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Teorema di Lagrange – Esercizi

Teorema di Lagrange

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sul teorema di Lagrange. In questo articolo proponiamo 29 esercizi sull’applicazione e le conseguenze del teorema di Lagrange, un’importante strumento dell’analisi matematica delle funzioni reali di una variabile reale.
Gli esercizi sono completamente risolti, così da offrire al lettore la possibilità di confrontare le proprie soluzioni con quelle da noi proposte.

Segnaliamo i seguenti articoli sulla teoria di riferimento:

Di seguito invece le raccolte di esercizi su argomenti affini:

Buona lettura!

 

Sommario

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In questa dispensa presentiamo una collezione di 29 esercizi sul teorema di Lagrange, conosciuto anche come teorema del Valor Medio. Gli esercizi sono progettati per essere accessibili a studenti di economia, ingegneria, fisica e matematica, grazie alla loro varietà e graduale complessità. I primi 20 esercizi sono principalmente indirizzati a studenti di economia e ingegneria, mentre gli ultimi 9 sono pensati per studenti di fisica e matematica.

Gli ultimi 10 esercizi includono problemi teorici e di problem solving, dove è richiesto un approccio ragionato: non è sufficiente applicare semplicemente il Teorema di Lagrange, ma è necessario un approfondimento teorico maggiore. La dispensa fornisce richiami teorici dettagliati per i primi 22 esercizi, mentre per gli ultimi abbiamo scelto di omettere tali riferimenti, concentrandoci unicamente sulla risoluzione diretta dei problemi.


 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi

Revisori: Matteo Talluri, Sergio Fiorucci.


 
 

Introduzione

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Il teorema di Lagrange, noto anche come Teorema del Valore Medio, rappresenta uno dei risultati fondamentali dell’analisi matematica. Proposto da Joseph-Louis Lagrange nel XVIII secolo, questo teorema stabilisce che, date alcune condizioni su una funzione continua e derivabile, esiste almeno un punto all’interno di un intervallo in cui la derivata della funzione è uguale alla pendenza della corda che collega i punti estremi dell’intervallo.

In termini semplici, il teorema afferma che se una funzione è continua su un intervallo chiuso [a, b] e derivabile su un intervallo aperto (a, b), allora esiste almeno un punto c all’interno dell’intervallo in cui la derivata della funzione corrisponde alla pendenza della retta secante tra i punti (a, f(a)) e (b, f(b)).


 
 

Richiami di teoria

Teorema di Lagrange.

Teorema 1.1. Sia f : [a, b] \to \mathbb{R} una funzione continua su [a, b] e derivabile su (a, b). Allora esiste c \in (a, b) tale che

\[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \]

\[\quad\]

Corollario 1.2. Sia f una funzione continua e derivabile definita in un intervallo [a, b]. Se f'(x) = 0 per ogni x \in (a, b), allora f è costante in tale intervallo:

\[ f(x) = k \quad \forall x \in [a, b]. \]

\[\quad\]

Per la dimostrazione clicca su teoremi di Rolle e Lagrange.


Dominio massimale.

Definizione 1.3 (insieme di definizione). Data l’espressione f(x), si dice insieme di definizione, o campo di esistenza, o dominio massimale di f(x), il massimo sottoinsieme D di \mathbb{R}, rispetto all’ordinamento per inclusione, per cui esista la funzione f : D \to \mathbb{R} definita da

\[ f : x \in D \mapsto f(x) \in \mathbb{R}. \]

Con un abuso di notazione, la funzione f : D \to \mathbb{R}, detta funzione determinata da f(x), si indica con lo stesso simbolo usato per l’operazione che la determina.

\[\quad\]

Facciamo qualche esempio pratico per chiarire meglio la questione.

Esempio 1.4 (denominatori). Determinare l’insieme di definizione di

(3.1) \begin{equation*} f(x) = \dfrac{1}{x - 1}. \end{equation*}

L’insieme cercato è costituito da tutti i valori x \in \mathbb{R} per i quali il denominatore è non nullo (altrimenti l’operazione di divisione non sarebbe ben definita). Dunque in questo caso il “dominio” di f(x) è l’insieme

\[ \mathrm{Dom}(f) = \{ x \in \mathbb{R} : x - 1 \neq 0 \} = \{ x \in \mathbb{R} : x \neq 1 \} = \mathbb{R} \setminus \{1\}, \]

ovvero tutto l’insieme \mathbb{R} escluso il punto x = 1. La funzione determinata da (3.1) è dunque

\[ f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \dfrac{1}{x - 1}. \]

In generale, supponiamo che f(x) sia esprimibile come

\[ f(x) = \dfrac{h(x)}{g(x)}. \]

Allora il dominio di f è l’insieme

\[ \mathrm{Dom}(f) = \{ x \in \mathrm{Dom}(g) : g(x) \neq 0 \} \cap \mathrm{Dom}(h). \]

Esempio 1.5 (radici quadrate). Determinare l’insieme di definizione di

(3.2) \[ f(x) = \sqrt{x - 1}. \]

L’insieme cercato è costituito da tutti i valori di x \in \mathbb{R} per i quali l’argomento della radice è non negativo (altrimenti l’operazione di radice quadrata non sarebbe ben definita). Dunque in questo caso il “dominio” di f è l’insieme

\[ \mathrm{Dom}(f) = \{ x \in \mathbb{R} : x - 1 \geq 0 \} = \{ x \in \mathbb{R} : x \geq 1 \} = [1, +\infty). \]

La funzione determinata da (3.2) è dunque

\[ f : [1, +\infty) \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \sqrt{x - 1}. \]

In generale, se in f(x) sono coinvolte radici quadrate, per esempio

\[ f(x) = \sqrt{g(x)}, \]

allora il dominio di f è l’insieme

\[ \mathrm{Dom}(f) = \{ x \in \mathrm{Dom}(g) : g(x) \geq 0 \}. \]

Esempio 1.6 (logaritmi). Sia a \in \mathbb{R} tale che a > 0 e a \neq 1 un numero fissato. Determiniamo l’insieme di definizione di

(3.3) \[ f(x) = \log_a(x - 1). \]

L’insieme cercato è costituito da tutti i valori di x \in \mathbb{R} per i quali l’argomento del logaritmo è positivo (altrimenti non sarebbe ben definito il logaritmo). Dunque in questo caso il “dominio” di f è l’insieme

\[ \mathrm{Dom}(f) = \{ x \in \mathbb{R} : x - 1 > 0 \} = \{ x \in \mathbb{R} : x > 1 \} = (1, +\infty). \]

La funzione determinata da (3.3) è dunque

\[ f : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \log_a(x - 1). \]

In generale, se in f(x) sono coinvolti dei logaritmi, per esempio

\[ f(x) = \log_a(g(x)), \]

allora il dominio di f è l’insieme

\[ \mathrm{Dom}(f) = \{ x \in \mathrm{Dom}(g) : g(x) > 0 \}. \]

I tre esempi riportati qui sopra, sebbene non esauriscano tutti i casi possibili (basti pensare alle funzioni trigonometriche e alle loro inverse), rappresentano una buona base sulla quale esercitarsi nella determinazione del dominio naturale di una funzione reale di variabile reale. Nella pratica, bisogna combinare in modo opportuno quanto riportato negli esempi precedenti.


Richiami sui limiti.

Definizione 1.7. Sia X \subseteq \mathbb{R}, con f: X \to \mathbb{R} e x_0 \in \mathbb{R} un punto di accumulazione destro (o sinistro) per X. Si definisce \ell \in \mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\} come limite destro (sinistro) di f(x) per x che tende a x_0, e si esprime con la notazione

\[ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \ell \quad \left( \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell \right), \]

se la funzione f, ristretta a X \cap (x_0, +\infty) \left(X \cap (-\infty, x_0)\right), tende a \ell quando x \to x_0:

(1) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0^+} f \vert_{X \cap (x_0, +\infty)} = \ell \quad \left( \lim_{x \to x_0^-} f \vert_{X \cap (-\infty, x_0)} = \ell \right). \end{equation*}

\[\quad\]

Proposizione 1.8. Sia x_0 un punto di accumulazione sinistro e destro per A e sia \ell \in \mathbb{R}. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

\[\quad\]

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell;

    2.  

  2. \displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \ell.

\[\quad\]

Si consideri, ad esempio, la seguente definizione di limite:

\[ \forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0 \text{ tale che per ogni } x \in (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta) \text{ si ha } |f(x) - \ell| \leq \varepsilon \]

che è equivalente all’unione di queste due definizioni

\[\quad\]

  • \forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0 \text{ tale che per ogni } x \in (x_0 - \delta, x_0) \text{ si ha } |f(x) - \ell| \leq \varepsilon,

    •  

  • \forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0 \text{ tale che per ogni } x \in (x_0, x_0 + \delta) \text{ si ha } |f(x) - \ell| \leq \varepsilon.

Richiami sulle funzioni continue.

Definizione 1.9 (funzione continua in un punto). Sia A \subseteq \mathbb{R}. Una funzione f : A \to \mathbb{R} si dice continua in x_0 \in A se x_0 è un punto isolato di A oppure se

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0). \]

\[\quad\]

Definizione 1.10 (funzione continua). Sia A \subseteq \mathbb{R}. Una funzione f : A \to \mathbb{R} si dice continua in E \subseteq A se è continua in ogni punto di E. La funzione f si dice continua se è continua in tutto il suo dominio A, e in tal caso si scrive

\[ f \in C^0(A) \quad \text{oppure} \quad f \in \mathcal{C}(A). \]

I simboli C^0(A) e \mathcal{C}(A) denotano l’insieme delle funzioni continue in A.

\[\quad\]

Definizione 1.11 (discontinuità). Sia f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e sia x_0 \in A. La funzione f si dice discontinua in x_0 se non è continua in x_0.

\[\quad\]

Teorema 1.12. (teorema dei valori intermedi). Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo e sia f : I \to \mathbb{R} una funzione continua. Siano

\[ m = \inf_I f, \quad M = \sup_I f \]

l’estremo inferiore e l’estremo superiore dei valori assunti da f in I, rispettivamente. Allora per ogni c \in (m, M) esiste x_0 \in I tale che f(x_0) = c. In altri termini, la funzione assume tutti i valori compresi tra m e M.

\[\quad\]

\[\quad\]

  1. (Somma) Siano f, g : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} due funzioni continue in A. Consideriamo la funzione

    \[ z : A \to \mathbb{R}, \quad z(x) = f(x) + g(x). \]

    Allora, z è continua in A e si ha

    \[ \lim_{x \to x_0} z(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x) \quad \forall x_0 \in A. \]

    2.  

  2. (Prodotto per una costante) Sia f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione continua in A e \alpha \in \mathbb{R}. Consideriamo la funzione

    \[ z : A \to \mathbb{R}, \quad z(x) = \alpha f(x). \]

    Allora, z è continua in A e si ha

    \[ \lim_{x \to x_0} z(x) = \alpha \lim_{x \to x_0} f(x) \quad \forall x_0 \in A. \]

\[\quad\]

Teorema 1.13. (continuità delle funzioni elementari). Le seguenti funzioni sono continue nel loro dominio massimale:

\[\quad\]

  1. Funzione costante

    \[ f: \mathbb{R} \to\mathbb{R}, \, f(x) = c, \quad c \in \mathbb{R} \]

    2.  

  2. Funzione identità

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = x \]

    3.  

  3. Funzione polinomiale

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_i \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{N} \]

    4.  

  4. Funzione razionale

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \{ x \in \mathbb{R} \, | \, Q(x) = 0 \} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad P(x), Q(x) \text{ sono polinomi} \]

    5.  

  5. Funzione radice (radicale)

    \[\quad\]

    • Per n pari:

      \[ f: [0, +\infty) \to [0, +\infty), \, f(x) = \sqrt[n]{x} \]

      •  

    • Per n dispari:

      \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt[n]{x} \]

    6.  

  6. Funzione esponenziale

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \, f(x) = a^x, \quad a > 0 \]

    7.  

  7. Funzione logaritmica

    \[ f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, \, f(x) = \log_a(x), \quad a > 0, a \neq 1 \]

    8.  

  8. Funzione seno

    \[ f: \mathbb{R} \to [-1, 1], \, f(x) = \sin(x) \]

    9.  

  9. Funzione coseno

    \[ f: \mathbb{R} \to [-1, 1], \, f(x) = \cos(x) \]

    10.  

  10. Funzione tangente

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \tan(x) \]

\[\quad\]

Teorema 1.14. (continuità delle funzioni elementari). Le seguenti funzioni sono continue nel loro dominio massimale:

\[\quad\]

  1. Funzione cotangente

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \cot(x) \]

    2.  

  2. Funzione secante

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sec(x) \]

    3.  

  3. Funzione cosecante

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \csc(x) \]

    4.  

  4. Funzione arcoseno

    \[ f: [-1, 1] \to \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right], \, f(x) = \arcsin(x) \]

    5.  

  5. Funzione arcocoseno

    \[ f: [-1, 1] \to [0, \pi], \, f(x) = \arccos(x) \]

    6.  

  6. Funzione arcotangente

    \[ f: \mathbb{R} \to \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right), \, f(x) = \arctan(x) \]

    7.  

  7. Funzione valore assoluto

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \, f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{se} \,\, x \geq 0 \\ -x, & \text{se} \,\, x < 0 \end{cases} \]

\[\quad\]

Per la dimostrazioni e approfondimenti dei seguenti fatti clicca su teoria sulle funzioni continue.


Richiami sulla teoria delle derivate.

Definizione 1.15. Siano f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x_0 \in A. Si definisce rapporto incrementale di f in x_0 la funzione

\[ r_{f,x_0} : A \setminus \{ x_0 \} \to \mathbb{R} \text{ data da } \]

\[ r_{f,x_0}(x) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}. \]

\[\quad\]

Definizione 1.16 (definizione di derivata). Siano f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e x_0 \in A un punto di accumulazione per A. Si dice che f è derivabile in x_0 se esiste finito il limite del rapporto incrementale:

\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} r_{f,x_0}(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}. \]

Se f è derivabile in x_0, allora il valore f'(x_0) viene detto derivata di f in x_0.

\[\quad\]

Teorema 1.17. Siano A \subset \mathbb{R}, f: A \to \mathbb{R} e x_0 \in A un punto di accumulazione sia da destra che da sinistra. Supponiamo che f sia continua in un intorno I di x_0 e derivabile in I \setminus \{ x_0 \}. Se esiste il limite:

\[ L = \lim_{x \to x_0^+} f'(x), \]

allora si verificano le seguenti possibilità:

\[\quad\]

  • Caso 1: Se L = \pm \infty, allora f non è derivabile in x_0 da destra e, di conseguenza, non è derivabile in x_0.

    •  

  • Caso 2: Se L \in \mathbb{R}, allora L = f'_+(x_0), dove f'_+(x_0) rappresenta la derivata destra di f in x_0.

La derivata destra di una funzione f in un punto x_0 è definita come il limite del rapporto incrementale calcolato quando x tende a x_0 da destra e si scrive:

\[ f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. \]

Un discorso analogo vale per il limite da sinistra, che definisce la derivata sinistra.

Sotto le stesse ipotesi su f e su x_0 descritte sopra, supponiamo ora che esistano finiti entrambi i limiti:

\[ L_1 = \lim_{x \to x_0^+} f'(x) \quad \text{e} \quad L_2 = \lim_{x \to x_0^-} f'(x). \]

Allora:

\[\quad\]

  • Se L_1 = L_2, la funzione f è derivabile in x_0 e la derivata vale f'(x_0) = L_1 = L_2.

    •  

  • Se L_1 \neq L_2, f non è derivabile in x_0.

\[\quad\]

Definizione 1.18. Sia A \subseteq \mathbb{R} e sia f : A \to \mathbb{R} una funzione. Diciamo che f è derivabile in A se è derivabile in x per ogni x \in A. In questo caso viene ad essere definita una nuova funzione, la funzione derivata prima

\[ f': A \to \mathbb{R}, \]

che assegna ad ogni punto x \in A la derivata f'(x) della funzione f in tale punto.

\[\quad\]

Teorema 1.19 (proprietà di linearità).

\[\quad\]

  1. (Somma) Siano f, g : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} due funzioni derivabili in A. Consideriamo la funzione

    \[ z : A \to \mathbb{R}, \quad z(x) = f(x) + g(x). \]

    Allora, z è derivabile in A e si ha

    \[ z'(x) = f'(x) + g'(x) \quad \forall x \in A. \]

    2.  

  2. (Prodotto per una costante) Sia f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione derivabile in A e \alpha \in \mathbb{R}. Consideriamo la funzione

    \[ z : A \subseteq \mathbb{R}, \quad z(x) = \alpha f(x). \]

    Allora, z è derivabile in A e si ha

    \[ z'(x) = \alpha f'(x) \quad \forall x \in A. \]

\[\quad\]

Teorema 1.20. (regola di Leibniz). Siano f, g : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} due funzioni derivabili in A. Consideriamo la funzione

\[ z : A \to \mathbb{R}, \quad z(x) = f(x) g(x). \]

Allora, z è derivabile in A e si ha

\[ z'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \quad \forall x \in A. \]

\[\quad\]

Teorema 1.21. (derivabilità delle funzioni elementari). Le seguenti funzioni sono derivabili negli insiemi indicati:

\[\quad\]

  1. Funzione costante

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = c, \quad c \in \mathbb{R} \]

    2.  

  2. Funzione identità

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = x \]

    3.  

  3. Funzione polinomiale

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_i \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{N} \]

    4.  

  4. Funzione razionale

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \{ x \in \mathbb{R} \, | \, Q(x) = 0 \} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad P(x), Q(x) \text{ sono polinomi} \]

    5.  

  5. Funzione radice (radicale)

    \[\quad\]

    • Per n pari:

      \[ f: (0, +\infty) \to [0, +\infty), \, f(x) = \sqrt[n]{x} \]

      •  

    • Per n dispari:

      \[ f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt[n]{x} \]

    6.  

  6. Funzione esponenziale

    \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \, f(x) = a^x, \quad a > 0,a\neq 1. \]

    7.  

  7. Funzione logaritmica

    \[ f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, \, f(x) = \log_a(x), \quad a > 0, a \neq 1 \]

    8.  

  8. Funzione seno

    \[ f: \mathbb{R} \to [-1, 1], \, f(x) = \sin(x) \]

    9.  

  9. Funzione coseno

    \[ f: \mathbb{R} \to [-1, 1], \, f(x) = \cos(x) \]

    10.  

  10. Funzione tangente

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \tan(x) \]

\[\quad\]

Teorema 1.22. (derivabilità delle funzioni elementari). Le seguenti funzioni sono derivabili negli insiemi indicati:

\[\quad\]

  1. Funzione cotangente

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \cot(x) \]

    2.  

  2. Funzione secante

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sec(x) \]

    3.  

  3. Funzione cosecante

    \[ f: \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \csc(x) \]

    4.  

  4. Funzione arcoseno

    \[ f: (-1, 1) \to \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right], \, f(x) = \arcsin(x) \]

    5.  

  5. Funzione arcocoseno

    \[ f: (-1, 1) \to [0, \pi], \, f(x) = \arccos(x) \]

    6.  

  6. Funzione arcotangente

    \[ f: \mathbb{R} \to \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right), \, f(x) = \arctan(x) \]

    7.  

  7. Funzione valore assoluto

    \[ f: \mathbb{R}\setminus\{0\} \to \mathbb{R}^+, \, f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{se} \, x>0 \\ -x, & \text{se} \, x < 0 \end{cases} \]

\[\quad\]

Per la dimostrazione e approfondimenti dei precedenti fatti clicca su teoria sulle derivate.


 
 

Esercizi

 
 

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f:D\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R}, \,f(x) = 2x^2+x+1, dove D è il dominio massimale della funzione. Stabilire se valgono le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo A=\left[-2,3\right]. In caso affermativo calcolare il punto o i punti di cui il teorema garantisce l’esistenza.

Svolgimento.

Osserviamo che D = \mathbb{R}, poiché f è una funzione polinomiale. Di conseguenza, f è ben definita sull’intervallo A. Poiché f è una funzione polinomiale, essa risulta definita e continua sull’intervallo A = [-2, 3], e derivabile su (-2, 3). Pertanto, le ipotesi del teorema 1.1 sono pienamente soddisfatte.

La derivata prima di f è

\[f^\prime (x)=2x\quad \forall x \in (-2,3).\]

Procediamo ora a determinare il punto c \in (-2, 3) tale che f^\prime(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}, come enunciato dal teorema di Lagrange:

\[f^\prime(c) = \dfrac{f(3) - f(-2)}{3 + 2} \quad\iff\quad 4c + 1 = \dfrac{22 - 7}{5} \quad\iff\quad 4c = 2 \quad\iff\quad c = \dfrac{1}{2} \in (-2, 3).\]

Da quanto precede, possiamo concludere che il punto c è:

\[\boxcolorato{analisi}{c = \dfrac{1}{2}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f:D\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R}, \,f(x) = \vert x^2 - 1 \vert, dove D è il dominio massimale della funzione. Stabilire se valgono le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo A=\left[2,3\right]. In caso affermativo calcolare il punto o i punti di cui il teorema garantisce l’esistenza.

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