Numero di Nepero: esercizi sul limite notevole

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In questa raccolta proponiamo 30 esercizi su limiti di successioni da affrontare mediante l’utilizzo del limite notevole che definisce il numero di Nepero. Gli esercizi sono completamente risolti e offrono quindi una panoramica ampia delle casistiche possibile e delle tecniche da utilizzare, costituendo quindi una parte essenziale del pool di strumenti da cui lo studente può attingere nella soluzione di esercizi più complessi.

Oltre alle raccolte di esercizi

segnaliamo anche il materiale teorico di riferimento nell’articolo Definizione e proprietà del numero di Nepero e nella cartella di Teoria sulle successioni.
Buona lettura!

Sia

$b_n:\mathbb{N}\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb{R}$

la successione definita da

$b_n=\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n.$

Si definisce numero di Nepero

$\begin{equation*} e=\lim_{n \rightarrow +\infty}b_n \end{equation*}$

con $2<e<3$ .
In generale vale quanto segue: data una successione ${c_n}$ infinita per $n \rightarrow +\infty$ , vale che

(1) $\begin{equation*} e=\lim_{n \rightarrow +\infty }\left(1+\dfrac{1}{c_n} \right)^{c_n} \end{equation*}$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(2) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{2}{n}\right) ^n. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risoviamo (2) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{2}{n}\right) ^n & = \lim_{n \to +\infty} \left[ \left( 1+\dfrac{1}{\frac{n}{2}}\right) ^{\frac{n}{2}}\right]^2 = e^2. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{2}{n}\right) ^n=e^2.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(3) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^n. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (29) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^n & = \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^{n^2}\right) ^{\frac{1}{n}}=e^0=1. \end{aligned}$