Esercizio corpo rigido 67

Consideriamo un sistema composto da un disco che ruota senza attrito attorno al proprio asse verticale e due corpi: il primo di massa fissato al suo bordo e il secondo di massa che può scorrere liberamente lungo il bordo del disco. I due corpi sono uniti da una molla ideale senza massa.

Sulla massa agiscono la forza peso , la reazione vincolare in seguito al contatto tra ed il disco dovuto alla forza peso, la forza elastica in quanto la molla è compressa e le forze vincolari e del disco che si oppongono alla forza elastica e tengono la massa incollata al bordo del disco. Infatti, ad un generico istante di tempo la forza elastica possiede una componente radiale ed una tangenziale . Definiamo pertanto la forza vincolare tangenziale quella che impedisce alla massa di scorrere lungo il bordo del disco, mentre la forza vincolare radiale quella che proibisce alla massa di muoversi radialmente. Complessivamente il vettore . Le forze agenti su sono rappresentate in figura 2.

Sulla massa agiscono la forza peso , la reazione vincolare in seguito al contatto con il disco dovuto alla forza peso, la forza elastica e la forza vincolare radiale che vincola la massa a muoversi lungo il bordo del disco e a non migrare radialmente rispetto ad esso. Come per anche la forza elastica è in generale costituita da una componente radiale ed una tangenziale . In questo caso però, la massa è libera di scorrere lungo il disco per cui non si sviluppa una reazione vincolare tangenziale (ossia un analogo di per ). Le forze agenti su sono rappresentate in figura 2. Le masse ed sono vincolate a rimanere sul bordo del disco grazie alle reazioni vincolari , , , e .

In figura 3 sono rappresentate per maggior chiarezza le sole forze agenti sulle masse ed nel piano . Si osservi come il vettore è opposto al vettore , mentre controbilancia . Pertanto la massa è inchiodata sul bordo del disco. Invece, la forza vincolare controbilancia la sola componente radiale della forza elastica prevenendo la migrazione radiale di ma permettendole di muoversi lungo il bordo del disco sotto l’azione di .

Sul disco di massa , in corrispondenza del suo centro di massa , agiscono la forza peso , la reazione vincolare con il piano orizzontale, la forza vincolare , le forze vincolari e dovute al contatto con e rispettivamente nella direzione radiale (terzo principio della dinamica) e le reazioni vincolari e dovute al contatto con e rispettivamente nella direzione dell’asse (terzo principio della dinamica). Più precisamente, le forze e sono applicate fisicamente nel punto di contatto tra il disco e mentre le forze e sono applicate nel punto di contatto tra il disco e , ma per il vincolo di rigidità del disco tutti i suoi punti sentono la stessa forza, in particolare il centro di massa . Si osservi che la reazione vincolare non solo permette al disco di non sprofondare lungo la verticale ma evita che esso trasli per effetto della reazione . Infatti ha una componente lungo l’asse che si oppone alla forza peso totale del sistema \footnote{Visto che sono ferme, e . Di conseguenza, per garantire che il disco non trasli lungo la direzione dobbiamo imporre che , ossia è uguale a meno la somma delle tre forze peso dei corpi , e .} ed una componente nel piano che si oppone alla forza vincolare .

Le forze agenti sul disco sono rappresentate in figura 2.

Al tempo , la molla compressa viene rilasciata, esercitando una forza su ed proporzionale alla sua compressione iniziale. Mentre si sposta lungo il bordo del disco a causa della forza della molla, rimane fissato al disco tramite la forza vincolare . In base al terzo principio della dinamica, esercita una forza tangenziale sul disco, provocando così una rotazione del disco con una velocità angolare , con che dipende dal tempo . Al tempo , le forze esterne al sistema in esame (disco, , e molla) sono le forze peso e , e la reazione vincolare . Le forze interne al sistema includono le forze elastiche e , le coppie di forze vincolari , e e le coppie di reazioni vincolari e .

Si vuole adesso valutare la conservazione del momento angolare. Quindi applichiamo la seconda legge cardinale della dinamica sul sistema composto dal disco e dalle due masse. Considerando il punto come polo, secondo il diagramma di corpo libero in figura 2, notiamo che i momenti della reazione vincolare e della forza peso sono nulli rispetto ad in quanto il braccio è nullo. Inoltre, osserviamo che tutte le altre forze esterne agenti sul sistema hanno vettore momento torcente diretto lungo il piano ed inducono il disco a ruotare. Cioè il momento delle forze esterne al sistema fisico lungo l’asse delle è nullo, pertanto il momento angolare totale del sistema è conservato lungo l’asse delle .

Nella configurazione iniziale a , il disco è fermo e le masse ed sono immobili, quindi la componente del vettore momento angolare del sistema vale

(1)  

Nella configurazione finale, quando la molla è in riposo, il disco ruota con velocità angolare , e la massa segue un moto circolare centrato in con raggio e velocità periferica mentre la massa è incollata al bordo del disco e si muove solidalmente con esso.

Quindi, la componente del vettore momento angolare del sistema nella configurazione finale vale

(2)  

dove rappresenta il momento di inerzia del sistema composto dal disco e dalla massa , che è la somma dei momenti di inerzia del disco e della particella e corrisponde al modulo del vettore .

\’E importante ricordare che questa legge di conservazione vale solo per la componente del momento angolare, e anche il momento d’inerzia è quello riferito all’asse .

Dalla conservazione del momento angolare otteniamo l’equazione:

(3)  

dove abbiamo impiegato le equazioni (1) e (2). Ricordiamo che rappresenta il modulo della velocità della massa rispetto al sistema di riferimento inerziale .

Risolvendo l’equazione (3), otteniamo

(4)  

con il segno meno indicativo della rotazione oraria del disco.

Si può anche dimostrare la conservazione dell’energia meccanica del sistema fisico. Nessuno degli elementi di quest’ultimo si muove lungo l’asse , pertanto il lavoro compiuto su di essi dalle forze gravitazionali è nullo. Analogamente, il lavoro compiuto dalle reazioni vincolari ed su e è nullo, poiché sono perpendicolari agli spostamenti. Per lo stesso motivo le reazioni vincolari ed sul disco non compiono lavoro. La reazione vincolare , oltre a mantenere il disco sul piano orizzontale non lo fa traslare, pertanto non compie lavoro.

Inoltre, la forza elastica e la reazione vincolare fanno un lavoro complessivamente nullo. Anche le forze vincolari , e compiono lavoro nullo, poiché il centro di massa del disco compie spostamento nullo. La forza elastica compie lavoro, poiché il corpo è libero di muoversi lungo il bordo del disco. Dato che la sola forza che compie lavoro nel sistema è la forza elastica , che è conservativa, e non ci sono forze di attrito presenti nel sistema, possiamo dedurre che l’energia meccanica dello stesso è costante.

Consideriamo la configurazione iniziale del sistema a , quando tutti i suoi elementi sono in quiete e la molla è compressa di . In questa configurazione, l’energia meccanica è data da

(5)  

Nella configurazione finale del sistema, quando il disco, insieme al corpo ad esso attaccato, ruota con velocità angolare , la massa si muove lungo la circonferenza del disco con velocità periferica , e la molla è alla lunghezza di riposo, l’energia meccanica è espressa come

(6)  

dove abbiamo utilizzato il fatto che l’energia è la somma dell’energia cinetica di con l’energia cinetica rotazionale del sistema composto dal disco e dalla massa .

Applicando il principio di conservazione dell’energia tra la configurazione iniziale e quella finale, ricaviamo

(7)  

dove nel primo passaggio abbiamo utilizzato le equazioni (5) e (6).

Sostituendo l’espressione di ottenuta nell’equazione (4) nell’equazione (7), otteniamo

(8)  

dove nella prima equivalenza abbiamo raccolto e nella seconda abbiamo risolto rispetto a .

Sostituendo l’espressione nell’equazione (8), ricaviamo

(9)  

che può essere semplificato ulteriormente a

Infine, per calcolare l’espressione della velocità angolare , possiamo sostituire l’espressione appena ottenuta per nell’equazione (4), cioè

(10)  

da cui il suo modulo vale

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