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Esercizio sul momento di inerzia – 9

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Esercizio sul momento di inerzia – 9

In questo nono articolo della raccolta di esercizi sul momento di inerzia presentiamo il calcolo del momento di inerzia di una lamina circolare sottile avente densità variabile. Segnaliamo anche il precedente esercizio sul momento di inerzia – 8 sul calcolo del momento di inerzia di un paraboloide e il successivo esercizio sul momento di inerzia – 10 per il calcolo del momento di inerzia di una lamina ellittica sottile avente densità variabile.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 9 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Data una lamina piana circolare sottile di raggio R, calcolarne il momento d’inerzia rispetto a un asse passante per il centro e perpendicolare alla lamina, nell’ipotesi che la densità sia proporzionale al cubo della distanza dal centro stesso; esprimere il risultato trovato in termini della massa m della lamina.

 

Richiamiamo brevemente i principali risultati teorici utilizzati nell’esercizio.

Richiami teorici.

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Ciò è evidente nella legge della dinamica rotazionale

(1)   \begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}}=I \vec{\alpha}, \end{equation*}

dove \vec{M}^{\text{ext}} è il momento risultante delle forze esterne applicate al corpo, rispetto a un asse fissato, e \vec{\alpha} è l’accelerazione angolare del corpo considerato rispetto allo stesso asse. Il ruolo di I è quindi molto simile a quello della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(2)   \begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}

dove \vec{F} è la forza risultante applicata al corpo, e \vec{a} è la sua accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali rispetto ad un asse fissato è dato da

(3)   \begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i, \end{equation*}

dove m_i e r_i rappresentano rispettivamente la massa e la distanza dall’asse di rotazione dell’i-esimo punto materiale. È importante considerare che il momento d’inerzia dipende dalle distanze dall’asse di rotazione, ed al variare dell’asse rispetto a cui lo si calcola, anch’esso varia. Per un corpo solido relativo ad un dominio D \subset \mathbb{R} avente densità \delta \colon D \rightarrow [0,+\infty), e dato un asse \sigma \subset \mathbb{R}, il momento d’inerzia di D rispetto a \sigma è pari a

(4)   \begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\ \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove r^2_\sigma (x,y,z) è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) dall’asse \sigma. Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a un dominio di un piano oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa.


Possiamo ora presentare lo svolgimento dell’esercizio.

Svolgimento.

Possiamo scrivere il dominio occupato dalla lamina come

    \[D=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \, \colon \, x^2+y^2 \le R^2\right\}\]

rappresentato in figura 9.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 9: rappresentazione del dominio D.

  Ricordiamo che il momento d’inerzia rispetto all’asse passante per O e perpendicolare al piano xy è definito come segue:

(5)   \begin{equation*} I = \iint_D (x^2+y^2) \sigma(x,y) \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y. \end{equation*}

dove \sigma(x,y)=k(x^2+y^2)^{\frac{3}{2} } per un certo k \in (0+\infty) fissato; per determinare la massa totale della lamina, pertanto, occorrerà risolvere

(6)   \begin{equation*} m = \iint_D k\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y. \end{equation*}

Parametrizziamo D applicando le coordinate polari; in particolare, sia \Psi \colon [0,R] \times [0,2\pi] \to D la funzione relativa al cambiamento di coordinate, definita da:

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} x = \rho \, \cos \theta \\ \hspace{4cm} \rho \in [0,R], \theta \in [0,2\pi],\\ y = \rho \, \sin \theta \end{cases} \end{equation*}

e, ricordando che il determinante Jacobiano associato alla trasformazione è |J_\Psi|=\rho, possiamo ricavare la massa totale dell’oggetto:

(8)   \begin{equation*} m = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^R k \rho \left(\rho^2 \cos^2 \theta + \rho^2 \, \sin^2 \theta \right)^{\frac{3}{2}} \; \mathrm{d}\rho = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^R k \rho^4 \, \mathrm{d}\rho=2 \pi \left[\dfrac{\rho^5}{5}\right]^R_0=\dfrac{2k\pi R^5}{5}, \end{equation*}

da cui ricaviamo che la costante k è data da

(9)   \begin{equation*} k = \dfrac{5m}{2 \pi R^5}. \end{equation*}

Calcoliamo adesso il momento d’inerzia, risolvendo il relativo integrale (5) doppio in coordinate polari:

    \[\begin{aligned} I & = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^R k \rho \left(\rho^2 \cos^2 \theta + \rho^2 \sin^2 \theta \right)^{\frac{5}{2}} \; \mathrm{d}\rho = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^R k \rho^6 \, \mathrm{d}\rho = \dfrac{2k \pi R^7}{7}, \end{aligned}\]

in cui possiamo sostituire il valore di k determinato precedentemente per ricavare il momento d’inerzia richiesto:

(10)   \begin{equation*} { I =\dfrac{5}{7}m R^2.} \end{equation*}


 
 

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