Esercizio corpo rigido 66

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L’Esercizio Corpo Rigido 66 è il sessantaseiesimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 65 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 67. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

Testo dell’Esercizio Corpo Rigido 66

Esercizio 66 $(\bigstar \bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Consideriamo una semisfera con base, dove la base è un disco solido di raggio $R$ che sigilla l’apertura della semisfera, rendendo il corpo una struttura chiusa e isolata.
La superficie della sfera è caratterizzata da una densità superficiale costante $\sigma$ , mentre la base è caratterizzata da una densità superficiale $\tilde{\sigma}$ nulla. La base della semisfera si trova in un piano orizzontale e la semisfera è vincolata a ruotare attorno al proprio asse di simmetria, con una velocità angolare iniziale $\vec{\omega}_0$ , e l’asse di rotazione non è soggetto a forze di attrito. L’asse di rotazione è fisso nello spazio e passa per il centro della semisfera.

All’istante iniziale $t = 0$ , un uomo di massa $m$ si trova posizionato al centro della semisfera. Successivamente, inizia a spostarsi radialmente sulla base della semisfera (al suo interno), arrivando a una distanza $\frac{R}{2}$ dal centro al tempo $t^* > 0$ , raggiungendo tale punto con velocità nulla rispetto alla semisfera. Pertanto l’uomo si muove radialmente lungo la base della semisfera ed è vincolato a ruotare con essa.

Osservando da un sistema di riferimento fisso $Oxyz$ , determinare:

la velocità angolare finale $\vec{\omega}_f$ al tempo $t^*$ del sistema composto da semisfera e uomo.
Il lavoro compiuto dall’uomo per raggiungere la distanza di $\frac{R}{2}$ dal centro della semisfera.

Esprimere i risultati in funzione delle variabili $\sigma$ , $R$ , $m$ , e $\omega_0$ , dove $\omega_0$ è il modulo della velocità angolare iniziale $\vec{\omega}_0$ . Si assuma che l’uomo cammini senza strisciare e che le forze di attrito tra esso e la semisfera siano solo di attrito statico.

Figura 1: schema del problema.

Richiami teorici.

Il momento d’inerzia di un corpo rigido rispetto a un asse di rotazione è definito come:
(1) $\begin{equation*} I = \int r^2 \, dm, \end{equation*}$

dove $r$ è la distanza perpendicolare di un elemento di massa $dm$ dall’asse di rotazione.Per corpi rigidi con una distribuzione di massa discreta, il momento d’inerzia può essere calcolato come:

(2) $\begin{equation*} I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2, \end{equation*}$

dove $m_i$ è la massa di ciascun punto e $r_i$ è la distanza del punto $i$ -esimo dall’asse di rotazione.Per corpi rigidi con una distribuzione di massa continua, il momento d’inerzia può essere calcolato integrando su tutto il volume $V$ del corpo:

(3) $\begin{equation*} I = \int_{V} \rho(\vec{r}) r^2 \, dV, \end{equation*}$

dove $\rho(\vec{r})$ è la densità di massa nel punto di coordinate $\vec{r}$ .La forma esatta dell’integrale dipenderà dalla geometria del corpo e dalla densità della distribuzione di massa. In altri termini la precedente equazione potrebbe rappresentare un integrale triplo, doppio, di linea di prima specie o di superficie, a seconda di com’è distribuita la massa del corpo rigido in questione.
In un sistema di punti materiali, si verifica che la somma vettoriale delle forze interne si annulla, così come quella dei momenti interni. Tuttavia, è importante notare che le forze interne sono comunque in grado di compiere lavoro. Di conseguenza, nell’applicazione del teorema dell’energia cinetica, noto anche come teorema del lavoro-energia, per sistemi di punti materiali, è essenziale considerare anche il lavoro svolto dalle forze interne.
Le coordinate sferiche sono un sistema di coordinate curvilinee tridimensionali in cui la posizione di un punto nello spazio è rappresentata da tre coordinate: il raggio , l’angolo azimutale e l’angolo polare o zenitale .Le relazioni tra le coordinate cartesiane e le coordinate sferiche sono le seguenti:
$\begin{cases} x= \rho \sin \phi \cos \theta\\ y= \rho \sin \phi \sin \theta\quad \text{con}\,\,\rho >0,\theta \in [0,2\pi],\phi \in [0,\pi]\\ z= \rho \cos \phi, \end{cases}$

dove
- $r$ è la distanza dal punto all’origine,
- $\theta$ è l’angolo azimutale misurato nel piano $xy$ dall’asse positivo $x$ ,
- $\phi$ è l’angolo polare misurato dall’asse positivo $z$ verso il punto.
  
  Figura 2.
- Clicca qui per sapere di più sulle coordinate sferiche
In coordinate sferiche, una superficie sferica è rappresentata dai punti aventi un raggio costante $r$ , mentre gli angoli $\theta$ e $\phi$ variano. L’elemento di area $dS$ su una superficie sferica è dato da:
(4) $\begin{equation*} dS = r^2 \sin(\phi) \, d\phi \, d\theta \end{equation*}$

Pertanto, per calcolare l’integrale di superficie di $f$ su una superficie sferica in coordinate sferiche, si utilizza la seguente espressione:

(5) $\begin{equation*} \iint_S f(r, \theta, \phi) \, r^2 \sin(\phi) \, d\phi \, d\theta \end{equation*}$

dove $f(r, \theta, \phi)$ è la funzione espressa in coordinate sferiche, e $r$ , $\theta$ , e $\phi$ variano entro i limiti che definiscono la superficie $S$ .
La massa di un corpo rigido con una distribuzione di massa superficiale può essere definita integrando la densità di massa superficiale $\sigma$ su tutta la superficie $S$ del corpo. La densità di massa superficiale è definita come la massa per unità di area, e la massa totale $M$ è data dall’integrale di superficie di $\sigma$ su $S$ :
(6) $\begin{equation*} M = \iint_S \sigma \, dS \end{equation*}$

dove $dS$ rappresenta l’elemento infinitesimale di area sulla superficie del corpo.Se il corpo ha una forma semplice e $\sigma$ è uniforme, l’integrale può essere semplificato moltiplicando $\sigma$ per l’area totale della superficie $S$ :

(7) $\begin{equation*} M = \sigma \times \text{Area}(S) \end{equation*}$

Per corpi con forme più complesse o distribuzioni di massa non uniformi, l’integrale deve essere valutato considerando la variazione di $\sigma$ sulla superficie.