Esercizio corpo rigido 67

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Esercizio 67 $(\bigstar \bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Un disco con raggio $r$ e massa $M$ , posizionato orizzontalmente su un piano, ha la capacità di ruotare senza attrito attorno a un asse verticale che passa per il suo centro. Lungo il bordo del disco è attaccata una molla ideale di massa trascurabile e costante elastica $k$ , compressa di $\Delta \ell$ , la quale collega due corpi di massa $m_1$ e $m_2$ . I due corpi sono vincolati a muoversi lungo il bordo del disco, scivolando senza attrito. All’istante iniziale $t=0$ , la molla viene rilasciata: la massa $m_1$ rimane attaccata al disco, mentre la massa $m_2$ viene lanciata dalla molla. Quando la molla raggiunge la sua lunghezza di riposo, la massa $m_2$ raggiunge la velocità $\vec{v}_2$ di modulo $v_2$ rispetto ad un sistema di riferimento inerziale fisso con origine nel centro del disco.

Calcolare $v_2$ e il modulo $\omega$ della velocità angolare $\vec{\omega}$ del sistema composto dal disco e dalla massa $m_1$ .

Esprimere i risultati in funzione dei parametri del problema $\Delta\ell, k, M, m_1, m_2,$ e $r$ .

Nota: si
approssimino i due corpi come due punti materiali di massa $m_1$ ed $m_2$ posizionati sul bordo del disco e si consideri la lunghezza a riposo della molla inferiore al diametro del disco.

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Figura 1: sistema fisico in esame.

Svolgimento.

Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano fisso $Oxyz$ con l’origine $O$ al centro del disco, l’asse $x$ orientato tale per cui $m_1$ al tempo $t=0$ si trovi in corrispondenza dell’ascissa $x=r$ e l’asse $z$ coincidente con l’asse di rotazione del disco, come illustrato in figura 2. Il disco ruota nel piano $xy$ .

Consideriamo un sistema composto da un disco che ruota senza attrito attorno al proprio asse verticale e due corpi: il primo di massa $m_1$ fissato al suo bordo e il secondo di massa $m_2$ che può scorrere liberamente lungo il bordo del disco. I due corpi sono uniti da una molla ideale senza massa.

Sulla massa $m_1$ agiscono la forza peso $m_1\vec{g}$ , la reazione vincolare $\vec{N}_1$ in seguito al contatto tra $m_1$ ed il disco dovuto alla forza peso, la forza elastica $\vec{f}_{\text{el},1}$ in quanto la molla è compressa e le forze vincolari $\vec{R}$ e $\vec{R}_\text{rad,1}$ del disco che si oppongono alla forza elastica e tengono la massa incollata al bordo del disco. Infatti, ad un generico istante di tempo la forza elastica $\vec{f}_\text{el,1}$ possiede una componente radiale $\vec{f}_\text{el,rad,1}$ ed una tangenziale $\vec{f}_\text{el,tg,1}$ . Definiamo pertanto la forza vincolare tangenziale $\vec{R}$ quella che impedisce alla massa di scorrere lungo il bordo del disco, mentre la forza vincolare radiale $\vec{R}_\text{rad,1}$ quella che proibisce alla massa $m_1$ di muoversi radialmente. Complessivamente il vettore $\vec{R}+\vec{R}_\text{rad,1}=-\vec{f}_\text{el,1}$ . Le forze agenti su $m_1$ sono rappresentate in figura 2.

Sulla massa $m_2$ agiscono la forza peso $m_2\vec{g}$ , la reazione vincolare $\vec{N}_2$ in seguito al contatto con il disco dovuto alla forza peso, la forza elastica $\vec{f}_{\text{el},2}$ e la forza vincolare radiale $\vec{R}_\text{rad,2}$ che vincola la massa $m_2$ a muoversi lungo il bordo del disco e a non migrare radialmente rispetto ad esso. Come per $m_1$ anche la forza elastica $\vec{f}_{\text{el},2}$ è in generale costituita da una componente radiale $\vec{f}_\text{el,rad,2}$ ed una tangenziale $\vec{f}_\text{el,tg,2}$ . In questo caso però, la massa $m_2$ è libera di scorrere lungo il disco per cui non si sviluppa una reazione vincolare tangenziale (ossia un analogo di $\vec{R}$ per $m_2$ ). Le forze agenti su $m_2$ sono rappresentate in figura 2. Le masse $m_1$ ed $m_2$ sono vincolate a rimanere sul bordo del disco grazie alle reazioni vincolari $\vec{N}_1$ , $\vec{N}_2$ , $\vec{R}$ , $\vec{R}_\text{rad,1}$ e $\vec{R}_\text{rad,2}$ .

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In figura 3 sono rappresentate per maggior chiarezza le sole forze agenti sulle masse $m_1$ ed $m_2$ nel piano $xy$ . Si osservi come il vettore $\vec{R}$ è opposto al vettore $\vec{f}_\text{el,tg,1}$ , mentre $\vec{R}_\text{rad,1}$ controbilancia $\vec{f}_\text{el,rad,1}$ . Pertanto la massa $m_1$ è inchiodata sul bordo del disco. Invece, la forza vincolare $\vec{R}_\text{rad,2}$ controbilancia la sola componente radiale della forza elastica $\vec{f}_\text{el,rad,2}$ prevenendo la migrazione radiale di $m_2$ ma permettendole di muoversi lungo il bordo del disco sotto l’azione di $\vec{f}_\text{el,tg,2}$ .

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Sul disco di massa $M$ , in corrispondenza del suo centro di massa $O$ , agiscono la forza peso $M\vec{g}$ , la reazione vincolare $\vec{N}_M$ con il piano orizzontale, la forza vincolare $-\vec{R}$ , le forze vincolari $-\vec{R}_\text{rad,1}$ e $-\vec{R}_\text{rad,2}$ dovute al contatto con $m_1$ e $m_2$ rispettivamente nella direzione radiale (terzo principio della dinamica) e le reazioni vincolari $-\vec{N}_1$ e $-\vec{N}_2$ dovute al contatto con $m_1$ e $m_2$ rispettivamente nella direzione dell’asse $z$ (terzo principio della dinamica). Più precisamente, le forze $-\vec{R}, -\vec{R}_\text{rad,1}$ e $-\vec{N}_1$ sono applicate fisicamente nel punto di contatto tra il disco e $m_1$ mentre le forze $-\vec{R}_\text{rad,2}$ e $-\vec{N}_2$ sono applicate nel punto di contatto tra il disco e $m_2$ , ma per il vincolo di rigidità del disco tutti i suoi punti sentono la stessa forza, in particolare il centro di massa $O$ . Si osservi che la reazione vincolare $\vec{N}_M$ non solo permette al disco di non sprofondare lungo la verticale ma evita che esso trasli per effetto della reazione $-\vec{R}-\vec{R}_\text{rad,1}-\vec{R}_\text{rad,2}$ . Infatti $\vec{N}_M$ ha una componente lungo l’asse $z$ che si oppone alla forza peso totale del sistema $(M+m_1+m_2)\vec{g}$ \footnote{Visto che $m_{1,2}$ sono ferme, $\vec{N}_{1,2} = -m_{1,2}\vec{g}$ e $-\vec{N}_{1,2} = m_{1,2}\vec{g}$ . Di conseguenza, per garantire che il disco non trasli lungo la direzione $z$ dobbiamo imporre che $N_{M,z} = - (-N_1-N_2+Mg) = -(M+m_1+m_2)g$ , ossia $N_M$ è uguale a meno la somma delle tre forze peso dei corpi $m_1$ , $m_2$ e $M$ .} ed una componente nel piano $xy$ che si oppone alla forza vincolare $-\vec{R}-\vec{R}_\text{rad,1}-\vec{R}_\text{rad,2}$ .

Le forze agenti sul disco $M$ sono rappresentate in figura 2.

Al tempo $t=0$ , la molla compressa viene rilasciata, esercitando una forza su $m_1$ ed $m_2$ proporzionale alla sua compressione iniziale. Mentre $m_2$ si sposta lungo il bordo del disco a causa della forza della molla, $m_1$ rimane fissato al disco tramite la forza vincolare $\vec{R}$ . In base al terzo principio della dinamica, $m_1$ esercita una forza tangenziale $-\vec{R}$ sul disco, provocando così una rotazione del disco con una velocità angolare $\vec{\omega} = \omega \hat{z}$ , con $\omega$ che dipende dal tempo $t$ . Al tempo $t>0$ , le forze esterne al sistema in esame (disco, $m_1$ , $m_2$ e molla) sono le forze peso $M\vec{g},m_1\vec{g}$ e $m_2\vec{g}$ , e la reazione vincolare $\vec{N}_M$ . Le forze interne al sistema includono le forze elastiche $\vec{f}_{\text{el},1}$ e $\vec{f}_{\text{el},2}$ , le coppie di forze vincolari $(\vec{R},-\vec{R})$ , $(\vec{R}_{rad,1},-\vec{R}_{rad,1})$ e $(\vec{R}_{rad,2},-\vec{R}_{rad,2})$ e le coppie di reazioni vincolari $(\vec{N}_1,-\vec{N}_1)$ e $(\vec{N}_2,-\vec{N}_2)$ .

Si vuole adesso valutare la conservazione del momento angolare. Quindi applichiamo la seconda legge cardinale della dinamica sul sistema composto dal disco e dalle due masse. Considerando il punto $O$ come polo, secondo il diagramma di corpo libero in figura 2, notiamo che i momenti della reazione vincolare $\vec{N}_M$ e della forza peso $M\vec{g}$ sono nulli rispetto ad $O$ in quanto il braccio è nullo. Inoltre, osserviamo che tutte le altre forze esterne agenti sul sistema hanno vettore momento torcente diretto lungo il piano $xy$ ed inducono il disco a ruotare. Cioè il momento delle forze esterne al sistema fisico lungo l’asse delle $z$ è nullo, pertanto il momento angolare totale del sistema è conservato lungo l’asse delle $z$ .

Nella configurazione iniziale a $t=0$ , il disco è fermo e le masse $m_1$ ed $m_2$ sono immobili, quindi la componente $z$ del vettore momento angolare del sistema vale

(1) $\begin{equation*} L_\text{iniziale}=0. \end{equation*}$

Nella configurazione finale, quando la molla è in riposo, il disco ruota con velocità angolare $\vec{\omega}$ , e la massa $m_2$ segue un moto circolare centrato in $O$ con raggio $r$ e velocità periferica $\vec{v}_2$ mentre la massa $m_1$ è incollata al bordo del disco e si muove solidalmente con esso.

Quindi, la componente $z$ del vettore momento angolare del sistema nella configurazione finale vale

(2) $\begin{equation*} L_\text{finale}=I_1 \omega + m_2 r v_2, \end{equation*}$

dove $I_1\equiv \left (M/2 + m_1 \right ) r^2$ rappresenta il momento di inerzia del sistema composto dal disco e dalla massa $m_1$ , che è la somma dei momenti di inerzia del disco e della particella $m_1$ e $v_2$ corrisponde al modulo del vettore $\vec{v}_2$ .

\’E importante ricordare che questa legge di conservazione vale solo per la componente $z$ del momento angolare, e anche il momento d’inerzia $I_1$ è quello riferito all’asse $z$ .

Dalla conservazione del momento angolare otteniamo l’equazione:

(3) $\begin{equation*} L_\text{iniziale}=L_\text{finale} \quad \Leftrightarrow \quad 0=I_1 \omega + m_2 r v_2, \end{equation*}$

dove abbiamo impiegato le equazioni (1) e (2). Ricordiamo che $v_2$ rappresenta il modulo della velocità della massa $m_2$ rispetto al sistema di riferimento inerziale $Oxyz$ .

Risolvendo l’equazione (3), otteniamo

(4) $\begin{equation*} \omega= -\dfrac{m_2rv_2}{I_1}, \end{equation*}$

con il segno meno indicativo della rotazione oraria del disco.

Si può anche dimostrare la conservazione dell’energia meccanica del sistema fisico. Nessuno degli elementi di quest’ultimo si muove lungo l’asse $z$ , pertanto il lavoro compiuto su di essi dalle forze gravitazionali è nullo. Analogamente, il lavoro compiuto dalle reazioni vincolari $\vec{N}_1$ ed $\vec{N}_2$ su $m_1$ e $m_2$ è nullo, poiché sono perpendicolari agli spostamenti. Per lo stesso motivo le reazioni vincolari $-\vec{N}_1$ ed $-\vec{N}_2$ sul disco $M$ non compiono lavoro. La reazione vincolare $\vec{N}_M$ , oltre a mantenere il disco sul piano orizzontale non lo fa traslare, pertanto non compie lavoro.

Inoltre, la forza elastica $\vec{f}_{\text{el},1}$ e la reazione vincolare $\vec{R}$ fanno un lavoro complessivamente nullo. Anche le forze vincolari $-\vec{R}$ , $-\vec{R}_\text{rad,1}$ e $\vec{R}_\text{rad,2}$ compiono lavoro nullo, poiché il centro di massa del disco compie spostamento nullo. La forza elastica $\vec{f}_{\text{el},2}$ compie lavoro, poiché il corpo $m_2$ è libero di muoversi lungo il bordo del disco. Dato che la sola forza che compie lavoro nel sistema è la forza elastica $\vec{f}_{\text{el},2}$ , che è conservativa, e non ci sono forze di attrito presenti nel sistema, possiamo dedurre che l’energia meccanica dello stesso è costante.

Consideriamo la configurazione iniziale del sistema a $t=0$ , quando tutti i suoi elementi sono in quiete e la molla è compressa di $\Delta\ell$ . In questa configurazione, l’energia meccanica $E_\text{iniziale}$ è data da

(5) $\begin{equation*} E_\text{iniziale}=\dfrac{1}{2}k\left(\Delta\ell\right) ^2, \end{equation*}$

Nella configurazione finale del sistema, quando il disco, insieme al corpo $m_1$ ad esso attaccato, ruota con velocità angolare $\omega$ , la massa $m_2$ si muove lungo la circonferenza del disco con velocità periferica $v_2$ , e la molla è alla lunghezza di riposo, l’energia meccanica $E_\text{finale}$ è espressa come

(6) $\begin{equation*} E_\text{finale}=\dfrac{1}{2}I_1\omega^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2, \end{equation*}$

dove abbiamo utilizzato il fatto che l’energia è la somma dell’energia cinetica di $m_2$ con l’energia cinetica rotazionale $\dfrac{1}{2}I_1 \omega^2$ del sistema composto dal disco e dalla massa $m_1$ .

Applicando il principio di conservazione dell’energia tra la configurazione iniziale e quella finale, ricaviamo

(7) $\begin{equation*} E_\text{iniziale}=E_\text{finale} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{2}k\Delta\ell^2=\dfrac{1}{2}I_1\omega^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2 \quad \Leftrightarrow \quad k\Delta\ell^2=I_1\omega^2+m_2v_2^2, \end{equation*}$

dove nel primo passaggio abbiamo utilizzato le equazioni (5) e (6).

Sostituendo l’espressione di $\omega$ ottenuta nell’equazione (4) nell’equazione (7), otteniamo

(8) $\begin{equation*} m_2 v_2^2 + \dfrac{m_2^2r^2v_2^2}{I_1} = k (\Delta \ell)^2 \quad \Leftrightarrow \quad m_2 v_2^2 \frac{I_1 +m_2r^2}{I_1} = k (\Delta \ell)^2 \quad \Leftrightarrow \quad v_2 = \Delta \ell\sqrt{\frac{kI_1}{m_2(I_1 +m_2r^2)}}, \end{equation*}$

dove nella prima equivalenza abbiamo raccolto $m_2v_2^2$ e nella seconda abbiamo risolto rispetto a $v_2$ .

Sostituendo l’espressione $I_1= \left (M/2 + m_1 \right ) r^2$ nell’equazione (8), ricaviamo

(9) $\begin{equation*} v_2 = \Delta \ell\sqrt{\dfrac{k\left ( \dfrac{1}{2}M + m_1 \right )r^2}{m_2\left(\left ( \dfrac{1}{2}M + m_1 \right )r^2 +m_2r^2\right)}}=\Delta\ell\sqrt{\dfrac{k(M+2m_1)r^2}{m_2r^2(M+2m_1+2m_2)}}, \end{equation*}$

che può essere semplificato ulteriormente a

$\boxcolorato{fisica}{ v_2 = \Delta \ell\sqrt{\frac{k \left ( M + 2m_1 \right )}{m_2\left ( M + 2m_1 +2m_2 \right ) }}.}$

Infine, per calcolare l’espressione della velocità angolare $\omega$ , possiamo sostituire l’espressione appena ottenuta per $v_2$ nell’equazione (4), cioè

(10) $\begin{equation*} \omega=-\dfrac{m_2r}{I_1}\Delta \ell\sqrt{\frac{k \left ( M + 2m_1 \right )}{m_2\left ( M + 2m_1 +2m_2 \right ) }}=-\dfrac{2m_2r}{(M+2m_1)r^2}\Delta \ell\sqrt{\frac{k \left ( M + 2m_1 \right )}{m_2\left ( M + 2m_1 +2m_2 \right ) }}, \end{equation*}$

da cui il suo modulo vale

$\boxcolorato{fisica}{ \vert\omega\vert = \frac{\Delta \ell}{r} \frac{2 m_2}{(M+2m_1)}\sqrt{\frac{k \left ( M + 2m_1 \right )}{m_2\left ( M + 2m_1 +2m_2 \right ) }}.}$

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