Esercizio corpo rigido 66

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 66  (\bigstar \bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Consideriamo una semisfera con base, dove la base è un disco solido di raggio R che sigilla l’apertura della semisfera, rendendo il corpo una struttura chiusa e isolata.
La superficie della sfera è caratterizzata da una densità superficiale costante \sigma, mentre la base è caratterizzata da una densità superficiale \tilde{\sigma} nulla. La base della semisfera si trova in un piano orizzontale e la semisfera è vincolata a ruotare attorno al proprio asse di simmetria, con una velocità angolare iniziale \vec{\omega}_0, e l’asse di rotazione non è soggetto a forze di attrito. L’asse di rotazione è fisso nello spazio e passa per il centro della semisfera.

All’istante iniziale t = 0, un uomo di massa m si trova posizionato al centro della semisfera. Successivamente, inizia a spostarsi radialmente sulla base della semisfera (al suo interno), arrivando a una distanza \frac{R}{2} dal centro al tempo t^* > 0, raggiungendo tale punto con velocità nulla rispetto alla semisfera. Pertanto l’uomo si muove radialmente lungo la base della semisfera ed è vincolato a ruotare con essa.

Osservando da un sistema di riferimento fisso Oxyz, determinare:

Osservando da un sistema di riferimento fisso Oxyz, determinare:

  1. la velocità angolare finale \vec{\omega}_f al tempo t^* del sistema composto da semisfera e uomo.
  2. Il lavoro compiuto dall’uomo per raggiungere la distanza di \frac{R}{2} dal centro della semisfera.

Esprimere i risultati in funzione delle variabili \sigma, R, m, e \omega_0, dove \omega_0 è il modulo della velocità angolare iniziale \vec{\omega}_0. Si assuma che l’uomo cammini senza strisciare e che le forze di attrito tra esso e la semisfera siano solo di attrito statico.

 

 

Richiami teorici.

  1. Il momento d’inerzia di un corpo rigido rispetto a un asse di rotazione è definito come:

    (1)   \begin{equation*} I = \int r^2 \, dm, \end{equation*}

    dove r è la distanza perpendicolare di un elemento di massa dm dall’asse di rotazione.Per corpi rigidi con una distribuzione di massa discreta, il momento d’inerzia può essere calcolato come:

    (2)   \begin{equation*} I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2, \end{equation*}

    dove m_i è la massa di ciascun punto e r_i è la distanza del punto i-esimo dall’asse di rotazione.Per corpi rigidi con una distribuzione di massa continua, il momento d’inerzia può essere calcolato integrando su tutto il volume V del corpo:

    (3)   \begin{equation*} I = \int_{V} \rho(\vec{r}) r^2 \, dV, \end{equation*}

    dove \rho(\vec{r}) è la densità di massa nel punto di coordinate \vec{r}.La forma esatta dell’integrale dipenderà dalla geometria del corpo e dalla densità della distribuzione di massa. In altri termini la precedente equazione potrebbe rappresentare un integrale triplo, doppio, di linea di prima specie o di superficie, a seconda di com’è distribuita la massa del corpo rigido in questione.

  2. In un sistema di punti materiali, si verifica che la somma vettoriale delle forze interne si annulla, così come quella dei momenti interni. Tuttavia, è importante notare che le forze interne sono comunque in grado di compiere lavoro. Di conseguenza, nell’applicazione del teorema dell’energia cinetica, noto anche come teorema del lavoro-energia, per sistemi di punti materiali, è essenziale considerare anche il lavoro svolto dalle forze interne.
  3. Le coordinate sferiche sono un sistema di coordinate curvilinee tridimensionali in cui la posizione di un punto nello spazio è rappresentata da tre coordinate: il raggio r, l’angolo azimutale \theta e l’angolo polare o zenitale \phi.Le relazioni tra le coordinate cartesiane (x, y, z) e le coordinate sferiche (r, \theta, \phi) sono le seguenti:

        \[\begin{cases} x= \rho \sin \phi \cos \theta\\ y= \rho \sin \phi \sin \theta\quad \text{con}\,\,\rho >0,\theta \in [0,2\pi],\phi \in [0,\pi]\\ z= \rho \cos \phi, \end{cases}\]

    dove

     

  4. In coordinate sferiche, una superficie sferica è rappresentata dai punti aventi un raggio costante r, mentre gli angoli \theta e \phi variano. L’elemento di area dS su una superficie sferica è dato da:

    (4)   \begin{equation*} dS = r^2 \sin(\phi) \, d\phi \, d\theta \end{equation*}

    Pertanto, per calcolare l’integrale di superficie di f su una superficie sferica in coordinate sferiche, si utilizza la seguente espressione:

    (5)   \begin{equation*} \iint_S f(r, \theta, \phi) \, r^2 \sin(\phi) \, d\phi \, d\theta \end{equation*}

    dove f(r, \theta, \phi) è la funzione espressa in coordinate sferiche, e r, \theta, e \phi variano entro i limiti che definiscono la superficie S.

  5. La massa di un corpo rigido con una distribuzione di massa superficiale può essere definita integrando la densità di massa superficiale \sigma su tutta la superficie S del corpo. La densità di massa superficiale è definita come la massa per unità di area, e la massa totale M è data dall’integrale di superficie di \sigma su S:

    (6)   \begin{equation*} M = \iint_S \sigma \, dS \end{equation*}

    dove dS rappresenta l’elemento infinitesimale di area sulla superficie del corpo.Se il corpo ha una forma semplice e \sigma è uniforme, l’integrale può essere semplificato moltiplicando \sigma per l’area totale della superficie S:

    (7)   \begin{equation*} M = \sigma \times \text{Area}(S) \end{equation*}

    Per corpi con forme più complesse o distribuzioni di massa non uniformi, l’integrale deve essere valutato considerando la variazione di \sigma sulla superficie.


Svolgimento.

  Nel corso dello svolgimento considereremo solo la massa distribuita lungo la superficie della semisfera in quanto il pavimento ha una distribuzione di massa nulla. Parametrizziamo la superficie di una semisfera impiegando le coordinate sferiche. Di seguito, in Figura 2, rappresentiamo le variabili \phi e \theta utilizzate per parametrizzare la superficie della semisfera.

Applicando le coordinate sferiche si può parametrizzare la semisfera come segue

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} x=R\sin \phi \cos \theta\\ y=R\sin \phi \sin \theta\quad \text{con}\,\,\theta \in [0,2\pi)\,,\phi \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\\ z=R \cos \phi. \end{cases} \end{equation*}

Inoltre, la superficie infinitesima della semisfera si può esprimere come:

(9)   \begin{equation*} d\Sigma=R^2\sin \phi\, d\theta\, d\phi. \end{equation*}

L’elemento infinitesimo di massa del guscio sferico sfruttando la precedente equazione si può esprimere come:

(10)   \begin{equation*} dm=\sigma \,d\Sigma=\sigma R^2\sin \phi\, d\theta\, d\phi. \end{equation*}

Calcoliamo il momento d’inerzia della semisfera rispetto all’asse di rotazione applicando le equazioni (8), (9) e (10):

(11)   \begin{equation*} \begin{aligned} I_{\text{CM}} & = \iint_\Sigma (x^2+y^2)\,dm=\\ &=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(R\sin \phi\right)^2\sigma R^2 \sin \phi \; d\phi=\\ &=2\pi \sigma R^4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^3 \phi \,d\phi=\\ &=2\pi \sigma R^4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin \phi \,\sin^2 \phi \,d\phi=\\ &=2\pi \sigma R^4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin \phi\left(1-\cos^2\phi\right) \,d\phi=\\ &=2\pi \sigma R^4\left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\phi\,d\phi-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \phi \sin \phi \,d\phi \right)=\\ &=2\pi \sigma R^4\left(-\cos \phi +\dfrac{\cos^3 \phi }{3}\right)\bigg\vert^{\frac{\pi}{2}}_{0}=\\ &=2\pi \sigma R^4\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\\ &=2\pi \sigma R^4\cdot\dfrac{2}{3}=\\ &=\dfrac{4}{3}\sigma\pi R^4, \end{aligned} \end{equation*}

Consideriamo come sistema fisico l’insieme formato dal guscio sferico e dall’uomo. Le forze esterne sono le forze peso dell’uomo e del guscio sferico che agiscono lungo l’asse z e la reazione vincolare generata dal vincolo applicata direttamente in O. Scegliendo come polo O, situato sull’asse z che è il polo dove passa l’asse di rotazione, i momenti di queste forze rispetto a tale asse risultano nulli, dato che le forze peso puntano lungo l’asse z e la reazione vincolare è proprio applicata al polo O. Di conseguenza, il momento angolare rispetto a questo asse si conserva.

Definiamo L_i come il momento angolare del sistema al tempo t=0 e L_f quello al tempo t^*, entrambi calcolati rispetto al polo O.

Al tempo t=0, il momento angolare del sistema è dato unicamente dal guscio sferico, poiché in questo istante l’uomo si trova in O e il suo contributo al momento angolare è nullo. Pertanto, il momento angolare iniziale è:

(12)   \begin{equation*} L_i=I_{\text {CM}}\omega_0. \end{equation*}

Sia \omega_f il modulo di \vec{\omega}_f. Calcoliamo il momento angolare all’istante t=t^* rispetto al polo O. In tale istante il contributo al momento angolare totale è dato sia dal guscio sferico che dall’uomo, essendo entrambi in movimento. Il momento angolare finale è:

(13)   \begin{equation*} L_f=\left( I_{\text{CM}}+m\dfrac{R^2}{4} \right) \omega_f. \end{equation*}

Dalla conservazione del momento angolare abbiamo che

(14)   \begin{equation*} L_i=L_f. \end{equation*}

Sfruttando le equazione (12) e (13) la precedente equazione diventa:

(15)   \begin{equation*} I_{\text {CM}}\omega_0=\left( I_{\text{CM}}+m\dfrac{R^2}{4} \right) \omega_f, \end{equation*}

da cui

(16)   \begin{equation*} \omega_f=\dfrac{I_{\text{CM}}\omega_0}{I_{\text{CM}}+m\dfrac{R^2}{4}}. \end{equation*}

Avvalendoci dell’equazione (11) la precedente equazione si riscrive come:

(17)   \begin{equation*} \omega_f=\dfrac{I_{\text{CM}}\omega_0}{I_{\text{CM}}+m\dfrac{R^2}{4}}=\dfrac{\dfrac{4}{3}\sigma\pi R^4\omega_0}{\dfrac{4}{3}\sigma\pi R^4+m\dfrac{R^2}{4}}=\dfrac{16\sigma \pi R^2\omega_0}{16\sigma \pi R^2+3m}. \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{\omega_f=\dfrac{16\sigma \pi R^2\omega_0}{16\sigma \pi R^2+3m} .}\]

Nel sistema fisico considerato, le forze peso non compiono lavoro poiché sia la semisfera sia l’uomo si mantengono alla stessa quota. Le forze interne, rappresentate dalla forza di attrito \vec{f}, agiscono sull’uomo e sulla semisfera. Questa forza è uguale e opposta per il terzo principio della dinamica, essendo -\vec{f} la forza corrispondente sulla semisfera; tali forze compiono lavoro non nullo. Per calcolare il lavoro delle forze di attrito tra gli istanti t=0 e t^*, applichiamo il teorema del lavoro-energia. L’energia totale del sistema fisico al tempo t=0 è:

(18)   \begin{equation*} E_i=\dfrac{1}{2}I_{\text{CM}}\omega_0^2. \end{equation*}

L’energia totale del sistema fisico all’istante t=t^* è:

(19)   \begin{equation*} E_f=\dfrac{1}{2}I_{\text{CM}}\omega_f^2+\dfrac{1}{2}m\dfrac{R^2}{4}\omega_f^2=\dfrac{1}{2}\omega_f^2\left(I_{\text{CM}}+\dfrac{1}{2}m\dfrac{R^2}{4}\right) \end{equation*}

Applichiamo il teorema dell’energia lavoro sfruttando le due precedenti equazioni:

(20)   \begin{equation*} \text{Lavoro forze di attrito}=\dfrac{1}{2}\omega_f^2\left(I_{\text{CM}}+\dfrac{1}{2}m\dfrac{R^2}{4}\right)-\dfrac{1}{2}I_{\text{CM}}\omega_0^2, \end{equation*}

da cui sfruttando l’equazione (11) abbiamo

(21)   \begin{equation*} \text{Lavoro forze di attrito}=\dfrac{1}{2}\omega_f^2\left(\dfrac{4}{3}\sigma\pi R^4+\dfrac{1}{2}m\dfrac{R^2}{4}\right)-\dfrac{1}{2}\dfrac{4}{3}\sigma\pi R^4\omega_0^2, \end{equation*}

o anche

(22)   \begin{equation*} \text{Lavoro forze di attrito}=\dfrac{1}{2}\omega_f^2\left(\dfrac{4}{3}\sigma\pi R^4+\dfrac{1}{2}m\dfrac{R^2}{4}\right)-\dfrac{2}{3}\sigma\pi R^4\omega_0^2. \end{equation*}

Sostituendo nella precedente equazione \omega_f ottenuta al punto precedente, otteniamo:

(23)   \begin{equation*} \text{Lavoro forze di attrito}= \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{16\sigma \pi R^2\omega_0}{16\sigma \pi R^2+3m}\right)^2\left(\dfrac{4}{3}\sigma\pi R^2+m\dfrac{R^2}{4} \right)-\frac{2}{3}\sigma\pi R^4\omega_0^2. \end{equation*}

Si conclude che il lavoro delle forze di attrito è:

    \[\boxcolorato{fisica}{\text{Lavoro forze di attrito}= \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{16\sigma \pi R^2\omega_0}{16\sigma \pi R^2+3m}\right)^2\left(\dfrac{4}{3}\sigma\pi R^2+m\dfrac{R^2}{4} \right)-\frac{2}{3}\sigma\pi R^4\omega_0^2.}\]

Osservazione 1. Consideriamo una sfera cava con raggio R e massa totale M, con la massa distribuita uniformemente sulla superficie. L’elemento di massa dm su una sfera può essere espresso come:

    \[ dm = \sigma \, dA, \]

dove \sigma è la densità di massa superficiale e dA è l’elemento di area. La densità superficiale è data da:

    \[ \sigma = \frac{M}{4\pi R^2}. \]

L’elemento di area in coordinate sferiche è:

    \[ dA = R^2 \sin(\phi) \, d\phi \, d\theta. \]

Sostituendo e integrando su tutta la superficie della sfera, otteniamo:

    \[ I_{\text{sfera}} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi (R \sin(\phi))^2 \sigma R^2 \sin(\phi) \, d\phi \, d\theta = \sigma R^4 \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin^3(\phi) \, d\phi \, d\theta. \]

L’integrale di \sin^3(\phi) è:

    \[ \int_0^\pi \sin^3(\phi) \, d\phi = \frac{4}{3} \]

pertanto

    \[ I_{\text{sfera}} = \sigma R^4 \frac{4}{3} \cdot 2\pi = \frac{8\pi \sigma R^4}{3}. \]

Sostituendo \sigma con \frac{M}{4\pi R^2}:

    \[ I_{\text{sfera}} = \frac{2}{3} MR^2. \]

Per una semisfera, il momento d’inerzia rispetto allo stesso asse è:

    \[ I_{\text{semisfera}} =\dfrac{4}{3}\sigma\pi R^4. \]

Sostituendo nella precedente equazione \sigma=\frac{M}{2}\,\frac{1}{2\pi R^2}, si ottiene:

    \[ I_{\text{semisfera}} =\dfrac{4}{3}\frac{M}{2}\,\frac{1}{2\pi R^2}\,\pi R^4=\dfrac{1}{3}MR^2. \]

Il legame tra il momento d’inerzia della sfera e quello della semisfera si osserva immediatamente confrontando le loro formule. Il momento d’inerzia della semisfera è esattamente la metà di quello della sfera:

    \[ I_{\text{semisfera}} = \frac{1}{2} I_{\text{sfera}}. \]

Questo risulta dal fatto che la semisfera è essenzialmente la metà della sfera in termini di distribuzione di massa sulla superficie, considerando che la distribuzione della massa è uniforme e la distanza media dei punti dell’asse è la stessa.

Osservazione 2. Quando una persona cammina su una superficie, si verifica un’interazione dinamica fondamentale che coinvolge le forze di attrito. Consideriamo come sistema fisico l’uomo e la superficie su cui cammina. La forza di attrito che agisce tra i piedi dell’uomo e la superficie è essenziale per il movimento. Senza attrito, l’uomo scivolerebbe e non sarebbe in grado di spostarsi efficacemente. Quando l’uomo spinge il piede contro il terreno, per il terzo principio della dinamica, il terreno reagisce esercitando una forza di uguale intensità ma di direzione opposta sul piede.

  • Supponiamo che la forza di attrito generata dall’uomo spingendo indietro sul terreno sia f. Questa forza è diretta verso il retro, aiutando l’uomo a spostarsi in avanti.
  • Per il terzo principio della dinamica, la superficie reagisce esercitando una forza di attrito -f sull’uomo. Questa forza è diretta verso il fronte, opponendosi al movimento relativo del piede rispetto alla superficie.

Le equazioni che descrivono il movimento dell’uomo possono essere scritte considerando la somma delle forze agenti su di lui. Se F è la forza netta esercitata dall’uomo contro il terreno, allora la forza netta che agisce sull’uomo è -f, risultando nella seguente equazione del movimento:

    \[ F_{\text{net}} = ma = -f \]

dove m è la massa dell’uomo e a è l’accelerazione risultante. L’attrito non solo previene lo scivolamento, ma è anche cruciale per la trasmissione delle forze che permettono l’avanzamento. L’efficacia dell’attrito dipende dalla rugosità delle superfici in contatto e dalla forza normale esercitata, che in questo contesto è il peso dell’uomo.