Esercizio corpo rigido 17

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Esercizio 17 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . A una carrucola, di raggio $R$ , massa $M$ e momento d’inerzia $I_{CM}$ rispetto all’asse passante per il suo centro e ortogonale al piano verticale in cui giace la carrucola stessa, sono sospese, tramite un filo, due masse $m_1$ e $m_2$ , con $m_1>m_2$ . Calcolare l’accelerazione delle masse, le tensioni $T_1$ e $T_2$ ed infine la reazione sull’asse della carrucola. Inoltre studiare il caso particolare in cui la massa del disco sia trascurabile.
Si supponga che il filo non slitti e che non ci sia attrito sull’asse.

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Svolgimento. In Figura 1 rappresentiamo il sistema in un generico istante $t>0$ scegliendo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ con $O$ coincidente con il centro del disco. Si osserva che essendo $m_1 > m_2$ e il momento generato dalla forza peso di entrambe è tale che $m_1gR>m_2gR$ allora $m_1$ trascina $m_2$ .

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Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1) $\begin{equation*} \displaystyle\begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}\\ \end{cases} \end{equation*}$

dove $\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}}$ è la somma di tutte le forze esterne, $\vec{P}_t$ è la quantità di moto totale del sistema, $\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}$ è la somma di tutti i momenti esterni, $\vec{v}_O$ è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare, $\vec{v}_{CM}$ è la velocità del centro di massa ed infine $\vec{L}_O$ è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo $O$ . Dal momento che la massa $m$ non dipende dal tempo, (1) $_1$ puo’ essere riscritta come segue

$\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt} =M\,\vec{a}_{CM}$

dove $\vec{a}_{CM}$ è l’accelerazione del centro di massa ed $M$ è la massa totale del sistema.
Inoltre, siccome il polo $O$ è fisso, $\vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \vec{0}$ e quindi (1) $_2$ si puo’ scrivere come

$\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}$

e dal momento che l’asse di rotazione è fisso e il disco è simmetrico rispetto a tale asse abbiamo che

$\dfrac{d\vec{L}_O}{dt} = I_{O} \, \alpha \, \hat{z}$

con $I_{O}$ momento d’inerzia del corpo rigido rispetto ad un asse fisso rispetto ad un sistema di riferimento innerziale rispetto al quale ruota e $\alpha$ accelerazione angolare.
Quindi il sistema (1) puo’ essere riscritto come segue

$\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = M\, \vec{a}_{CM}\\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = I_{O}\, \vec{\alpha} \end{cases} \end{equation*}$

ed applicando (1) al disco e tenendo conto che $O=CM$ abbiamo

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} T_1 R - T_2 R = I_{CM}\alpha\\ T_1+T_2 = N- Mg \end{cases} \end{equation*}$

dove $T_1$ e $T_2$ sono le tensioni generate dai fili che congiungono il disco ai punti materiali di massa $m_1$ e $m_2$ supponendo che siano inestensibili e di massa trascurabile (vedi figura 1).
Inoltre, per $m_1$ e $m_2$ , dalla seconda legge della dinamica abbiamo:

(3) $\begin{equation*} \begin{cases} T_1 - m_1g = -m_1a_1\\ T_2 - m_2g = m_2 a_2 \end{cases} \end{equation*}$

dove $a_1=a_2=\alpha R$ da cui

$\begin{equation*} \begin{cases} T_1 = m_1g -m_1 \alpha R\\ T_2 = m_2g + m_2 \alpha R \end{cases} \end{equation*}$

Da (2) e (3) otteniamo la seguente relazione

$\begin{equation*} \begin{aligned} & m_1gR-m_1\alpha R^2 - (m_2g+m_2 \alpha R) R = I_{CM}\alpha \Leftrightarrow \\ & \quad \Leftrightarrow m_1gR-m_2gR=m_1 \alpha R^2 + m_2 \alpha R^2 + I_{CM}\alpha \Leftrightarrow \\ & \quad \Leftrightarrow \alpha = \dfrac{m_1gR-m_2gR}{m_1R^2+m_2R^2+I_{CM}} \end{aligned} \end{equation*}$

e sostituendo l’espressione di $\alpha$ in (3) abbiamo

$\boxcolorato{fisica}{ \begin{cases} T_1 = m_1 g - m_1 R \left(\dfrac{m_1gR - m_2 gR}{m_1R^2+m_2R^2+I_{CM}}\right)\\\\ T_2 = m_2 g + m_2 R \left(\dfrac{m_1gR-m_2gR}{m_1R^2+m_2R^2+I_{CM}}\right). \end{cases}}$

Inotre da (2) $_1$ si ha che

$\begin{aligned} &N=T_1+T_2+Mg=\\ &=m_1 g - m_1 R \left(\dfrac{m_1gR - m_2 gR}{m_1R^2+m_2R^2+I_{CM}}\right)+m_2 g + m_2 R \left(\dfrac{m_1gR-m_2gR}{m_1R^2+m_2R^2+I_{CM}}\right)+Mg=\\ &=g(m_1+m_2)+R\left(m_2 \left(\dfrac{m_1gR-m_2gR}{m_1R^2+m_2R^2+I_{CM}}\right)-m_1 \left(\dfrac{m_1gR - m_2 gR}{m_1R^2+m_2R^2+I_{CM}}\right)\right)+Mg \end{aligned}$

da cui

$\boxcolorato{fisica}{N= g(m_1+m_2)+R\left(m_2 \left(\dfrac{m_1gR-m_2gR}{m_1R^2+m_2R^2+I_{CM}}\right)-m_1 \left(\dfrac{m_1gR - m_2 gR}{m_1R^2+m_2R^2+I_{CM}}\right)\right)+Mg }$

nel caso particolare il cui $M=0$ si ha che $I_{CM}=0$ , quindi $T_1=T_2$ e $a_1=a_2=a$ da (3) si ha che:

$m_2g+m_2a=m_1g-m_1a\Leftrightarrow a=\dfrac{g\left(m_2-m_1 \right)}{m_1+m_2}$

sostituendo $a$ in (3) si ottiene:

$\boxcolorato{fisica}{ T=m_1g-m_1 \left( \dfrac{g\left(m_2-m_1 \right)}{m_1+m_2}\right).}$

Osservazione. Si osservi che le tensioni $-\vec{T}_1$ e $-\vec{T}_2$ in realtà non sono applicate direttamente al disco ma al filo arrotolato attorno al disco. Consideriamo il disco e il filo come due corpi differenti. Sia il filo di massa trascurabile; su di esso vengono applicate le tensioni $-\vec{T}_1$ e $-\vec{T}_2$ e la forza di attrito statico $\vec{f}$ (il filo non slitta) per via del contatto con il disco. Allora per il filo di massa trascurabile scegliendo si ha (abbiamo scelto un sistema di riferimento coincidente con l’ascissa curvilinea)

(4) $\begin{equation*} -\vec{T}_1-\vec{T}_2+\vec{f}=\vec{0} \end{equation*}$

e per il disco si ha

(5) $\begin{equation*} -\vec{f}\wedge\vec{R}=I_{CM}\vec{\alpha}. \end{equation*}$

Dalla (4) si ottiene

(6) $\begin{equation*} \vec{f}=\vec{T}_1+\vec{T}_2 \end{equation*}$

che sostituito in (9) ci fa ottenere

(7) $\begin{equation*} -\left(\vec{T}_1+\vec{T}_2\right)\wedge\vec{R}=I_{CM}\vec{\alpha} \end{equation*}$

cioè

(8) $\begin{equation*} -\vec{T}_1\wedge \vec{R}-\vec{T}_2\wedge \vec{R}=I_{CM}\vec{\alpha}. \end{equation*}$

Chiaramente considerando il sistema filo+disco le forze di attrito sono forze interne e le uniche forze esterne applicate al sistema sono $-\vec{T}_1$ e $-\vec{T}_2$ . Quindi l’equazione (8) è un’equazione “matematica”; non bisogna pensare che le tensioni sono applicate direttamente al disco ma al filo e il fatto che venga quell’uguaglianza è una diretta conseguenza dell’ipotesi che il filo abbiamo massa nulla e da calcoli successivamente illustrati di sopra.
Si osservi inoltre che se ipotizzassimo la massa del disco nulla si raggiungerebbe ad un assurdo in quanto la (9) diventerebbe

(9) $\begin{equation*} \vec{f}\wedge\vec{R}=I_{CM}\vec{\alpha}=\vec{0}. \end{equation*}$

Questo risultato è assurdo perché abbiamo ipotizzato che ci sia attrito tra i filo e disco. Quindi l’ipotesi di massa nulla del disco implica che non ci sia attrito tra disco e fune. In generale quando non c’è attrito tra disco e fune le tensioni sono sempre uguali in modulo, ovvero

(10) $\begin{equation*} T_1=T_2. \end{equation*}$

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Ringraziamenti: si ringrazia il professore Cesare Malagu’ per averci aiutato nella revisione e per averci suggerito l’osservazione.

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises (1992).