Esercizio corpo rigido 20

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Esercizio 20 $(\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un disco rigido, di massa $m$ e raggio $R$ è posto in un piano orizzontale e può ruotare attorno ad un asse verticale passante a distanza $d$ dal centro del disco. Il bordo del disco è a contatto con un anello di raggio $r=R+d$ che tramite un opportuno meccanismo non disegnato, può ruotare attorno allo stesso asse in modo tale che, in caso di moto relativo tra disco e anello, si sviluppi una forza di attrito radente $F$ , tangente all’anello; la massa dell’anello è eguale a quella del disco (la forza $F$ è l’unica forza di attrito presente nel sistema). Inizialmente disco e anello sono fermi; al tempo $t=0$ viene applicato all’asse un momento costante $M$ così che il disco entri in rotazione; l’anello viene invece mantenuto fermo.

Calcolare la velocità angolare del disco al tempo $t_1$ . Nell’istante $t_1$ l’anello viene lasciato libero e inizia anch’esso a ruotare trascinato dal disco.
Calcolare la velocità angolare dell’anello al tempo $t_2$ .
Nell’istante $t_2$ viene staccato dall’asse il motore che forniva il momento $M$ e si osserva che al tempo $t_3$ disco e anello hanno la stessa velocità angolare.
Calcolare:
l’energia cinetica del sistema disco-anello al tempo $t_3$ ;
il lavoro complessivo svolto dalle forze interne nell’intervallo di tempo da $t=0$ a $t_3$ .

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Svolgimento. Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\\\ \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt} \end{cases} \end{equation*}$

dove $\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}}$ è la somma di tutte le forze esterne al sistema, $\vec{P}_t$ è la quantità di moto totale del sistema, $\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}$ è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, $\vec{v}_O$ è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, $\vec{v}_{CM}$ è la velocità del centro di massa ed infine $\vec{L}_O$ è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo $O$ .
Consideriamo la seguente figura

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dove $O$ è il centro dell’anello, il polo attraverso cui passa l’asse rispetto al quale il sistema ruota, mentre $O^\prime$ è il centro dell’anello.
Punto 1.
Applicando (1) $_2$ per il disco di massa $m$ rispetto al polo fisso $O$ , otteniamo

$\vec{v}_0 \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0},$

ed inoltre, il disco possiede una certa simmetria rispetto all’asse di rotazione passante per $O$ , quindi abbiamo

(2) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{M}^{ext}=I_{1}\vec{\alpha}_1 \end{equation*}$

dove $I_1$ è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione passante per il polo $O$ e $\alpha_1$ è l’accelerazione angolare del disco di massa $m$ .

Ricordiamo ora il teorema di Huygens-Steiner.
Teorema di Huygens-Steiner.
Il momento d’inerzia di un corpo di massa $m$ rispetto ad un asse che si trova a una distanza $k$ dal centro di massa del corpo è dato da :

(3) $\begin{equation*} I=I_{CM}+mk^2 \end{equation*}$

dove $I_{CM}$ è il momento d’inerzia del corpo rispetto ad un’asse passante per il centro di massa e parallelo al primo.

Applicando ora (3) possiamo riscrivere $I_1$ come segue:

$I_1=I_{CM}+mk^2=\dfrac{1}{2}mR^2+md^2.$

Osserviamo che i momenti esterni al disco sono $M$ e il momento della forza di attrito generata dal contatto tra disco e anello che nell’intervallo di tempo $t\in [0,t_1]$ viene tenuto fermo; tornando ad (2) e scegliendo come polo $O$ per il calcolo dei momenti esterni otteniamo:

$M-F(R+d)=I_1 \alpha = \left(\dfrac{1}{2}mR^2 + md^2\right) \alpha_1 \Leftrightarrow \alpha_1 = \dfrac{M-F(R+d)}{\frac{1}{2} m R^2+md^2}$

Dal momento che $\alpha_1$ è costante, che la velocità angolare può essere espressa come segue:

(4) $\begin{equation*} \omega_1(t)=\omega_i+\alpha_1 t \end{equation*}$

e ponendo $t=t_1$ e $\omega_i=0 \; \mathrm{rad}/\mathrm{s}$ abbiamo

$\omega_1(t_1) = \alpha_1 t_1 \Leftrightarrow \omega_1(t_1) = \alpha_1 t_1=\left(\dfrac{M-F(R+d)}{\frac{1}{2} m R^2+md^2}\right) t_1$

Dunque concludiamo che il risultato del punto 1) è:

$\boxcolorato{fisica}{ \omega_1(t_1) = \alpha_1 t_1=\left(\dfrac{M-F(R+d)}{\frac{1}{2} m R^2+md^2}\right) t_1 .}$

Punto 2. Per $t\geq t_1$ l’anello è libero di muoversi ed è vincolato a ruotare rispetto ad un asse passante per il polo $O$ perpendicolare al piano sul quale giace. Anche l’anello possiede una certa simmetria rispetto a tale polo quindi possiamo applicare (2) dove $O$ coincide con il centro di massa dell’anello:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\vec{M}^{ext}=I_2\vec{\alpha}_2$

dove $I_2$ è il momento d’inerzia rispetto al centro di massa, $\vec{\alpha}_2$ è l’accelerazione angolare dell’anello e l’unico momento esterno è dovuto alla forza di attrito $\vec{F}$ .
Segue che:

$F(R+d) = I_2 \alpha_2 =mr^2 \alpha_2 \Leftrightarrow \alpha_2 = \dfrac{F(R+d)}{mr^2}$

ed anche in questo caso l’accelerazione risulta costante e quindi possiamo applicare (4) ponendo $t=t_2-t_1$ :

$\omega_2 (t_2-t_1) = \alpha_2(t_2-t_1)=\dfrac{F(R+d)}{mr^2} (t_2-t_1)$

Si conclude che la velocità angolare dell’anello nell’istante $t=t_2$ è pari ad

$\boxcolorato{fisica}{ \omega_2 (t_2-t_1) = \alpha_2(t_2-t_1)=\dfrac{F(R+d)}{mr^2} (t_2-t_1).}$

In (4) abbiamo sostituito $t=t_2-t_1$ e non $t=t_2$ perchè tale legge per l’anello è valida solo per $t\geq t_1$ ; infatti per $0\leq t \leq t_1$ l’anello è mantenuto fermo.

Punto 3. Per $t\geq t_2$ il momento $M$ non sarà più presente e se scegliamo come polo il centro dell’anello, la somma dei momenti esterni risulta nulla; quindi applicando (1) abbiamo:

$\dfrac{d\vec{L}_0}{dt}=\vec{0}$

da cui

$\vec{L}_0=\vec{c}$

dove $\vert \vec{c} \vert=\text{costante}\,\mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2/\mathrm{s}$ .
Dunque rispetto al polo $O$ si conserva il momento angolare del sistema e il momento angolare del sistema anello e disco all’istante $t=t_2$ è dato da:

$L_0 = \underbrace{mr^2}_{I_2} \omega_2 (t_2-t_1) + \underbrace{\left(\dfrac{1}{2}mR^2+md^2\right)}_{I_1} \, \omega_1 (t_2)$

dove $\omega_1(t_2) = \alpha_1 t_2$ .
Calcoliamo il momento angolare del sistema all’istante $t=t_3$ tenendo conto che tra disco e anello non ci sarà più moto relativo ovvero avranno la stessa velocità angolare:

$L_F = \left(mr^2+\dfrac{1}{2}mR^2+md^2\right) \omega_f$

dove $\omega_f$ è la velocità angolare di disco e anello in tale istante.
Dalla conservazione del momento angolare possiamo imporre la seguente equazione:

$L_0 =L_F \Leftrightarrow \omega_F = \dfrac{mr^2\omega_2(t_2-t_1)+\left(\frac{1}{2}mR^2+md^2\right) \omega_1(t_2)}{mr^2+\frac{1}{2}mR^2+md^2}$

e notiamo che all’istante $t=t_3$ il sistema si muove all’unisono e solamente ruotando rispetto ad un asse passante per $O$ e perpendicolare rispetto al piano sul quale giacciono anello e disco; dunque l’energia cinetica è solamente rotazionale:

$E = \dfrac{1}{2} I_t \omega_f^2$

dove $I_t$ è il momento d’inerzia totale del sistema rispetto ad $O$ , quindi:

$E = \dfrac{1}{2} I_t \, \omega_F^2= \dfrac{1}{2} \left(mr^2+\dfrac{1}{2}mR^2+md^2\right) \omega_F^2$

Concludiamo che il risultato del punto 3) è

$\boxcolorato{fisica}{ E =\dfrac{1}{2} \left(mr^2+\dfrac{1}{2}mR^2+md^2\right) \omega_F^2 .}$

Punto 4. Le uniche forze interne nel sistema disco e anello sono date dalla forza di attrito dovute al contatto tra i due.

Dal teorema dell’energia lavoro (o forze vive) possiamo esprimere il lavoro di tali forze come la variazione di energia cinetica del sistema all’istante $t=t_3$ e $t=0$ e tenendo conto che all’istante iniziale è tutto in quiete, l’energia cinetica iniziale del sistema sarà nulla tolto il lavoro del momento esterno $M$ :

$\text{Lavoro forze interne}=\dfrac{1}{2}I\omega_f^2-\int_{0}^{\theta_f}M\,d\theta$

dove

$\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}I_t\omega_f^2=\dfrac{1}{2}\left(mr^2+\dfrac{1}{2}mR^2+md^2\right)\left(\dfrac{mr^2\omega_2(t_2-t_1)+\left(\frac{1}{2}mR^2+md^2\right) \omega_1(t_2)}{mr^2+\frac{1}{2}mR^2+md^2} \right)^2\\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \text{e}\\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \int_{0}^{\theta_f}M\,d\theta=M\theta_f \end{aligned}$

con $\theta_f$ spazio angolare totale che ha percorso il disco prima che il momento $M$ venga tolto dal sistema:

$\theta_f=\dfrac{1}{2}\alpha_1 t^2_2.$

Concludiamo che il risultato del punto 4) del problema è:

$\boxcolorato{fisica}{ \begin{aligned} \text{Lavoro forze interne}= \dfrac{1}{2}\left(mr^2+\dfrac{1}{2}mR^2+md^2\right)\left(\dfrac{mr^2\omega_2(t_2-t_1)+\left(\frac{1}{2}mR^2+md^2\right) \omega_1(t_2)}{mr^2+\frac{1}{2}mR^2+md^2} \right)^2-M \dfrac{1}{2}\alpha_1 t^2_2. \end{aligned}}$

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises (1992.

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