Esercizio sul momento di inerzia – 6

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Esercizio sul momento di inerzia – 6

In questo sesto articolo della raccolta di esercizi sul momento di inerzia presentiamo il calcolo del momento di inerzia di un ellissoide. Segnaliamo anche il precedente esercizio sul momento di inerzia – 5 sul calcolo del momento di inerzia di un’asta sottile e il successivo esercizio sul momento di inerzia – 7 per il calcolo del momento di inerzia di un solido di rotazione.

Testo dell’esercizio

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ .

Dati $a,b,c \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ , si consideri l’ellissoide

$D = \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; \colon \; \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2} \le 1\right\}$

la cui massa è distribuita in modo omogeneo. Calcolare il momento d’inerzia di $D$ rispetto all’asse $x$ , esprimendo il risultato in termini della massa $m$ del solido stesso. Calcolare successivamente il momento d’inerzia di $D$ rispetto all’asse $y$ .

Richiamiamo brevemente i principali risultati teorici utilizzati nell’esercizio.

Richiami teorici.

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Ciò è evidente nella legge della dinamica rotazionale

(1) $\begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}}=I \vec{\alpha}, \end{equation*}$

dove $\vec{M}^{\text{ext}}$ è il momento risultante delle forze esterne applicate al corpo, rispetto a un asse fissato, e $\vec{\alpha}$ è l’accelerazione angolare del corpo considerato rispetto allo stesso asse. Il ruolo di $I$ è quindi molto simile a quello della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(2) $\begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}$

dove $\vec{F}$ è la forza risultante applicata al corpo, e $\vec{a}$ è la sua accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali rispetto ad un asse fissato è dato da

(3) $\begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i, \end{equation*}$

dove $m_i$ e $r_i$ rappresentano rispettivamente la massa e la distanza dall’asse di rotazione dell’ $i$ -esimo punto materiale. È importante considerare che il momento d’inerzia dipende dalle distanze dall’asse di rotazione, ed al variare dell’asse rispetto a cui lo si calcola, anch’esso varia. Per un corpo solido relativo ad un dominio $D \subset \mathbb{R}$ avente densità $\delta \colon D \rightarrow [0,+\infty)$ , e dato un asse $\sigma \subset \mathbb{R}$ , il momento d’inerzia di $D$ rispetto a $\sigma$ è pari a

(4) $\begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\ \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z, \end{equation*}$

dove $r^2_\sigma (x,y,z)$ è il quadrato della distanza del punto $(x,y,z)$ dall’asse $\sigma$ . Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a un dominio di un piano oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa. In questo esercizio si renderà necessario calcolare il centro di massa delle figure considerate. Ricordiamo che, mentre per un sistema di $n$ punti materiali aventi posizioni $\vec{r}_i$ e masse $m_i$ il centro di massa risulta essere determinato da

(5) $\begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\sum^n_{i=1}m_i \vec{r}_i}{\sum^n_{i=1}m_i}, \end{equation*}$

per un corpo solido descritto come un dominio $D \subset \mathbb{R}^3$ avente densità volumica $\delta \colon D \rightarrow [0, + \infty)$ , le coordinate del centro di massa si ottengono con le versioni integrali di tali relazioni:

(6) $\begin{equation*} x_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D x \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \frac{\iiint_D x \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} y_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D y \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \frac{\iiint_D y \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}$

(8) $\begin{equation*} z_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D z \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \frac{\iiint_D z \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}$

dove con $m=\iiint_D \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z$ si è indicata la massa totale del corpo $D$ . Nel caso in cui il corpo è supposto omogeneo, ossia in cui $\delta$ è una funzione costante, essa si semplifica dal calcolo e le formule risultanti coinvolgono soltanto le proprietà geometriche di $D$ , senza alcun riferimento alla sua massa.

Possiamo ora presentare lo svolgimento dell’esercizio.

Svolgimento.

Rappresentiamo per prima cosa il solido descritto nel testo del problema; quest’ultimo corrisponde all’ellissoide di semiassi $a,b$ e $c$ con centro nell’origine di un sistema fisso $Oxyz$ , come in figura 6.

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Figura 6: rappresentazione del solido omogeneo descritto nel testo.

Per risolvere il problema, usiamo un conveniente cambio di coordinate, adoperando coordinate ellittiche, rappresentando con $\Psi \colon [0,1] \times [0,2\pi] \times [0,\pi] \to D$ la funzione cambio di coordinate, secondo la trasformazione seguente

(9) $\begin{equation*} \begin{cases} x=a\rho\cos \phi\\ y=b\rho\cos \theta\, \sin\phi, \quad \qquad \rho\in[0,1], \theta \in [0,2\pi], \phi \in [0,\pi],\\ z=c\rho \sin\theta \,\sin \phi \end{cases} \end{equation*}$

dove gli angoli $\theta$ e $\phi$ sono stati evidenziati in figura 6. Il determinante Jacobiano associato alla trasformazione vale

$|J_\Psi|(\rho,\theta,\phi) = \begin{vmatrix} a\cos\phi & -a\rho\sin \phi & 0 \\[1ex] b\cos\theta \sin \phi & b\rho\cos\theta \cos \phi & -b\rho\sin\theta \sin \phi \\[1ex] c\sin \theta \sin \phi & c\rho\sin \theta \cos \phi & c\rho\cos \theta \sin \phi \end{vmatrix}=(abc) \rho^2 \sin \phi,$

e l’elemento di volume infinitesimo si trasforma come

(10) $\begin{equation*} \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z= \left( abc\right) \cdot \left(\rho^2 \sin\phi \right) \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\phi \, \mathrm{d}\rho. \end{equation*}$

In questo caso, per determinare il momento d’inerzia dell’ellissoide, occorrerà calcolare il seguente integrale triplo

(11) $\begin{equation*} I=\dfrac{m}{\left \vert D \right \vert} \iiint_D (y^2+z^2) \; \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z, \end{equation*}$

dove $\frac{m}{\left \vert D \right \vert}$ è la densità volumica del solido, il cui volume è indicato con $\left \vert D \right \vert$ . Si osservi che la funzione integranda, $y^2+z^2$ , rappresenta la distanza del generico punto di coordinate $(x,y,z)$ dall’asse $x$ . Chiamiamo $f(x,y,z)=y^2+z^2$ e parametrizziamo $f$ applicando la trasformazione di coordinate precedente, ottenendo

(12) $\begin{equation*} f(\Psi(\rho, \theta, \phi)) = b^2 \rho^2 \cos^2 \theta \sin^2 \phi+c^2\rho^2\sin^2 \theta \sin^2\phi=\rho^2 \sin^2 \phi \; (b^2 \cos^2 \theta+c^2\sin^2 \theta). \end{equation*}$

Effettuato il cambio di coordinate, applicando all’ equazione (11) le equazioni (10) e (12), l’integrale triplo da risolvere diventa dunque

$\begin{aligned} I&=\dfrac{m}{\left \vert D \right \vert}\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^1 \rho^2 \sin^2 \phi \; (b^2 \cos^2\theta+c^2\sin^2 \theta) \rho^2 abc \sin \phi \, \mathrm{d}\rho=\\ &=\dfrac{m}{\frac{4}{3}\pi {abc}} \int_0^{2\pi}(b^2\cos^2\theta+c^2\sin^2 \theta)({abc}) \; \mathrm{d}\theta \int_0^\pi \sin^3 \phi \; \mathrm{d}\phi \int_0^1 \rho^4 \; \mathrm{d}\rho, \end{aligned}$

dove si è usato che $|D| = \frac{4}{3} \pi abc$ ; tale risultato è determinabile risolvendo l’integrale triplo

(13) $\begin{equation*} |D| = \iiint_D \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z=abc \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^1 \rho^2 \sin^2 \phi\, \mathrm{d}\rho=\frac{4}{3} \pi abc. \end{equation*}$

Notiamo che l’integrale rispetto alla variabile $\rho$ è immediato e può essere effettuato direttamente, mentre possiamo adoperare le formule di duplicazione per poter effettuare l’integrale rispetto a $\theta$ , come segue:

(14) $\begin{equation*} I=\dfrac{3m}{20\pi} \int_0^\pi(\sin\phi-\sin\phi\cos^2\phi)\mathrm{d}\phi \int_0^{2\pi} \left[b^2\left(\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2} \right)+c^2\left(\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2} \right) \right] \mathrm{d}\theta, \end{equation*}$

dove abbiamo sostituito $\sin^2 \phi = 1 - \cos^2 \phi$ . Risolviamo dunque gli integrali rispetto alle variabili angolari

(15) $\begin{equation*} I=\dfrac{3m}{20\pi} \left[-\cos \phi+\frac{\cos^3 \phi}{3}\right]^\pi_0 \cdot \left[ \frac{b^2}{2} \theta + \frac{c^2}{2} \theta \right]^{2\pi}_0, \end{equation*}$

dove si è usato il fatto che l’integrale tra $0$ e $2\pi$ di $\cos(2\theta)$ è nullo; segue dunque

(16) $\begin{equation*} I=\dfrac{m}{5\pi} \left( \dfrac{b^2}{{2}}{2\pi}+\dfrac{c^2}{{2}}{2\pi} \right). \end{equation*}$

Semplificando opportunamente avremo, dunque, il momento d’inerzia richiesto:

(17) $\begin{equation*} { I =\dfrac{m}{5}(b^2+c^2).} \end{equation*}$

Determiniamo adesso il momento d’inerzia rispetto all’asse $y$ : per farlo, osserviamo che il risultato segue subito scambiando i ruoli di $x$ e $y$ . Abbiamo dunque, semplicemente,

(18) $\begin{equation*} { I = \frac{m}{5}(a^2+c^2).} \end{equation*}$

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