l’asse di rotazione è fisso e il disco è simmetrico rispetto a tale asse abbiamo che
con momento d’inerzia del corpo rigido rispetto ad un asse fisso rispetto ad un sistema di riferimento innerziale rispetto al quale ruota e
accelerazione angolare.
Quindi il sistema (1) puo’ essere riscritto come segue
In figura 1 rappresentiamo un sistema di riferimento fisso con
coincidente con il centro della puleggia:
Osserviamo che e
sono le tensioni sviluppate dai fili, supposti inestensibili e di massa trascurabile, che congiungono i punti materiali con le pulegge e che, considerando il sistema composto dalle due pulegge, rappresentano le forze esterne.
All’istante il sistema è in quiete per poi venir messo in movimento da
che si sposterà lungo un asse parallelo all’asse
in quanto sottoposto alla sua forza peso
.
La massa è collegata con una fune alla puleggia di raggio
che per il principio di azione e reazione applicherà una tensione
su entrambe (sia puleggia che massa
) generando così un momento che farà ruotare il sistema composto dalle pulegge; le pulegge stesse trascineranno
in quanto collegata tramite una fune alla puleggia di raggio
.
Analogamente, la massa è collegata con una fune alla puleggia di raggio
che per il principio di azione e reazione applicherà una tensione
su entrambe generando un momento opposto a quello generato da
.
Con (1) e tenendo conto che il momento generato dalla tensione
deve essere necessariamente maggiore del momento generato da
e scegliendo come polo per il calcolo dei momenti il centro delle due pulegge, otteniamo:
(2)
Ricordiamo la seconda legge della dinamica:
(3)
e formulando (\ref){dinamica} in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue:
la somma di forze applicate su un punto materiale uguaglia la derivata della quantità di moto del punto materiale rispetto al tempo dove
.
Se la massa non dipende dal tempo, (3) può essere riscritta come segue:
Osserviamo dal sistema di riferimento e applichiamo (3) ai due punti materiali:
(4)
dove per le geometria del problema e
.
Mettendo a sistema (2) con (4) si ottiene la seguene relazione:
dal momento che
allora si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Si ricorda che la velocità nel caso in cui un moto è rettilineo uniformemente accelerato può essere espressa come segue:
(5)
dove rappresenta la velocità di
in funzione di
,
è la velocità iniziale.
Ponendo e
abbiamo:
e sostituendo in (4), si ottiene
Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises (1992).