Esercizi sulle successioni di funzioni

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sulle successioni di funzioni. In questo articolo presentiamo 42 esercizi su questo importante argomento, ordinati per difficoltà crescente. Gli esercizi sono corredati di una soluzione completa, per consentire al lettore di confrontare le sue soluzioni con quelle da noi riportate, e coprono ampiamente il programma relativo a questo tema svolto nei corsi universitari di Analisi Matematica per tutte le facoltà scientifiche.

La teoria necessaria è reperibile nell’articolo completo Successioni di funzioni – Teoria. Segnaliamo inoltre i seguenti articoli:

Sommario

Questa dispensa è una raccolta di esercizi riguardanti le successioni di funzioni. I problemi, di natura sia teorica che pratica, sono ordinati per difficoltà crescente e sono tutti completamente risolti. Essi presentano un ampio spettro di difficoltà e di tecniche, oltre a toccare la maggior parte degli argomenti relativi usualmente trattati in un corso di Analisi Matematica 2. Di numerosi esercizi vengono fornite più soluzioni alternative che utilizzano anche strumenti di non comune applicazione.

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi, Roberto Castorrini.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Chiara Bellotti, Nicola Fusco, Matteo Talluri.

Notazioni

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$\mathbb{N}$ : insieme dei numeri naturali positivi $\{1,2,\dots\}$

$\exp(x)$ : $e^x$

$\chi_A$ : funzione caratteristica dell’insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ , definita da

$\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \in A, \\ 0 & \text{se } x \notin A. \end{cases}$

Introduzione

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Questa dispensa è una raccolta di problemi risolti sulle successioni di funzioni e, in particolare, riguardanti la convergenza puntuale e uniforme. Essi coprono una parte abbastanza estesa dei relativi argomenti teorici e spesso sono presentate soluzioni alternative che fanno uso di strumenti a volte meno utilizzati.

Gli esercizi sono proposti in ordine di difficoltà crescente; invitiamo il lettore a cimentarsi anche con i più difficili prima di leggere le soluzioni riportate.

Come riferimento per la parte di teoria, rimandiamo il lettore alla dispensa Successioni di funzioni (teoria); ci riferiremo spesso ai risultati di tale volume (che abbiamo raccolto nella sezione 1 per comodità) nelle risoluzioni degli esercizi.

Richiami di teoria

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In questa sezione richiamiamo le definizioni principali e i teoremi che utilizzeremo nel seguito. Il lettore può riferirsi a Successioni di funzioni (teoria) per una trattazione completa degli argomenti. Riportiamo i teoremi senza dimostrazione, rimandando ai rispettivi punti in Successioni di funzioni (teoria) dove può trovarle.

Definizione 1 (convergenza puntuale). Dato $E \subseteq \mathbb{R}$ , data una successione di funzioni $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ e una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ , diciamo che $f_n$ converge puntualmente a $f$ se per ogni $x \in E$ la successione numerica $\big( f_n(x)\big)_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $f(x)$ , cioè se si ha:

(1) $\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty} f_n(x) = f(x) \qquad \forall x \in E. \end{equation*}$

Se $F \subseteq E$ , diciamo che $f_n$ converge puntualmente a $f$ in $F$ se e solo se

(2) $\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty} f_n(x) = f(x) \qquad \forall x \in F. \end{equation*}$

Definizione 2 (convergenza uniforme). Sia $E \subset \mathbb{R}$ , $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni e sia $f \colon E \to \mathbb{R}$ ; si dice che $f_n$ converge uniformemente a $f$ se, per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(3) $\begin{equation*} |f_n(x) - f(x))| < \varepsilon \qquad \forall n \geq N, \,\, \forall x \in E. \end{equation*}$

Se $F \subseteq E$ , diciamo che $f_n$ converge uniformemente a $f$ in $F$ se e solo se per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(4) $\begin{equation*} |f_n(x) - f(x))| < \varepsilon \qquad \forall n \geq N, \,\, \forall x \in F. \end{equation*}$

Il prossimo risultato consiste in una semplice caratterizzazione della convergenza uniforme e spesso si usa per mostrare che una successione converge uniformemente. Per una dimostrazione, rimandiamo il lettore a Successioni di funzioni (teoria), proposizione 3.7.

Proposizione 3 (caratterizzazione della convergenza uniforme). Sia $E \subset \mathbb{R}$ , $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni e sia $f \colon E \to \mathbb{R}$ ; allora $f_n$ converge uniformemente a $f$ se e solo se

(5) $\begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} \, \sup_{x \in E} \big\{ |f_n(x) - f(x)| \big\} = 0. \end{equation*}$

Un’altra caratterizzazione della convergenza uniforme, che può risultare comoda in quanto non fa uso esplicito del limite uniforme, è il seguente criterio. Per una dimostrazione, rimandiamo a Successioni di funzioni (teoria), proposizione 3.18.

Proposizione 4 (criterio di Cauchy per la convergenza uniforme). Sia $E \subset \mathbb{R}$ e sia $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni. Allora $f_n$ converge uniformemente a una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ se e solo se, per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(6) $\begin{equation*} \sup_{x \in E}|f_n(x) - f_m(x)| \leq \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N. \end{equation*}$

Il prossimo risultato è utile per mostrare che una successione di funzioni continue converge puntualmente ma non uniformemente al suo limite puntuale. Rimandiamo il lettore a Successioni di funzioni (teoria), teorema 3.19 per una dimostrazione.

Teorema 5 (limite uniforme di funzioni continue). Sia $E \subset \mathbb{R}$ e sia $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni continue convergente uniformemente alla funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ . Allora $f$ è una funzione continua.

Risulta spesso utile una generalizzazione del teorema precedente, dimostrata in Successioni di funzioni (teoria), teorema 3.22.

Teorema 6 (scambio di limiti per la convergenza uniforme). Sia $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni che converga uniformemente a una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \mathbb{R}$ un punto di accumulazione di $E$ . Se i limiti $\lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x)$ esistono per ogni $n \in \mathbb{N}$ , allora il limite $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$ esiste e inoltre vale

(7) $\begin{equation*} \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) %\Big( \lim_{n\to+\infty} f_n(x)\Big) = \lim_{n\to+\infty} \Big( \lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x) \Big). \end{equation*}$

Il seguente risultato afferma il fatto che, sotto ipotesi di convergenza uniforme, l’integrale del limite è pari al limite dell’integrale. Per una dimostrazione il lettore può riferirsi a Successioni di funzioni (teoria), teorema 3.28.

Teorema 7 (passaggio al limite sotto il segno di integrale). Sia $f_n\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni integrabili secondo Riemann che converga uniformemente a una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ . Allora $f$ risulta integrabile secondo Riemann e vale

(8) $\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty} \int_{a}^{b} f_n(x)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x. \end{equation*}$

Il teorema che segue mette in evidenza il collegamento tra la convergenza uniforme delle derivate $f_n'$ di una successione di funzioni, la convergenza uniforme delle $f_n$ e la derivabilità del limite delle $f_n$ . Una dimostrazione è in Successioni di funzioni (teoria), teorema 3.35.

Teorema 8 (limite uniforme di funzioni derivabili). Sia $f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni derivabili tali che la successione delle derivate prime $f_n'$ converga uniformemente a una funzione $g \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ ; supponiamo inoltre che esista $x_0 \in [a,b]$ e $y_0 \in \mathbb{R}$ tale che

(9) $\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} f_n(x_0) = y_0. \end{equation*}$

Allora esiste una funzione derivabile $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ tale che

$f_n$ converge uniformemente a $f$ ;
$f'=g$ .

Il prossimo teorema mostra che la convergenza puntuale di una successione $f_n$ di funzioni continue a una funzione $f$ continua, sotto ipotesi di monotonia della successione $f_n$ , è in realtà uniforme. Per una dimostrazione, si veda Successioni di funzioni (teoria), teorema 3.42.

Teorema 9 (piccolo teorema del Dini). Sia $f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione crescente di funzioni continue, cioè tale che

(10) $\begin{equation*} f_n(x) \leq f_{n+1}(x), \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \,\,\, \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

Si supponga inoltre che il limite puntuale $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ delle $f_n$ sia continuo. Allora $f_n$ converge uniformemente a $f$ . Analogo risultato vale se la successione $f_n$ è decrescente.

La stessa conclusione del teorema precedente vale sotto l’ipotesi che ogni funzione $f_n$ sia monotona: si veda Successioni di funzioni (teoria), teorema 3.44.

Teorema 10. Sia $f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni crescenti, cioè tali che

(11) $\begin{equation*} x \leq y \Longrightarrow f_n(x) \leq f_n(y) \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Supponiamo che $f_n$ converga puntualmente a una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ continua. Allora la convergenza di $f_n$ a $f$ è uniforme. Vale un analogo risultato se le funzioni $f_n$ sono decrescenti.

Definiamo ora i concetti di continuità uniforme, modulo di continuità e di equicontinuità, che sono centrali nella teoria delle funzioni continue. Per una discussione più approfondita, si veda Successioni di funzioni (teoria), sezione 3.3.2.

Definizione 11 (continuità uniforme, modulo di continuità). Sia $g \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ ; $g$ si dice uniformemente continua se esiste una funzione $\sigma \colon [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ , detta modulo di continuità di $g$ che soddisfi le seguenti condizioni:

$\sigma$ è monotona non decrescente;
$\lim_{\varepsilon \to 0}\sigma(\varepsilon) = \sigma(0) = 0$ ;
si ha
(12) $\begin{equation*} |g(x) - g(y)| \leq \sigma(|x-y|) \qquad \forall x,y \in [a,b]. \end{equation*}$

Definizione 12 (equicontinuità). Sia $X$ un insieme di funzioni (continue) definite sull’intervallo $[a,b]$ e a valori reali. $X$ si dice equicontinuo se esiste $\sigma \colon [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ tale che, per ogni $f \in X$ , $\sigma$ è un modulo di continuità per $f$ .

L’equicontinuità di una successione di funzioni è strettamente legata alle sue proprietà di convergenza uniforme. Riportiamo i seguenti fondamentali risultati, per una cui dimostrazione si rimanda a Successioni di funzioni (teoria), teoremi 3.56 e 3.65.

Teorema 13. Sia $f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni continue che converge puntualmente a una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ . Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

Le funzioni $f_n$ sono equicontinue;
$f_n$ converge uniformemente a $f$ .

Teorema 14 (Ascoli-Arzelà). Sia $f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni continue. Allora le due seguenti condizioni sono equivalenti:

le funzioni $f_n$ sono equilimitate e equicontinue;
da ogni sottosuccessione $f_{n_k}$ se ne può estrarre una convergente uniformemente.

Riportiamo inoltre la seguente definizione, usata in alcuni esercizi proposti.

Definizione 15. Una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ si dice avere la proprietà di Darboux o dei valori intermedi se, per ogni $x,y \in [a,b]$ tali che $x<y$ e per ogni $t$ compreso tra $f(x)$ e $f(y)$ , esiste $z \in [x,y]$ tale che $f(z)=t$ .

Osservazione 16. Equivalentemente, $f$ ha la proprietà di Darboux se e solo se l’immagine $f(I)$ di ogni intervallo $I \subseteq [a,b]$ è a sua volta un intervallo.

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni $f_n \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definite da

$f_{n}(x)=\frac{n+\cos x}{2 n+\sin ^{2} x} \qquad \forall n \in \mathbb{N},\,\, n\geq 1,\,\, \forall x \in \mathbb{R},$

Svolgimento.

Poiché $|\cos x|\leq 1$ e $0 \leq |\sin^2 x| \leq 1$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ , si ha

(13) $\begin{equation*} \frac{n-1}{2n+1} \leq f_n(x) \leq \frac{n+1}{2n} \qquad \forall n \in \mathbb{N},\,\, \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Dato che $\frac{n-1}{2n+1} < \frac{1}{2}< \frac{n+1}{2n}$ per ogni $n\in \mathbb{N}$ e per ogni $x \in \mathbb{R}$ , ponendo $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la funzione definita da $f(x)= \frac{1}{2}$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ , da (13) si ottiene

(14) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in\mathbb{R}} \left| f_n(x) - f(x) \right| \leq \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{n+1}{2n-1} - \frac{n-1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2}-\frac{1}{2} = 0. \end{equation*}$

Per la proposizione 3, $f_n$ converge uniformemente (e quindi anche puntualmente) in $\mathbb{R}$ alla funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che $f(x)= \frac{1}{2}$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Data una successione $a_n$ di numeri reali, si consideri la successione $f_n \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(15) $\begin{equation*} f_n(x) = a_n \chi_{[n,n+1)}(x) \qquad \forall n \in \mathbb{N},\,\, \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione $f_n$ in $\mathbb{R}$ .

Svolgimento.

Poiché $f_n(x)=0$ per ogni $x < n$ , si ha

(16) $\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Pertanto $f_n$ converge puntualmente alla funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ identicamente nulla.

Per la convergenza uniforme, osserviamo che

(17) $\begin{equation*} \sup_{x \in\mathbb{R}} |f_n(x)-f(x)| = a_n \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Pertanto, la convergenza di $f_n$ a $f$ è uniforme se e solo se $\lim_{n \to +\infty} a_n=0$ .

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni $f_n \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ definita da

$f_n(x) = x^n \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \,\, \forall x \in [0,1],$

nei seguenti insiemi:

nell’intervallo $[0,1]$ ;
nell’intervallo $[0,1)$ ;
negli intervalli del tipo $[0,\alpha]$ con $\alpha \in [0,1)$ .

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