Esercizio corpo rigido 20

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 20  (\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un disco rigido, di massa m e raggio R è posto in un piano orizzontale e può ruotare attorno ad un asse verticale passante a distanza d dal centro del disco. Il bordo del disco è a contatto con un anello di raggio r=R+d che tramite un opportuno meccanismo non disegnato, può ruotare attorno allo stesso asse in modo tale che, in caso di moto relativo tra disco e anello, si sviluppi una forza di attrito radente F , tangente all’anello; la massa dell’anello è eguale a quella del disco (la forza F è l’unica forza di attrito presente nel sistema). Inizialmente disco e anello sono fermi; al tempo t=0 viene applicato all’asse un momento costante M così che il disco entri in rotazione; l’anello viene invece mantenuto fermo.

  1. Calcolare la velocità angolare del disco al tempo t_1. Nell’istante t_1 l’anello viene lasciato libero e inizia anch’esso a ruotare trascinato dal disco.
  2. Calcolare la velocità angolare dell’anello al tempo t_2.
    Nell’istante t_2 viene staccato dall’asse il motore che forniva il momento M e si osserva che al tempo t_3 disco e anello hanno la stessa velocità angolare.
    Calcolare:
  3. l’energia cinetica del sistema disco-anello al tempo t_3;
  4. il lavoro complessivo svolto dalle forze interne nell’intervallo di tempo da t=0 a t_3.

 

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Svolgimento.

Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\\\ \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt} \end{cases} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne al sistema, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_O è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O. Consideriamo la seguente figura

 

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dove O è il centro dell’anello, il polo attraverso cui passa l’asse rispetto al quale il sistema ruota, mentre O^\prime è il centro dell’anello.

Svolgimento Punto 1.

Applicando (1)_2 per il disco di massa m rispetto al polo fisso O, otteniamo

    \[\vec{v}_0 \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0},\]

ed inoltre, il disco possiede una certa simmetria rispetto all’asse di rotazione passante per O, quindi abbiamo

(2)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{M}^{ext}=I_{1}\vec{\alpha}_1 \end{equation*}

dove I_1 è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione passante per il polo O e \alpha_1 è l’accelerazione angolare del disco di massa m.

Ricordiamo ora il teorema di Huygens-Steiner. Teorema di Huygens-Steiner. Il momento d’inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse che si trova a una distanza k dal centro di massa del corpo è dato da :

(3)   \begin{equation*} I=I_{CM}+mk^2 \end{equation*}

dove I_{CM} è il momento d’inerzia del corpo rispetto ad un’asse passante per il centro di massa e parallelo al primo.

Applicando ora (3) possiamo riscrivere I_1 come segue:

    \[I_1=I_{CM}+mk^2=\dfrac{1}{2}mR^2+md^2.\]

Osserviamo che i momenti esterni al disco sono M e il momento della forza di attrito generata dal contatto tra disco e anello che nell’intervallo di tempo t\in [0,t_1] viene tenuto fermo; tornando ad (2) e scegliendo come polo O per il calcolo dei momenti esterni otteniamo:

    \[M-F(R+d)=I_1 \alpha = \left(\dfrac{1}{2}mR^2 + md^2\right) \alpha_1 \Leftrightarrow \alpha_1 = \dfrac{M-F(R+d)}{\frac{1}{2} m R^2+md^2}\]

Dal momento che \alpha_1 è costante, che la velocità angolare può essere espressa come segue:

(4)   \begin{equation*} \omega_1(t)=\omega_i+\alpha_1 t \end{equation*}

e ponendo t=t_1 e \omega_i=0 \; \mathrm{rad}/\mathrm{s} abbiamo

    \[\omega_1(t_1) = \alpha_1 t_1 \Leftrightarrow \omega_1(t_1) = \alpha_1 t_1=\left(\dfrac{M-F(R+d)}{\frac{1}{2} m R^2+md^2}\right) t_1\]

Dunque concludiamo che il risultato del punto 1) è:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \omega_1(t_1) = \alpha_1 t_1=\left(\dfrac{M-F(R+d)}{\frac{1}{2} m R^2+md^2}\right) t_1 .}\]

 

Svolgimento Punto 2.

Per t\geq t_1 l’anello è libero di muoversi ed è vincolato a ruotare rispetto ad un asse passante per il polo O perpendicolare al piano sul quale giace. Anche l’anello possiede una certa simmetria rispetto a tale polo quindi possiamo applicare (2) dove O coincide con il centro di massa dell’anello:

    \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\vec{M}^{ext}=I_2\vec{\alpha}_2\]

dove I_2 è il momento d’inerzia rispetto al centro di massa, \vec{\alpha}_2 è l’accelerazione angolare dell’anello e l’unico momento esterno è dovuto alla forza di attrito \vec{F}. Segue che:

    \[F(R+d) = I_2 \alpha_2 =mr^2 \alpha_2 \Leftrightarrow \alpha_2 = \dfrac{F(R+d)}{mr^2}\]

ed anche in questo caso l’accelerazione risulta costante e quindi possiamo applicare (4) ponendo t=t_2-t_1:

    \[\omega_2 (t_2-t_1) = \alpha_2(t_2-t_1)=\dfrac{F(R+d)}{mr^2} (t_2-t_1)\]

Si conclude che la velocità angolare dell’anello nell’istante t=t_2 è pari ad

    \[\boxcolorato{fisica}{ \omega_2 (t_2-t_1) = \alpha_2(t_2-t_1)=\dfrac{F(R+d)}{mr^2} (t_2-t_1).}\]

In (4) abbiamo sostituito t=t_2-t_1 e non t=t_2 perchè tale legge per l’anello è valida solo per t\geq t_1; infatti per 0\leq t \leq t_1 l’anello è mantenuto fermo.

Svolgimento Punto 3.

Per t\geq t_2 il momento M non sarà più presente e se scegliamo come polo il centro dell’anello, la somma dei momenti esterni risulta nulla; quindi applicando (1) abbiamo:

    \[\dfrac{d\vec{L}_0}{dt}=\vec{0}\]

da cui

    \[\vec{L}_0=\vec{c}\]

dove \vert \vec{c} \vert=\text{costante}\,\mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. Dunque rispetto al polo O si conserva il momento angolare del sistema e il momento angolare del sistema anello e disco all’istante t=t_2 è dato da:

    \[L_0 = \underbrace{mr^2}_{I_2} \omega_2 (t_2-t_1) + \underbrace{\left(\dfrac{1}{2}mR^2+md^2\right)}_{I_1} \, \omega_1 (t_2)\]

dove \omega_1(t_2) = \alpha_1 t_2. Calcoliamo il momento angolare del sistema all’istante t=t_3 tenendo conto che tra disco e anello non ci sarà più moto relativo ovvero avranno la stessa velocità angolare:

    \[L_F = \left(mr^2+\dfrac{1}{2}mR^2+md^2\right) \omega_f\]

dove \omega_f è la velocità angolare di disco e anello in tale istante. Dalla conservazione del momento angolare possiamo imporre la seguente equazione:

    \[L_0 =L_F \Leftrightarrow \omega_F = \dfrac{mr^2\omega_2(t_2-t_1)+\left(\frac{1}{2}mR^2+md^2\right) \omega_1(t_2)}{mr^2+\frac{1}{2}mR^2+md^2}\]

e notiamo che all’istante t=t_3 il sistema si muove all’unisono e solamente ruotando rispetto ad un asse passante per O e perpendicolare rispetto al piano sul quale giacciono anello e disco; dunque l’energia cinetica è solamente rotazionale:

    \[E = \dfrac{1}{2} I_t \omega_f^2\]

dove I_t è il momento d’inerzia totale del sistema rispetto ad O, quindi:

    \[E = \dfrac{1}{2} I_t \, \omega_F^2= \dfrac{1}{2} \left(mr^2+\dfrac{1}{2}mR^2+md^2\right) \omega_F^2\]

Concludiamo che il risultato del punto 3) è

    \[\boxcolorato{fisica}{ E =\dfrac{1}{2} \left(mr^2+\dfrac{1}{2}mR^2+md^2\right) \omega_F^2 .}\]

Svolgimento Punto 4.

Le uniche forze interne nel sistema disco e anello sono date dalla forza di attrito dovute al contatto tra i due.

Dal teorema dell’energia lavoro (o forze vive) possiamo esprimere il lavoro di tali forze come la variazione di energia cinetica del sistema all’istante t=t_3 e t=0 e tenendo conto che all’istante iniziale è tutto in quiete, l’energia cinetica iniziale del sistema sarà nulla tolto il lavoro del momento esterno M:

    \[\text{Lavoro forze interne}=\dfrac{1}{2}I\omega_f^2-\int_{0}^{\theta_f}M\,d\theta\]

dove

    \[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}I_t\omega_f^2=\dfrac{1}{2}\left(mr^2+\dfrac{1}{2}mR^2+md^2\right)\left(\dfrac{mr^2\omega_2(t_2-t_1)+\left(\frac{1}{2}mR^2+md^2\right) \omega_1(t_2)}{mr^2+\frac{1}{2}mR^2+md^2} \right)^2\\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \text{e}\\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \int_{0}^{\theta_f}M\,d\theta=M\theta_f \end{aligned}\]

con \theta_f spazio angolare totale che ha percorso il disco prima che il momento M venga tolto dal sistema:

    \[\theta_f=\dfrac{1}{2}\alpha_1 t^2_2.\]

Concludiamo che il risultato del punto 4) del problema è:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \begin{aligned} \text{Lavoro forze interne}= \dfrac{1}{2}\left(mr^2+\dfrac{1}{2}mR^2+md^2\right)\left(\dfrac{mr^2\omega_2(t_2-t_1)+\left(\frac{1}{2}mR^2+md^2\right) \omega_1(t_2)}{mr^2+\frac{1}{2}mR^2+md^2} \right)^2-M \dfrac{1}{2}\alpha_1 t^2_2. \end{aligned}}\]

 

Fonte.

P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises (1992)