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Teorema di Rolle – Esercizi

Teorema di Rolle

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sul teorema di Rolle, in cui offriamo 18 esercizi completamente risolti su questo risultato, che afferma che una funzione continua e derivabile in un intervallo che assume gli stessi valori ai due estremi possiede allora un punto stazionario all’interno di tale intervallo.
Consigliamo al lettore di provare a svolgere autonomamente gli esercizi per poi confrontare le sue soluzioni con quelle da noi fornite, così da trarre il massimo vantaggio dal proprio studio in vista dell’esame di Analisi Matematica 1.

Segnaliamo i seguenti articoli sulla teoria di riferimento:

Di seguito invece le raccolte di esercizi su argomenti affini:

Buona lettura!

 

Sommario

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Questa dispensa contiene 18 esercizi sul teorema di Rolle, pensati per un corso di analisi matematica e rivolti a studenti e appassionati. Nella prima parte della dispensa sono presenti richiami teorici fondamentali per affrontare gli esercizi. Abbiamo incluso i principali concetti teorici per rendere la dispensa completa e autosufficiente.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi

Revisori: Sergio Fiorucci, Matteo Talluri.


 
 

Introduzione

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Il teorema di Rolle, formulato per la prima volta dal matematico francese Michel Rolle nel XVII secolo, è uno dei risultati fondamentali del calcolo differenziale. Il teorema afferma che, data una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato, derivabile sull’intervallo aperto e con lo stesso valore agli estremi dell’intervallo, esiste almeno un punto in cui la derivata della funzione è pari a zero. Questa semplice affermazione implica l’esistenza di almeno un punto in cui la funzione ha una tangente orizzontale.

 
 

Richiami di teoria

Teorema di Rolle.

Teorema 1.1 (teorema di Rolle). Sia f : [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua su [a,b] e derivabile su (a,b). Supponiamo che f(a) = f(b). Allora esiste c \in (a,b) tale che

\[ f'(c) = 0. \]

\[\quad\]

Per la dimostrazione clicca su Teoremi di Rolle e Lagrange.


Dominio massimale.

Definizione 1.2 (insieme di definizione). Data l’espressione f(x), si dice insieme di definizione, o campo di esistenza, o dominio massimale di f(x), il massimo sottoinsieme D di \mathbb{R}, rispetto all’ordinamento per inclusione, per cui esista la funzione f : D \to \mathbb{R} definita da

\[ f : x \in D \mapsto f(x) \in \mathbb{R}. \]

Con un abuso di notazione, la funzione f : D \to \mathbb{R}, detta funzione determinata da f(x), si indica con lo stesso simbolo usato per l’operazione che la determina.

\[\quad\]

Facciamo qualche esempio pratico per chiarire meglio la questione.

Esempio 1.3 (denominatori). Determinare l’insieme di definizione di

(3.1) \begin{equation*} f(x) = \dfrac{1}{x - 1}. \end{equation*}

L’insieme cercato è costituito da tutti i valori x \in \mathbb{R} per i quali il denominatore è non nullo (altrimenti l’operazione di divisione non sarebbe ben definita). Dunque in questo caso il “dominio” di f(x) è l’insieme

\[ \mathrm{Dom}(f) = \{ x \in \mathbb{R} : x - 1 \neq 0 \} = \{ x \in \mathbb{R} : x \neq 1 \} = \mathbb{R} \setminus \{1\}, \]

ovvero tutto l’insieme \mathbb{R} escluso il punto x = 1. La funzione determinata da (3.1) è dunque

\[ f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \dfrac{1}{x - 1}. \]

In generale, supponiamo che f(x) sia esprimibile come

\[ f(x) = \dfrac{h(x)}{g(x)}. \]

Allora il dominio di f è l’insieme

\[ \mathrm{Dom}(f) = \{ x \in \mathrm{Dom}(g) : g(x) \neq 0 \} \cap \mathrm{Dom}(h). \]

Esempio 1.4 (radice quadrate). Determinare l’insieme di definizione di

(3.2) \[ f(x) = \sqrt{x - 1}. \]

L’insieme cercato è costituito da tutti i valori di x \in \mathbb{R} per i quali l’argomento della radice è non negativo (altrimenti l’operazione di radice quadrata non sarebbe ben definita). Dunque in questo caso il “dominio” di f è l’insieme

\[ \mathrm{Dom}(f) = \{ x \in \mathbb{R} : x - 1 \geq 0 \} = \{ x \in \mathbb{R} : x \geq 1 \} = [1, +\infty). \]

La funzione determinata è dunque

\[ f : [1, +\infty) \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \sqrt{x - 1}. \]

In generale, se in f(x) sono coinvolte radici quadrate, per esempio

\[ f(x) = \sqrt{g(x)}, \]

allora il dominio di f è l’insieme

\[ \mathrm{Dom}(f) = \{ x \in \mathrm{Dom}(g) : g(x) \geq 0 \}. \]

Esempio 1.5 (logaritmi). Sia a \in \mathbb{R} tale che a > 0 e a \neq 1 un numero fissato. Determiniamo l’insieme di definizione di

(3.3) \[ f(x) = \log_a(x - 1). \]

L’insieme cercato è costituito da tutti i valori di x \in \mathbb{R} per i quali l’argomento del logaritmo è positivo (altrimenti non sarebbe ben definito il logaritmo). Dunque in questo caso il “dominio” di f è l’insieme

\[ \mathrm{Dom}(f) = \{ x \in \mathbb{R} : x - 1 > 0 \} = \{ x \in \mathbb{R} : x > 1 \} = (1, +\infty). \]

La funzione determinata è dunque

\[ f : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \log_a(x - 1). \]

In generale, se in f(x) sono coinvolti dei logaritmi, per esempio

\[ f(x) = \log_a(g(x)), \]

allora il dominio di f è l’insieme

\[ \mathrm{Dom}(f) = \{ x \in \mathrm{Dom}(g) : g(x) > 0 \}. \]

I tre esempi riportati qui sopra, sebbene non esauriscano tutti i casi possibili (basti pensare alle funzioni trigonometriche e alle loro inverse), rappresentano una buona base sulla quale esercitarsi nella determinazione del dominio naturale di una funzione reale di variabile reale. Nella pratica, bisogna combinare in modo opportuno quanto riportato negli esempi precedenti.


Richiami sui limiti.

Definizione 1.6. Sia X \subseteq \mathbb{R}, con f: X \to \mathbb{R} e x_0 \in \mathbb{R} un punto di accumulazione destro (o sinistro) per X. Si definisce \ell \in \mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\} come limite destro (sinistro) di f(x) per x che tende a x_0, e si esprime con la notazione

\[ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \ell \quad \left( \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell \right), \]

se la funzione f, ristretta a X \cap (x_0, +\infty) \left(X \cap (-\infty, x_0)\right), tende a \ell quando x \to x_0:

(1) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0^+} f \vert_{X \cap (x_0, +\infty)} = \ell \quad \left( \lim_{x \to x_0^-} f \vert_{X \cap (-\infty, x_0)} = \ell \right). \end{equation*}

Proposizione 1.7. Sia x_0 un punto di accumulazione sinistro e destro per A e sia \ell \in \mathbb{R}. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

\[\quad\]

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell;

    2.  

  2. \displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \ell.

\[\quad\]

Si consideri, ad esempio, la seguente definizione di limite:

\[ \forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0 \text{ tale che per ogni } x \in (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta) \text{ si ha } |f(x) - \ell| \leq \varepsilon \]

che è equivalente all’unione di queste due definizioni

\[\quad\]

  • \forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0 \text{ tale che per ogni } x \in (x_0 - \delta, x_0) \text{ si ha } |f(x) - \ell| \leq \varepsilon,

    •  

  • \forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0 \text{ tale che per ogni } x \in (x_0, x_0 + \delta) \text{ si ha } |f(x) - \ell| \leq \varepsilon.

Richiami sulle funzioni continue.

Definizione 1.8 (funzione continua in un punto). Sia A \subseteq \mathbb{R}. Una funzione f : A \to \mathbb{R} si dice continua in x_0 \in A se x_0 è un punto isolato di A oppure se

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0). \]

Definizione 1.9 (funzione continua). Sia A \subseteq \mathbb{R}. Una funzione f : A \to \mathbb{R} si dice continua in E \subseteq A se è continua in ogni punto di E. La funzione f si dice continua se è continua in tutto il suo dominio A, e in tal caso si scrive

\[ f \in C^0(A) \quad \text{oppure} \quad f \in \mathcal{C}(A). \]

I simboli C^0(A) e \mathcal{C}(A) denotano l’insieme delle funzioni continue in A.

Definizione 1.10. (discontinuità). Sia f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e sia x_0 \in A. La funzione f si dice discontinua in x_0 se non è continua in x_0.

Teorema 1.11 (teorema dei valori intermedi). Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo e sia f : I \to \mathbb{R} una funzione continua. Siano

\[ m = \inf_I f, \quad M = \sup_I f \]

l’estremo inferiore e l’estremo superiore dei valori assunti da f in I, rispettivamente. Allora per ogni c \in (m, M) esiste x_0 \in I tale che f(x_0) = c. In altri termini, la funzione assume tutti i valori compresi tra m e M.

  1. (Somma) Siano f, g : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} due funzioni continue in A. Consideriamo la funzione

    \[ z : A \to \mathbb{R}, \quad z(x) = f(x) + g(x). \]

    Allora, z è continua in A e si ha

    \[ \lim_{x \to x_0} z(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x) \quad \forall x_0 \in A. \]

    2.  

  2. (Prodotto per una costante) Sia f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione continua in A e \alpha \in \mathbb{R}. Consideriamo la funzione

    \[ z : A \to \mathbb{R}, \quad z(x) = \alpha f(x). \]

    Allora, z è continua in A e si ha

    \[ \lim_{x \to x_0} z(x) = \alpha \lim_{x \to x_0} f(x) \quad \forall x_0 \in A. \]

Teorema 1.12 (continuità delle funzioni elementari] Le seguenti funzioni sono continue nel loro dominio massimale:

\[\quad\]

  1. Funzione costante

    \[ f: \mathbb{R} \to\mathbb{R}, \, f(x) = c, \quad c \in \mathbb{R} \]

    2.  

  2. Funzione identità

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = x \]

    3.  

  3. Funzione polinomiale

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_i \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{N} \]

    4.  

  4. Funzione razionale

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \{ x \in \mathbb{R} \, | \, Q(x) = 0 \} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad P(x), Q(x) \text{ sono polinomi} \]

    5.  

  5. Funzione radice (radicale)

    \[\quad\]

    • Per n pari:

      \[ f: [0, +\infty) \to [0, +\infty), \, f(x) = \sqrt[n]{x} \]

      •  

    • Per n dispari:

      \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt[n]{x} \]

    6.  

  6. Funzione esponenziale

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \, f(x) = a^x, \quad a > 0 \]

    7.  

  7. Funzione logaritmica

    \[ f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, \, f(x) = \log_a(x), \quad a > 0, a \neq 1 \]

    8.  

  8. Funzione seno

    \[ f: \mathbb{R} \to [-1, 1], \, f(x) = \sin(x) \]

    9.  

  9. Funzione coseno

    \[ f: \mathbb{R} \to [-1, 1], \, f(x) = \cos(x) \]

    10.  

  10. Funzione tangente

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \tan(x) \]

Teorema 1.13 (continuità delle funzioni elementari). Le seguenti funzioni sono continue nel loro dominio massimale:

\[\quad\]

  1. Funzione cotangente

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \cot(x) \]

    2.  

  2. Funzione secante

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sec(x) \]

    3.  

  3. Funzione cosecante

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \csc(x) \]

    4.  

  4. Funzione arcoseno

    \[ f: [-1, 1] \to \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right], \, f(x) = \arcsin(x) \]

    5.  

  5. Funzione arcocoseno

    \[ f: [-1, 1] \to [0, \pi], \, f(x) = \arccos(x) \]

    6.  

  6. Funzione arcotangente

    \[ f: \mathbb{R} \to \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right), \, f(x) = \arctan(x) \]

    7.  

  7. Funzione valore assoluto

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \, f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{se} \,\, x \geq 0 \\ -x, & \text{se} \,\ x < 0 \end{cases} \]

\[\quad\]

Per la dimostrazioni e approfondimenti dei seguenti fatti clicca su Teoria sulle funzioni continue.


Richiami sulla teoria delle derivate.

Definizione 1.14. Siano f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x_0 \in A. Si definisce rapporto incrementale di f in x_0 la funzione

\[ r_{f,x_0} : A \setminus \{ x_0 \} \to \mathbb{R} \text{ data da } \]

\[ r_{f,x_0}(x) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}. \]

Definizione 1.15 (definizione di derivata). Siano f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e x_0 \in A un punto di accumulazione per A. Si dice che f è derivabile in x_0 se esiste finito il limite del rapporto incrementale:

\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} r_{f,x_0}(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}. \]

Se f è derivabile in x_0, allora il valore f'(x_0) viene detto derivata di f in x_0.

Teorema 1.16. Siano A \subset \mathbb{R}, f: A \to \mathbb{R} e x_0 \in A un punto di accumulazione sia da destra che da sinistra. Supponiamo che f sia continua in un intorno I di x_0 e derivabile in I \setminus \{ x_0 \}. Se esiste il limite:

\[ L = \lim_{x \to x_0^+} f'(x), \]

allora si verificano le seguenti possibilità:

\[\quad\]

  • Caso 1: Se L = \pm \infty, allora f non è derivabile in x_0 da destra e, di conseguenza, non è derivabile in x_0.

    •  

  • Caso 2: Se L \in \mathbb{R}, allora L = f'_+(x_0), dove f'_+(x_0) rappresenta la derivata destra di f in x_0.

La derivata destra di una funzione f in un punto x_0 è definita come il limite del rapporto incrementale calcolato quando x tende a x_0 da destra e si scrive:

\[ f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. \]

Un discorso analogo vale per il limite da sinistra, che definisce la derivata sinistra.

Sotto le stesse ipotesi su f e su x_0 descritte sopra, supponiamo ora che esistano finiti entrambi i limiti:

\[ L_1 = \lim_{x \to x_0^+} f'(x) \quad \text{e} \quad L_2 = \lim_{x \to x_0^-} f'(x). \]

Allora:

\[\quad\]

  • Se L_1 = L_2, la funzione f è derivabile in x_0 e la derivata vale f'(x_0) = L_1 = L_2.

    •  

  • Se L_1 \neq L_2, f non è derivabile in x_0.

Definizione 1.17. Sia A \subseteq \mathbb{R} e sia f : A \to \mathbb{R} una funzione. Diciamo che f è derivabile in A se è derivabile in x per ogni x \in A. In questo caso viene ad essere definita una nuova funzione, la funzione derivata prima

\[ f': A \to \mathbb{R}, \]

che assegna ad ogni punto x \in A la derivata f'(x) della funzione f in tale punto.

Teorema 1.18 (proprietà di linearità).

\[\quad\]

  1. (Somma) Siano f, g : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} due funzioni derivabili in A. Consideriamo la funzione

    \[ z : A \to \mathbb{R}, \quad z(x) = f(x) + g(x). \]

    Allora, z è derivabile in A e si ha

    \[ z'(x) = f'(x) + g'(x) \quad \forall x \in A. \]

    2.  

  2. (Prodotto per una costante) Sia f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione derivabile in A e \alpha \in \mathbb{R}. Consideriamo la funzione

    \[ z : A \subseteq \mathbb{R}, \quad z(x) = \alpha f(x). \]

    Allora, z è derivabile in A e si ha

    \[ z'(x) = \alpha f'(x) \quad \forall x \in A. \]

Teorema 1.19 (regola di Leibniz). Siano f, g : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} due funzioni derivabili in A. Consideriamo la funzione

\[ z : A \to \mathbb{R}, \quad z(x) = f(x) g(x). \]

Allora, z è derivabile in A e si ha

\[ z'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \quad \forall x \in A. \]

Teorema 1.20 (regola della catena). Siano A,B\subseteq\mathbb{R} due intervalli e siano f \colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} tali che f(A)\subseteq B. Se f è derivabile in x_0 e g è derivabile in f(x_0), allora la funzione g\circ f \colon A \to \mathbb{R} è derivabile in x_0 e vale

\[ (g\circ f)' (x_0)= g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) \quad \forall x \in A. \]

Teorema 1.21 (derivabilità delle funzioni elementari). Le seguenti funzioni sono derivabili negli insiemi indicati:

\[\quad\]

  1. Funzione costante

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = c, \quad c \in \mathbb{R} \]

    2.  

  2. Funzione identità

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = x \]

    3.  

  3. Funzione polinomiale

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_i \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{N} \]

    4.  

  4. Funzione razionale

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \{ x \in \mathbb{R} \, | \, Q(x) = 0 \} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad P(x), Q(x) \text{ sono polinomi} \]

    5.  

  5. Funzione radice (radicale)

    \[\quad\]

    • Per n pari:

      \[ f: (0, +\infty) \to [0, +\infty), \, f(x) = \sqrt[n]{x} \]

      •  

    • Per n dispari:

      \[ f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt[n]{x} \]

    6.  

  6. Funzione esponenziale

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \, f(x) = a^x, \quad a > 0 \]

    7.  

  7. Funzione logaritmica

    \[ f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, \, f(x) = \log_a(x), \quad a > 0, a \neq 1 \]

    8.  

  8. Funzione seno

    \[ f: \mathbb{R} \to [-1, 1], \, f(x) = \sin(x) \]

    9.  

  9. Funzione coseno

    \[ f: \mathbb{R} \to [-1, 1], \, f(x) = \cos(x) \]

    10.  

  10. Funzione tangente

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \tan(x) \]

Teorema 1.22 (derivabilità delle funzioni elementari). Le seguenti funzioni sono derivabili negli insiemi indicati:

\[\quad\]

  1. Funzione cotangente

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \cot(x) \]

    2.  

  2. Funzione secante

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sec(x) \]

    3.  

  3. Funzione cosecante

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \csc(x) \]

    4.  

  4. Funzione arcoseno

    \[ f: (-1, 1) \to \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right], \, f(x) = \arcsin(x) \]

    5.  

  5. Funzione arcocoseno

    \[ f: (-1, 1) \to [0, \pi], \, f(x) = \arccos(x) \]

    6.  

  6. Funzione arcotangente

    \[ f: \mathbb{R} \to \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right), \, f(x) = \arctan(x) \]

    7.  

  7. Funzione valore assoluto

    \[ f: \mathbb{R}\setminus\{0\} \to \mathbb{R}^+, \, f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{se} \, x>0 \\ -x, & \text{se} \, x < 0 \end{cases} \]

\[\quad\]

Per la dimostrazione e approfondimenti dei precedenti fatti clicca su Teoria sulle derivate


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f : D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^4 - 2x^2, dove D è il dominio massimale della funzione. Stabilire se valgono le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo A = \left[0, \sqrt{2}\right]. In caso affermativo, calcolare il punto o i punti di cui il teorema garantisce l’esistenza.

Svolgimento.

La funzione f ha dominio D = \mathbb{R}, dunque risulta definita sull’intervallo A, essendo A un sottoinsieme di D. La funzione f, essendo un polinomio, è continua su [0,\sqrt{2}] e derivabile su (0, \sqrt{2}).

Esaminiamo ora il comportamento della funzione agli estremi dell’intervallo compatto A, verificando se assume lo stesso valore:

\[f(0) = 0 \qquad \text{e} \qquad f(\sqrt{2}) = 0,\]

che sono uguali. Pertanto, tutte le ipotesi del teorema di Rolle 1.1 sono soddisfatte.

Calcoliamo ora la derivata prima di f:

\[f'(x) = 4x^3 - 4x \quad \text{per ogni } x \in (0, \sqrt{2}).\]

Cerchiamo dunque c \in (0, \sqrt{2}) tale che f'(c) = 0:

\[\begin{aligned} f'(c) = 0 \quad &\iff \quad 4c^3 - 4c = 0 \\ &\iff \quad 4c(c^2 - 1) = 0 \\ &\iff \quad c = 0 \quad \vee \quad c = 1 \quad \vee \quad c = -1. \end{aligned}\]

Poiché solo c = 1 appartiene all’intervallo (0, \sqrt{2}), possiamo concludere che il punto che soddisfa la tesi del teorema è

\[\boxcolorato{analisi}{c = 1.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f : D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 1}, dove D è il dominio massimale della funzione. Stabilire se valgono le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo A = \left[-2, 2\right]. In caso affermativo, calcolare il punto o i punti di cui il teorema garantisce l’esistenza.

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