Esercizi sul moto circolare

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sul moto circolare, uno degli argomenti centrali nei programmi di Meccanica dei corsi di Fisica 1. I moti circolari possono verificarsi infatti in tutti i fenomeni fisici in cui un campo di forze attrae centralmente i corpi circostanti.
In questo articolo presentiamo 11 esercizi completamente risolti su questo tema; il materiale è particolarmente indicato per studenti dei corsi di Fisica 1 per la preparazione degli esami e per appassionati che desiderano avere una panoramica varia sull’argomento.

Moto circolare: ulteriori risorse

Oltre all’esaustiva lista alla fine dell’articolo, segnaliamo le raccolte di esercizi su argomenti correlati:

Evidenziamo anche i seguenti articoli teorici:

Sommario

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Questa dispensa raccoglie undici esercizi svolti riguardanti il moto circolare, concepiti specificamente per studenti universitari dei corsi di laurea in ingegneria, matematica e fisica, così come per coloro che desiderano avvicinarsi per la prima volta a tale argomento. Gli esercizi proposti mirano a consolidare la comprensione teorica e l’applicazione pratica delle leggi del moto circolare, un concetto fondamentale in fisica 1.

Per affrontare con successo tali esercizi è richiesta una solida conoscenza delle tecniche matematiche affrontate nei corsi di Analisi 1 [1, 2, 3, 4], con particolare riferimento ai concetti di derivazione e integrazione. Le competenze acquisite in tale ambito risultano essenziali per la risoluzione dei problemi proposti, i quali presuppongono una comprensione approfondita delle relazioni cinematiche che governano il moto circolare.

Si auspica che gli esercizi proposti rappresentino uno stimolo intellettuale e costituiscano un valido supporto didattico nel percorso formativo degli studenti.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Christian Magliano.

Revisore: Andrea Corradini.

Introduzione al moto circolare

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Gli esercizi proposti coprono una vasta gamma di problematiche, dai quesiti introduttivi, utili per consolidare la comprensione dei concetti fondamentali del moto circolare uniforme e non uniforme, fino a esercizi più complessi, che richiedono l’applicazione di principi avanzati e tecniche di calcolo più sofisticate.

In particolare, gli Esercizi 1, 2 e 3 affrontano nello specifico due tipologie di moto circolare: quello uniforme e quello uniformemente accelerato. A partire dall’Esercizio 4, il lettore sarà chiamato a risolvere problemi di moto circolare con variazioni più articolate, che in alcuni casi si riconducono ai moti studiati in precedenza.

La teoria sul moto circolare: brevi richiami

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Un corpo $P$ si muove di moto circolare quando il suo moto avviene lungo una traiettoria circolare. Il raggio della circonferenza è $R$ e il suo centro è detto $O$ . Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso $Ox$ orientato come in figura 1 (a). Sia $\theta$ l’angolo che spazza il corpo che si muove di moto circolare rispetto all’asse delle $x$ , come rappresentato nella figura 1 (a). Definiamo $\dot{\theta}$ e $\ddot{\theta}$ rispettivamente velocità angolare e accelerazione angolare e le etichettiamo rispettivamente come $\omega$ e $\alpha$ , cioè

(1) $\begin{equation*} \omega(t) \coloneqq \dot{\theta}(t), \quad \alpha(t) \coloneqq \ddot{\theta}(t) \qquad \forall t \geq 0. \end{equation*}$

Si ha quindi $\dot{\omega}(t)=\alpha(t)$ per ogni $t \geq 0$ .

Se il corpo si muove in senso antiorario l’angolo $\theta>0$ , la velocità angolare $\omega>0$ e l’accelerazione angolare è $\alpha>0$ se il corpo accelera, $\alpha<0$ se decelera.

Se invece si muove in senso orario, vale l’opposto, cioé: l’angolo $\theta<0$ , la velocità angolare $\omega<0$ e l’accelerazione angolare è $\alpha<0$ se il corpo accelera, $\alpha>0$ se decelera.

I vettori $\vec{\omega}(t)$ e $\vec{\alpha}(t)$ al generico istante di tempo $t$ sono rappresentati in figura 1 (c) e si individuano mediante la regola della mano destra: le dita della mano si chiudono nel verso in cui si muove il corpo, il pollice indica il verso del vettore $\vec{\omega}(t)$ . Il verso di $\vec{\alpha}(t)$ è concorde a quello di $\vec{\omega}(t)$ se il corpo sta accelerando, viceversa se il corpo sta decelerando.

Moto circolare vario.

Definiamo all’istante $t$ un sistema di riferimento $O'tn$ tangente-normale, con origine $O'$ in corrispondenza del punto $P$ , l’asse delle $t$ tangente alla circonferenza e l’asse delle $n$ ad esso ortogonale ed orientati come in figura 1 (d). L’accelerazione nel moto circolare, rispetto a $O'tn$ si può esprimere come

(2) $\begin{equation*} \vec{a}(t) = -\omega^2(t) R\, \hat{n}(t) + \alpha(t) R\, \hat{t}(t) \qquad \forall t \geq 0, \end{equation*}$

dove $\hat{n}(t)$ è il versore normale alla circonferenza diretto verso l’esterno, mentre $\hat{t}(t)$ è il versore tangente alla circonferenza orientato in senso antiorario, come illustrato in figura 1 (d). Si definisce

(3) $\begin{equation*} a_n(t)\coloneqq -\omega^2(t) R, \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} a_t(t)\coloneqq\alpha(t) R, \end{equation*}$

rispettivamente accelerazione normale e accelerazione tangenziale all’istante $t$ .

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Figura 1: rappresentazione dei sistemi di riferimento usati e dei vettori velocità e accelerazione.

Moto uniformemente accelerato.

Un moto circolare è detto uniformemente accelerato se $\vec{\alpha}$ è costante in modulo, direzione e verso, ossia $\vec{\alpha}=\text{costante}$ .

Siano $t_0$ e $\theta(t_0)$ rispettivamente l’istante di tempo in cui ha inizio il moto e l’angolo iniziale che il corpo forma con l’orizzontale, come illustrato in figura 1 (a). Le leggi che descrivono il moto circolare uniformemente accelerato del punto materiale sono

(5) $\begin{equation*} \begin{cases} \theta(t)=\theta(t_0)+\omega(t_0)(t-t_0)+\dfrac{1}{2}\alpha(t-t_0)^2\\[10pt] \omega(t)=\omega(t_0)+\alpha(t-t_0)\\[10pt] \omega^2(\theta)=\omega^2(\theta_0)+2\alpha(\theta-\theta(t_0)) \end{cases} \forall t\geq t_0, \end{equation*}$

dove $\theta(t)$ è l’angolo che spazza il corpo rispetto all’orizzontale nel generico istante $t\geq t_0$ , $\theta(t_0)\equiv \theta_0$ è l’angolo che spazza il corpo rispetto all’orizzontale all’istante $t_0$ , $\omega(t_0)$ è la velocità angolare iniziale al tempo iniziale, $\omega(\theta)$ è la velocità angolare in funzione dell’angolo $\theta$ , $\omega(\theta_0)$ è la velocità angolare valutata in $\theta_0$ . Si noti che poiché all’istante $t_0$ il punto $P$ forma un angolo $\theta_0$ con l’asse delle $x$ , allora segue che $\omega(t_0)=\omega(\theta_0)$

Definiamo all’istante $t$ un sistema di riferimento $O'tn$ tangente-normale, con origine $O'$ in corrispondenza del punto $P$ , l’asse delle $t$ tangente alla circonferenza e l’asse delle $n$ ad esso ortogonale ed orientato come in figura 2. L’accelerazione nel moto circolare, rispetto a $O'tn$ si può esprimere come

(6) $\begin{equation*} \vec{a}(t)=-\omega^2(t) R\,\hat{n}+\alpha R\,\hat{t}, \end{equation*}$

dove $\hat{n}$ e $\hat{t}$ rappresentano rispettivamente il versore nella direzione normale e tangenziale al moto del corpo, come illustrato in figura 2. Osserviamo che in questo caso, a differenza del moto circolare vario i due versori $\hat{n}$ e $\hat{t}$ non dipendono dal tempo $t$ . Si definiscono

(7) $\begin{equation*} a_n(t)\coloneqq -\omega^2(t) R, \end{equation*}$

(8) $\begin{equation*} a_t\coloneqq\alpha R, \end{equation*}$

rispettivamente accelerazione normale e accelerazione tangenziale del moto circolare uniformemente accelerato.

Si osservi che nel moto circolare uniformemente accelerato l’accelerazione tangenziale è costante per definizione, per cui il modulo $\vert \vec{a}(t)\vert$ dell’accelerazione varia a causa del solo contributo dell’accelerazione normale, perché $\omega$ varia istante per istante.

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Figura 2: vettore velocità $\vec{v}(t)$ ed accelerazione $\vec{a}(t)=\vec{a}_t+\vec{a}_n$ ad un generico istante $t$ .

Sapendo che la lunghezza dell’arco di circonferenza percorso dal punto materiale nel generico istante $t\geq t_0$ vale

(9) $\begin{equation*} s(t)=R\,\theta(t), \end{equation*}$

si ha che

(10) $\begin{equation*} \dot{s}(t)=v(t)=\dot{\theta}(t)R=\omega(t) R, \end{equation*}$

dove $v(t)$ è il modulo della la velocità tangenziale.

Di conseguenza è possibile riscrivere l’equazione (6) come segue

(11) $\begin{equation*} \vec{a}(t)= -\dfrac{v^2(t)}{R}\,\hat{n}+\alpha R\,\hat{t}. \end{equation*}$

Derivando ambo i membri dell’equazione (10) rispetto al tempo otteniamo

(12) $\begin{equation*} \ddot{s}(t)=\dfrac{d\dot{s}(t)}{dt}=\dfrac{dv(t)}{dt}=\ddot{\theta}(t)R=\alpha R. \end{equation*}$

Grazie alla precedente equazione è possibile riscrivere (6) come segue

(13) $\begin{equation*} \vec{a}(t)= -\dfrac{v^2(t)}{R}\,\hat{n}+\dfrac{dv(t)}{dt}\,\hat{t}. \end{equation*}$

Avvalendoci dei precedenti fatti, ovvero che $v(t)=\omega(t) R$ e $a_t=\alpha R$ , moltiplicando per $R$ ambo i membri le prime due equazioni del sistema (5) e per $R^2$ ambo i membri l’ultima equazione del sistema (5), si ottiene

(14) $\begin{equation*} \begin{cases} s(t)=s(t_0)+v(t_0)(t-t_0)+\dfrac{1}{2}a_t(t-t_0)^2\\[10pt] v(t)=v(t_0)+a_t(t-t_0)\\[10pt] v^2(\theta)=v^2(\theta_0)+2a_t(s(\theta)-s(\theta_0)) \end{cases} \forall t\geq t_0, \end{equation*}$

dove $s(t_0)$ rappresenta la lunghezza dell’arco di circonferenza percorso dal punto al tempo iniziale $t_0$ , $v(t_0)$ è la velocità all’istante $t_0$ , $v(\theta)$ è la velocità tangenziale del punto $P$ in funzione dell’angolo $\theta$ , $v(\theta_0)$ corrisponde alla velocità tangenziale del punto all’angolo iniziale $\theta_0$ , $s(\theta)$ descrive la lunghezza dell’arco di circonferenza percorso dal punto in relazione all’angolo $\theta$ , e $s(\theta_0)$ denota la lunghezza dell’arco di circonferenza al quale si trova il punto $P$ quando il raggio $R$ forma un angolo $\theta_0$ con l’orizzontale.

Moto circolare – Testi e soluzioni degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un punto si muove di moto circolare uniforme attorno ad un polo fisso $O$ e a una distanza $R$ da esso. All’istante $t=0$ , il punto materiale ha velocità angolare iniziale $\omega_0$ .
Successivamente, inizia a decelerare con accelerazione angolare costante $\alpha < 0$ e si ferma dopo aver percorso un giro completo.

Si richiede di calcolare:

Il tempo $t^*$ impiegato dal punto materiale per compiere un giro completo ( $s=2\pi R$ ), in funzione del parametro $\omega_0$ ;
Il modulo della decelerazione del punto al tempo $t=t^*/2$ , in funzione dei parametri $\omega_0$ e $R$ .

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Un punto materiale si muove di moto circolare attorno a un polo fisso O con raggio R. La figura mostra un cerchio con il centro O e un punto sulla circonferenza che si muove in senso antiorario. Una freccia indica la direzione del moto, mentre una linea tratteggiata collega il centro O al punto, rappresentando il raggio R.

Figura 3: sistema fisico in esame.

Svolgimento punto 1.

Nel problema in esame, il punto materiale ha una velocità angolare iniziale $\omega_0$ e inizia a decelerare con un’accelerazione angolare costante $\alpha<0$ . Consideriamo $t_0=0$ come l’istante in cui il corpo inizia a decelerare uniformemente fino a fermarsi all’istante $t^*$ dopo aver percorso un giro completo.

Sfruttando le notazione introdotte nei richiami teorici, nel problema in esame, abbiamo

(15) $\begin{equation*} \theta(t_0)=\theta(0)=0, \end{equation*}$

(16) $\begin{equation*} \omega(t_0)=\omega(0)=\omega_0, \end{equation*}$

di conseguenza, nel contesto specifico, il sistema (5) si semplifica a

(17) $\begin{equation*} \begin{cases} \theta(t)=\omega_0 t+\dfrac{1}{2}\alpha t^2\\\\ \omega(t)=\omega_0+\alpha t \end{cases} \qquad\forall t\in [0,t^*]. \end{equation*}$

In corrispondenza dell’istante $t=t^*>0$ sappiamo che il corpo si arresta dopo aver percorso un giro completo, $\theta(t^*)=2\pi$ , per cui dal sistema (17) segue che

(18) $\begin{equation*} \begin{cases} \theta(t^*)=2\pi\\ \omega(t^*)=0 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} \omega_0 t^{*}+\dfrac{1}{2}\alpha t^{*2}=2\pi\\[10pt] \omega_0+\alpha t^*=0. \end{cases} \end{equation*}$

Dalla seconda equazione del sistema (18) ricaviamo che il corpo decelera con decelerazione angolare costante pari a

(19) $\begin{equation*} \alpha=-\dfrac{\omega_0}{t^*}, \end{equation*}$

che sostituita nella prima equazione dello stesso sistema restituisce

(20) $\begin{equation*} \omega_0t^{*}-\dfrac{1}{2}\dfrac{\omega_0}{t^*}t^{*2}=2\pi\quad\Leftrightarrow\quad \omega_0t^{*}-\dfrac{\omega_0}{2}t^{*}=2\pi\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\omega_0}{2}t^{*}=2\pi, \end{equation*}$

da cui ricaviamo che il tempo $t^*$ che impiega il corpo per fermarsi è pari a

$\boxcolorato{fisica}{ t^*=\dfrac{4\pi}{\omega_0}. }$

Osserviamo che il tempo $t^*$ appena ottenuto è inversamente proporzionale alla velocità angolare iniziale $\omega_0$ in accordo con quanto ci si aspetta intuitivamente.

Svolgimento punto 2.

Durante l’intervallo di tempo $[0, t^*]$ , il corpo subisce una decelerazione uniforme, compiendo un moto circolare uniformemente decelerato con accelerazione angolare costante $\alpha < 0$ . Per calcolare il modulo della decelerazione del punto al tempo $t^*/2$ , è sufficiente utilizzare l’equazione (6), ovvero

(21) $\begin{equation*} \vert\vec{a}(t^*/2)\vert=\sqrt{\omega^4(t^*/2)R^2+\alpha^2R^2}=R\sqrt{\omega^4(t^*/2)+\alpha^2}. \end{equation*}$

Quindi, per ottenere l’espressione di $\omega$ all’istante $t=t^*/2$ , utilizziamo la seconda equazione del sistema (17), ottenendo

(22) $\begin{equation*} \omega(t^*/2)=\omega_0+\alpha\dfrac{t^*}{2}=\omega_0-\dfrac{\omega_0}{t^*}\dfrac{t^*}{2}=\dfrac{\omega_0}{2}, \end{equation*}$

dove nel secondo passaggio abbiamo utilizzato l’espressione di $\alpha$ ricavata all’equazione (19).

Sostituendo le espressioni di $\omega(t^*/2)$ ed $\alpha$ ottenute rispettivamente dalle equazioni (22) e (19) nell’equazione (21), risulta che

(23) $\begin{equation*} \vert\vec{a}(t^*/2)\vert=R\sqrt{\dfrac{\omega_0^4}{16}+\dfrac{\omega_0^2}{(t^*)^2}}=R\sqrt{\dfrac{\omega_0^4}{16}+\omega_0^2\dfrac{\omega_0^2}{16\pi^2}}, \end{equation*}$

dove nel secondo passaggio abbiamo utilizzato l’espressione di $t^*$ ottenuta al punto 1.

L’equazione (23) può essere riscritta come

(24) $\begin{equation*} \vert\vec{a}(t^*/2)\vert=R\sqrt{\dfrac{\omega_0^4}{16\pi^2}(\pi^2+1)}, \end{equation*}$

da cui

$\boxcolorato{fisica}{ \vert \vec{a}(t^*/2)\vert=\dfrac{\omega_0^2R}{4\pi}\sqrt{1+\pi^2}.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un punto si muove lungo una circonferenza di raggio $R$ in senso antiorario. Esso parte da fermo dalla posizione $A$ ( $\theta=0$ ) con velocità angolare iniziale nulla e fino ad una seconda posizione $B$ ( $\theta=3\pi/2$ ) si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione angolare $\alpha>0$ .

Dopo aver raggiunto la posizione $B$ il corpo frena uniformemente (con accelerazione diversa rispetto al tratto $AB$ ), continuando il moto sulla circonferenza fino a fermarsi in $A$ .

Calcolare:

il tempo $t_B$ impiegato dal corpo per andare dal punto $A$ al punto $B$ della circonferenza;
il modulo dell’accelerazione centripeta in $B$ ;
il modulo dell’accelerazione tangenziale del corpo per andare dal punto $B$ al punto $A$ della circonferenza.

Esprimere i risultati in funzione dei parametri del problema $\alpha$ e $R$ .

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Figura 4: sistema fisico in esame.

Svolgimento punto 1.

Senza ledere la generalità della trattazione, scegliamo come zero della variabile angolare $\theta$ quella relativa alla posizione del punto $A$ rispetto al centro della circonferenza $O$ , ossia $\theta_0=\theta_A=0$ , come illustrato in figura 5

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Figura 5: configurazione del sistema quando il corpo si trova in un generico punto $\displaystyle P$ .

Nel tratto per andare dal punto $A$ al punto $B$ , il corpo, partendo da fermo ( $\omega_0=0$ ) nel punto $A$ ( $\theta_0=0$ ), si muove di moto circolare uniformemente accelerato la cui legge oraria è data dalla prima equazione del sistema (5), ossia

(25) $\begin{equation*} \theta(t)=\dfrac{1}{2}\alpha t^2\qquad\forall t\in[0,t_B], \end{equation*}$

dove $t_B$ è l’istante in cui il corpo raggiunge il punto $B$ . In corrispondenza di tale istante si ha che

(26) $\begin{equation*} \theta(t_B)=\dfrac{3}{2}\pi. \end{equation*}$

Sostituendo l’espressione di $\theta(t_B)$ data dall’equazione (26) nell’equazione (25), ricaviamo

(27) $\begin{equation*} \dfrac{3}{2}\pi=\dfrac{1}{2}\alpha t_B^2, \end{equation*}$

da cui otteniamo che il tempo impiegato dal corpo per percorrere l’arco di circonferenza $AB$ è pari a

$\boxcolorato{fisica}{ t_B=\sqrt{\dfrac{3\pi}{\alpha}}.}$

Osserviamo che, coerentemente con le aspettative, il corpo impiega meno tempo per raggiungere il punto $B$ dal punto $A$ all’aumentare dell’accelerazione angolare.

Svolgimento punto 2.

Dall’equazione (7), la componente centripeta $a_n$ dell’accelerazione del corpo nel punto $B$ è data da

(28) $\begin{equation*} a_n(t_B)=-\omega^2(t_B)R, \end{equation*}$

dove $\omega(t_B)$ rappresenta la velocità angolare in corrispondenza dell’istante $t_B$ . Dalla seconda equazione del sistema (5), avendo posto l’origine dei tempi in $t_0=0$ e ricordando che $\omega_0=0$ si ha che all’istante $t_B$ la velocità angolare del corpo vale

(29) $\begin{equation*} \omega(t_B)=\alpha t_B=\alpha\sqrt{\dfrac{3\pi}{\alpha}}=\sqrt{3\pi\alpha}, \end{equation*}$

dove abbiamo sostituito l’espressione di $t_B$ calcolata al punto 1. Sostituendo l’espressione di $\omega(t_B)$ , ottenuta all’equazione (29), nell’equazione (28) ricaviamo che la componente centripeta dell’accelerazione del corpo nel punto $B$ vale

(30) $\begin{equation*} a_n(t_B)=-3\pi\alpha R, \end{equation*}$

per cui il suo modulo $\vert a_n(t_B) \vert$ è dato da

$\boxcolorato{fisica}{ \vert a_n(t_B) \vert=3\pi\alpha R.}$

Svolgimento punto 3.

Nel percorrere la distanza dal punto $B$ al punto $A$ , dove il corpo si ferma, esso compie un moto circolare uniformemente decelerato. Dall’equazione (8), la componente tangenziale $a_t$ dell’accelerazione del corpo in questo tratto è data da

(31) $\begin{equation*} a_t = \alpha'R\qquad \forall t\in(t_B,t_*), \end{equation*}$

dove $\alpha'$ rappresenta la decelerazione angolare del corpo nel passaggio da $B$ a $A$ e $t_*$ indica il tempo in cui il corpo si arresta. Come discusso nei richiami teorici, poiché il corpo sta decelerando muovendosi in senso antiorario ci aspettiamo che $a_t<0$ .

Utilizzando la terza equazione del sistema (5), ponendo $\theta_0=\theta_B$ , si ottiene che nell’arco di circonferenza $BA$

(32) $\begin{equation*} \omega^2(\theta) = \omega^2(\theta_B) + 2\alpha'(\theta-\theta_B)\qquad\forall \theta\in \left[\dfrac{3}{2}\pi,2\pi\right], \end{equation*}$

dove $\theta(t_B)\equiv\theta_B=3\pi/2$ , e osserviamo che $\omega(\theta_B)=\omega(t_B)$ .

Valutando l’equazione (32) quando il corpo raggiunge il punto $A$ (quindi $\theta_A=2\pi$ ) con velocità angolare $\omega(\theta_A)=0$ , ricaviamo

(33) $\begin{equation*} \omega^2(\theta_A) = \omega^2(\theta_B) + 2\alpha'(\theta_A-\theta_B) \quad\Leftrightarrow\quad 0 = \omega^2(\theta_B) + 2\alpha'\left(2\pi-\dfrac{3}{2}\pi\right) \quad\Leftrightarrow\quad 0 = \omega^2(\theta_B) + \pi\alpha', \end{equation*}$

da cui, esplicitando rispetto alla decelerazione angolare $\alpha'$ , otteniamo

(34) $\begin{equation*} \alpha' = -\dfrac{\omega^2(\theta_B)}{\pi} = -\dfrac{3\pi\alpha}{\pi} = -3\alpha, \end{equation*}$

dove nel secondo passaggio abbiamo sostituito il valore di $\omega(\theta_B)=\omega(t_B)$ dato dall’equazione (29).

Sostituendo l’espressione di $\alpha'$ ottenuta all’equazione (34) nella definizione della componente tangenziale (eq.(31)) dell’accelerazione, otteniamo che quest’ultima vale

(35) $\begin{equation*} a_t = -3\alpha R, \end{equation*}$

da cui il suo modulo è pari a

$\boxcolorato{fisica}{\vert a_t\vert = 3\alpha R. \nonumber }$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un punto materiale si muove lungo una semicirconferenza $ACB$ di raggio $R$ con moto circolare uniformemente accelerato. I punti $A$ e $B$ rappresentano rispettivamente l’inizio e la fine della semicirconferenza, mentre $C$ è il punto centrale (si veda la figura 6). Inizialmente, il corpo ha una velocità di modulo $v_A$ in $A$ , mentre in $B$ la sua velocità si annulla ( $v_B=0$ ). Dall’estremo $B$ , il punto materiale ritorna ad $A$ seguendo una traiettoria rettilinea uniformemente accelerata lungo il diametro della semicirconferenza. Il tempo necessario per percorrere la semicirconferenza da $A$ a $B$ , indicato con $t_{ACB}$ , è equivalente al tempo $t_{BA}$ impiegato dal corpo nel tragitto dal punto $B$ al punto $A$ attraverso il diametro della semicirconferenza.

Calcolare:

l’accelerazione tangenziale del corpo nel tratto $ACB$ in funzione di $v_A$ ed $R$ ;
il tempo $t_{ACB}$ in funzione di $v_A$ ed $R$ ;
il modulo dell’accelerazione in $C$ in funzione di $v_A$ ed $R$ ;
l’accelerazione lungo il diametro $BA$ in funzione di $v_A$ ed $R$ .

Esprimere i risultati utilizzando i parametri del problema $v_A$ e $R$ .

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Figura 6: sistema fisico in esame.

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