Esercizio corpo rigido 18

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 18  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Su un piano orizzontale è posta una massa m. La massa m viene messa in movimento tramite un filo che si avvolge su una puleggia di raggio r e quest’ultima è messa in rotazione dalla discesa, sotto l’azione del peso, di una massa M a cui è collegata da un filo avvolto su una puleggia di raggio R, coassiale e rigidamente fissata alla precedente con R>r. Il momento d’inerzia del sistema delle due pulegge rispetto al comune asse di rotazione vale I. Calcolare:

  1. la velocità v di M dopo che è scesa di h;
  2. le tensioni dei due fili durante il movimento;
  3. il valore di v se tra m e il piano ci fosse un coefficiente di attrito \mu_d.

Nota: supporre che i fili non slittino e che non ci sia attrito sull’asse.

 

 

 

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Svolgimento. Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}\\ \end{cases} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni, \vec{v}_O è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare , \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O. Dal momento che la massa m non dipende dal tempo, (1)_1 puo’ essere riscritta come segue

    \[\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt} =M\,\vec{a}_{CM}\]

dove \vec{a}_{CM} è l’accelerazione del centro di massa ed M è la massa totale del sistema.
Inoltre, siccome il polo scelto che coincide con O “centro delle due pulegge” è fisso, \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \vec{0} e quindi (1)_2 si puo’ scrivere come

    \[\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}\]

e dal momento che l’asse di rotazione è fisso e il disco è simmetrico rispetto a tale asse abbiamo che

    \[\dfrac{d\vec{L}_O}{dt} = I_{O} \, \alpha \, \hat{z}\]

con I_{O} momento d’inerzia del corpo rigido rispetto ad un asse fisso rispetto ad un sistema di riferimento innerziale rispetto al quale ruota e \alpha accelerazione angolare.
Quindi il sistema (1) puo’ essere riscritto come segue

    \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = M\, \vec{a}_{CM}\\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = I_{O}\, \vec{\alpha} \end{cases} \end{equation*}

In figura 1 rappresentiamo un sistema di riferimento fisso Oxy con O coincidente con il centro della puleggia:

 

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Osserviamo che T_1 e T_2 sono le tensioni sviluppate dai fili, supposti inestensibili e di massa trascurabile, che congiungono i punti materiali con le pulegge e che, considerando il sistema composto dalle due pulegge, rappresentano le forze esterne.

All’istante t=0 il sistema è in quiete per poi venir messo in movimento da M che si sposterà lungo un asse parallelo all’asse y in quanto sottoposto alla sua forza peso Mg.
La massa M è collegata con una fune alla puleggia di raggio R che per il principio di azione e reazione applicherà una tensione T_2 su entrambe (sia puleggia che massa M) generando così un momento che farà ruotare il sistema composto dalle pulegge; le pulegge stesse trascineranno m in quanto collegata tramite una fune alla puleggia di raggio r.
Analogamente, la massa m è collegata con una fune alla puleggia di raggio r che per il principio di azione e reazione applicherà una tensione T_1 su entrambe generando un momento opposto a quello generato da T_2.
Con (1)_2 e tenendo conto che il momento generato dalla tensione T_2 deve essere necessariamente maggiore del momento generato da T_1 e scegliendo come polo per il calcolo dei momenti il centro delle due pulegge, otteniamo:

(2)   \begin{equation*} T_1 r - T_2 R = - I \alpha\\ \end{equation*}

Ricordiamo la seconda legge della dinamica:

(3)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=\dfrac{d\vec{P}}{dt} \end{equation*}

e formulando (\ref){dinamica} in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue:
la somma di n forze applicate su un punto materiale uguaglia la derivata della quantità di moto del punto materiale rispetto al tempo dove P=mv.
Se la massa non dipende dal tempo, (3) può essere riscritta come segue:

    \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=m\vec{a} \end{equation*}

Osserviamo dal sistema di riferimento Oxy e applichiamo (3) ai due punti materiali:

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} T_1 = ma_1\\ T_2 -Mg =- Ma_2 \end{cases} \end{equation*}

dove per le geometria del problema a_1=\alpha r e a_2 = \alpha R.
Mettendo a sistema (2) con (4) si ottiene la seguene relazione:

    \[\begin{aligned} m \alpha r^2 - R (Mg-M\alpha R) = - I \alpha\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = \dfrac{MgR}{mr^2+MR^2+I} \end{aligned}\]

dal momento che

    \[a_2 = \alpha R = \dfrac{MgR^2}{mr^2+MR^2+I}=\text{costante}\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\]

allora M si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Si ricorda che la velocità nel caso in cui un moto è rettilineo uniformemente accelerato può essere espressa come segue:

(5)   \begin{equation*} v_M^2(y) = v_0^2 +2 y \, a_2 \end{equation*}

dove v_M^2(y) rappresenta la velocità di M in funzione di y, v_0 è la velocità iniziale.
Ponendo v_0=0 e y=h abbiamo:

 

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_M(h) = \sqrt{2\,h \, a_2} = \sqrt{2h \left(\dfrac{MgR^2}{mr^2+MR^2+I} \right)}}\]

e sostituendo \alpha in (4), si ottiene

    \[\boxcolorato{fisica}{ \begin{cases} T_1 = ma_1 = m \alpha r=\dfrac{mMgRr}{mr^2+MR^2+I} \\\\ T_2 = Mg-M\alpha R = Mg - MR \left(\dfrac{MgR}{mr^2+MR^2+I} \right). \end{cases}}\]

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edisis (1992)