Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio corpo rigido 18

Dinamica del corpo rigido

Home » Esercizio corpo rigido 18

L’Esercizio Corpo Rigido 18 è il diciottesimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 17 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 19. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

 

Testo esercizio corpo rigido 18

Esercizio 18 (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Su un piano orizzontale è posta una massa m. La massa m viene messa in movimento tramite un filo che si avvolge su una puleggia di raggio r e quest’ultima è messa in rotazione dalla discesa, sotto l’azione del peso, di una massa M a cui è collegata da un filo avvolto su una puleggia di raggio R, coassiale e rigidamente fissata alla precedente con R>r. Il momento d’inerzia del sistema delle due pulegge rispetto al comune asse di rotazione vale I. Calcolare:

  1. la velocità v di M dopo che è scesa di h;
  2. le tensioni dei due fili durante il movimento;
  3. il valore di v se tra m e il piano ci fosse un coefficiente di attrito \mu_d.

Nota: supporre che i fili non slittino e che non ci sia attrito sull’asse.

 

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 
 

Figura 1.

 

Richiami di teoria.

Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1) \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}\\ \end{cases} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni, \vec{v}_O è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare , \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O. Dal momento che la massa m non dipende dal tempo, (1)_1 puo’ essere riscritta come segue

\[\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt} =M\,\vec{a}_{CM}\]

dove \vec{a}_{CM} è l’accelerazione del centro di massa ed M è la massa totale del sistema. Inoltre, siccome il polo scelto che coincide con O “centro delle due pulegge” è fisso, \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \vec{0} e quindi (1)_2 si puo’ scrivere come

\[\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}\]

e dal momento che l’asse di rotazione è fisso e il disco è simmetrico rispetto a tale asse abbiamo che

\[\dfrac{d\vec{L}_O}{dt} = I_{O} \, \alpha \, \hat{z}\]

con I_{O} momento d’inerzia del corpo rigido rispetto ad un asse fisso rispetto ad un sistema di riferimento innerziale rispetto al quale ruota e \alpha accelerazione angolare. Quindi il sistema (1) puo’ essere riscritto come segue

\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = M\, \vec{a}_{CM}\\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = I_{O}\, \vec{\alpha}. \end{cases} \end{equation*}


Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi