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Esercizio 20 . Un disco rigido, di massa e raggio è posto in un piano orizzontale e può ruotare attorno ad un asse verticale passante a distanza dal centro del disco. Il bordo del disco è a contatto con un anello di raggio che tramite un opportuno meccanismo non disegnato, può ruotare attorno allo stesso asse in modo tale che, in caso di moto relativo tra disco e anello, si sviluppi una forza di attrito radente , tangente all’anello; la massa dell’anello è eguale a quella del disco (la forza è l’unica forza di attrito presente nel sistema). Inizialmente disco e anello sono fermi; al tempo viene applicato all’asse un momento costante così che il disco entri in rotazione; l’anello viene invece mantenuto fermo.
- Calcolare la velocità angolare del disco al tempo . Nell’istante l’anello viene lasciato libero e inizia anch’esso a ruotare trascinato dal disco.
- Calcolare la velocità angolare dell’anello al tempo .
Nell’istante viene staccato dall’asse il motore che forniva il momento e si osserva che al tempo disco e anello hanno la stessa velocità angolare.
Calcolare: - l’energia cinetica del sistema disco-anello al tempo ;
- il lavoro complessivo svolto dalle forze interne nell’intervallo di tempo da a .
Svolgimento.
(1)
dove è la somma di tutte le forze esterne al sistema, è la quantità di moto totale del sistema, è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, è la velocità del centro di massa ed infine è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo . Consideriamo la seguente figura
dove è il centro dell’anello, il polo attraverso cui passa l’asse rispetto al quale il sistema ruota, mentre è il centro dell’anello.
Svolgimento Punto 1.
ed inoltre, il disco possiede una certa simmetria rispetto all’asse di rotazione passante per , quindi abbiamo
(2)
dove è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione passante per il polo e è l’accelerazione angolare del disco di massa .
Ricordiamo ora il teorema di Huygens-Steiner. Teorema di Huygens-Steiner. Il momento d’inerzia di un corpo di massa rispetto ad un asse che si trova a una distanza dal centro di massa del corpo è dato da :
(3)
dove è il momento d’inerzia del corpo rispetto ad un’asse passante per il centro di massa e parallelo al primo.
Applicando ora (3) possiamo riscrivere come segue:
Osserviamo che i momenti esterni al disco sono e il momento della forza di attrito generata dal contatto tra disco e anello che nell’intervallo di tempo viene tenuto fermo; tornando ad (2) e scegliendo come polo per il calcolo dei momenti esterni otteniamo:
Dal momento che è costante, che la velocità angolare può essere espressa come segue:
(4)
e ponendo e abbiamo
Dunque concludiamo che il risultato del punto 1) è:
Svolgimento Punto 2.
dove è il momento d’inerzia rispetto al centro di massa, è l’accelerazione angolare dell’anello e l’unico momento esterno è dovuto alla forza di attrito . Segue che:
ed anche in questo caso l’accelerazione risulta costante e quindi possiamo applicare (4) ponendo :
Si conclude che la velocità angolare dell’anello nell’istante è pari ad
In (4) abbiamo sostituito e non perchè tale legge per l’anello è valida solo per ; infatti per l’anello è mantenuto fermo.
Svolgimento Punto 3.
da cui
dove . Dunque rispetto al polo si conserva il momento angolare del sistema e il momento angolare del sistema anello e disco all’istante è dato da:
dove . Calcoliamo il momento angolare del sistema all’istante tenendo conto che tra disco e anello non ci sarà più moto relativo ovvero avranno la stessa velocità angolare:
dove è la velocità angolare di disco e anello in tale istante. Dalla conservazione del momento angolare possiamo imporre la seguente equazione:
e notiamo che all’istante il sistema si muove all’unisono e solamente ruotando rispetto ad un asse passante per e perpendicolare rispetto al piano sul quale giacciono anello e disco; dunque l’energia cinetica è solamente rotazionale:
dove è il momento d’inerzia totale del sistema rispetto ad , quindi:
Concludiamo che il risultato del punto 3) è
Svolgimento Punto 4.
Dal teorema dell’energia lavoro (o forze vive) possiamo esprimere il lavoro di tali forze come la variazione di energia cinetica del sistema all’istante e e tenendo conto che all’istante iniziale è tutto in quiete, l’energia cinetica iniziale del sistema sarà nulla tolto il lavoro del momento esterno :
dove
con spazio angolare totale che ha percorso il disco prima che il momento venga tolto dal sistema:
Concludiamo che il risultato del punto 4) del problema è:
Fonte.
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