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Serie numeriche: teoria, criteri di convergenza ed esercizi svolti

Teoria Serie numeriche

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In questo articolo presentiamo una guida completa alla teoria sulle serie numeriche. Il concetto di serie è una generalizzazione dell’operazione di somma, estesa al caso di infiniti addendi, il cui significato si basa sul concetto di limite delle sue somme parziali.

In questa dispensa studiamo in maniera approfondita tale importante tema dell’Analisi Matematica, concentrandoci sui seguenti aspetti:

  • Cos’è una serie numerica e in che modo consente di sommare infiniti addendi?
  • Come si calcolano le somme delle serie telescopiche e geometriche?
  • In cosa consistono i criteri di convergenza del confronto, del confronto asintotico, di condensazione, del rapporto e della radice e come si applicano?
  • Come si studiano le serie con termine generale di segno variabile e cosa sono i criteri della convergenza assoluta e di Leibnitz?
  • Come si possono moltiplicare tra loro due serie e come si studia la convergenza del prodotto?
  • Le serie numeriche possiedono una proprietà commutativa? In cosa consiste il riordinamento di una serie e cosa afferma il teorema del riordinamento di Riemann?

Ogni argomento viene corredato da numerosi esempi, con una sezione finale di esercizi svolti e ulteriori esercizi lasciati al lettore, costituendo un volume completo per chi desidera avere tutto il materiale a portata di mano. Un’esposizione coinvolgente che accresce la conoscenza e la comprensione di questo capitolo fondamentale dell’Analisi Matematica.

 

Serie numeriche: ulteriore materiale

Consigliamo la lettura del seguente materiale sulla teoria collegata:

Segnaliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi:

 

Teoria sulle serie numeriche: sommario

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In queste note enunciamo e dimostriamo i principali risultati della teoria delle serie numeriche. La presente dispensa ha il fine di supportare i corsi universitari di qualunque facoltà e si propone, in particolare, di sviluppare le competenze sull’argomento richieste dalle facoltà di matematica, fisica e ingegneria. La dispensa contiene una raccolta di esercizi svolti, suddivisi per argomento e ordinati per difficoltà.

 
 

Teoria sulle serie numeriche: autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Jacopo Garofali, Andrea Mazzolani

Revisori: Sara Sottile, Matteo Talluri.


 
 

Teoria sulle serie numeriche: prerequisiti

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In queste note si presuppone la conoscenza di alcuni concetti di base dell’analisi matematica, tra cui i numeri (naturali, interi, reali, complessi), il principio di induzione, il concetto di successione numerica e di limite di una successione. Inoltre, per la comprensione del teorema 52, è necessario che il lettore sia familare con la nozione di integrale di Riemann di una funzione reale di variabile reale. Infine, in molti esercizi facciamo uso degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari.

 
 

Teoria sulle serie numeriche: notazioni

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\mathbb{N}=\{ 0,1, \dots \}      Insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z}      Insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{R}      Insieme dei numeri reali;
\mathbb{C}      Insieme dei numeri complessi;
\displaystyle \sum_{n=N}^Ma_n=a_N+a_{N+1}+\dots + a_M      Somma di un numero finito di termini;
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n=a_1+a_{2}+\dots      Serie numerica di termine generale a_n;
\displaystyle \prod_{n=N}^{M}a_n=a_N\cdot a_{N+1}\cdot \dots \cdot a_M      Prodotto di un numero finito di termini;
\displaystyle \prod_{n=1}^{+ \infty}a_n=a_1\cdot a_2 \cdot \dots      Prodotto infinito di termine generale a_n;
|x|      Modulo di un numero x \in \mathbb{R} (risp. x \in \mathbb{C});
\sqrt[n]{x}      Radice n-esima un numero x \in \mathbb{R} (quando esiste);
n!      Fattoriale di un numero n \in\mathbb{N};
n!!      Doppio fattoriale di un numero n \in\mathbb{N};
e      Numero di Nepero;
\ln{x}      Logaritmo naturale di un numero x >0;
\sin{x}      Seno di un numero x \in \mathbb{R};
\cos{x}      Coseno di un numero x \in \mathbb{R};
\arctan{x}      Arcotangente di un numero x \in \mathbb{R};
\lim_{n\rightarrow +\infty}      Limite di una successione;
\limsup_{n\rightarrow +\infty}      Limite superiore di una successione;
\liminf_{n\rightarrow +\infty}      Limite inferiore di una successione;
o(1)      Simbolo di Landau o-piccolo di 1;
\sim      Relazione di asintotica equivalenza;
\int_a^b f(x)\,{\rm d}x      Integrale definito tra a e b di una funzione.


 
 

Teoria sulle serie numeriche: introduzione

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Le serie generalizzano l’operazione di addizione sui numeri reali nel caso in cui ad essere sommati siano un numero infinito di termini. I primi problemi che coinvolgono somme infinite risalgono all’antichità classica. Ad esempio, il noto “paradosso di Achille e la tartaruga”, spiegato nel dettaglio più avanti, rappresenta la tendenza del pensiero classico a trattare le somme infinite come un mero artificio. Il problema posto da questo paradosso viene risolto in termini moderni proprio grazie all’uso delle serie. Non è chiaro, a priori, se si possa dare un senso alla somma di infiniti termini. Uno dei problemi principali, quando si studia una serie, è quello di determinarne il carattere, ovvero quello di capire se, all’aumentare dei termini sommati, tale somma: si avvicina ad un numero reale (in questo caso, si parla di convergenza della serie); aumenta (o diminuisce) indefinitivamente (in questo caso, si parla di divergenza della serie); non accade nessuna delle due situazioni precedenti, cioè la serie non diverge ma neanche si avvicina ad un valore preciso all’aumentare dei termini sommati. Una domanda che spesso ci si pone, quando ci si approccia per la prima volta a questo argomento, è la seguente: com’è possibile che, sommando infiniti termini, si possa arrivare ad un risultato finito? Chiaramente, se sommiamo sempre lo stesso numero infinite volte, il risultato non sarà un numero finito. Se, però, aggiungiamo una quantità sempre più piccola, l’intuito ci suggerisce che il risultato potrebbe essere finito. Ad esempio, consideriamo un quadrato di lato 1 (e dunque di area pari a 1), come rappresentato in figura 1.

\[\quad\]

Teoria sulle serie numeriche figura 1

\[\quad\]

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Figura 1: quadrato di lato 1.

\[\quad\]

\[\quad\]

Immaginiamo di voler colorare il quadrato, i.e. coprire la sua area, in modo tale che si colori prima una metà, poi la metà della metà rimanente, e così via, come rappresentato nella figura 2.

\[\quad\]

Teoria sulle serie numeriche figura 2

\[\quad\]

Figura 2: esaustione del quadrato.

\[\quad\]

\[\quad\]

Ad ogni passo, rimane sempre una porzione di quadrato che non viene colorata, ma l’area di questa porzione si dimezza ad ogni passo. Intuitivamente, risulta chiaro che occorrono infiniti passi affinché il quadrato sia completamente riempito, e che alla fine di questo processo infinito l’area colorata sarà

(1) \begin{equation*} 1=\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \dots . \end{equation*}

Il metodo appena descritto è noto come metodo di esaustione. Nel seguito, cf. (5) e proposizione 18, daremo una dimostrazione formale dell’identità (1).

La teoria delle serie numeriche comincia già nell’antica Grecia, quando il più grande matematico del mondo antico, Archimede di Siracusa (287 a.C.-212 a.C.), utilizza il metodo di esaustione per calcolare l’area sottesa a un ramo di parabola. Per molto tempo l’idea che una somma infinita di numeri potesse produrre un valore finito fu considerata assurda. Abbiamo già citato il paradosso, dovuto al filosofo Zenone di Elea (489 a.C-431 a.C), noto come “paradosso di Achille e la tartaruga”. Achille “pié veloce” vuole raggiungere una tartaruga (nota per essere lenta) che si trova a una certa distanza da lui. I due cominciano a muoversi nello stesso istante. Achille, per raggiungerla, arriva con un balzo nel punto in cui è partita la tartaruga, la quale però, nel frattempo, si è mossa e nel momento in cui Achille ha compiuto il suo balzo, la tartaruga ha percorso una certa distanza. Allora, Achille, con un balzo, percorre quella stessa distanza. Tuttavia, nel frattempo, la tartaruga si è mossa ancora in avanti. Ripetendo questo ragionamento all’infinito, concludiamo che Achille non raggiungerà mai la tartaruga. Questo paradosso può essere superato facendo uso delle serie numeriche, cf. esercizio 1.

I primi tentativi di formalizzare il concetto di somma infinita di numeri risalgono al XVII secolo e sono attribuiti a James Gregory (1638-1695), Colin Maclaurin (1698-1746) e Brook Taylor (1685-1731). Leonhard Euler (1707-1783), con il suo lavoro sulle serie ipergeometriche, formalizza le prime proprietà delle serie numeriche, lavoro che fu poi completato da Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), che ad oggi è considerato il padre della moderna teoria. Tra i matematici che hanno dato maggiore contributo alla teoria possiamo citare Leibniz, Cauchy, Dirichlet, Abel, Raabe, Kummer e molti altri.

La conoscenza delle serie numeriche costituisce la base per lo sviluppo in serie di potenze delle funzioni, cominciato in primo luogo con gli sviluppi intorno un punto ad opera di McLaurin e Taylor.

In conclusione, il concetto di serie numerica (insieme a quello di integrale1) è stato da sempre oggetto di studi e rappresenta quindi uno dei cardini dell’analisi matematica, trovando applicazioni in molti ambiti scientifici.

Nella sezione 1 diamo le prime definizioni ed enunciamo i risultati che seguono immediatamente da queste, e successivamente elenchiamo le principali proprietà delle serie numeriche. Nella sezione 2 introduciamo due tipi fondamentali di serie, quelle geometriche e quelle telescopiche. Successivamente, nelle sezioni 3 e 4, enunciamo e dimostriamo i più noti criteri di convergenza, prima per serie a termini non negativi, e poi per serie qualunque. A seguire, la sezione 5 è dedicata allo studio del prodotto di due serie, mentre nella sezione 6 vengono enunciati e dimostrati i principali risultati sul riordinamento di una serie. Le ultime due sezioni, 7 e 8, contengono una raccolta di esercizi, suddivisi per argomento e ordinati per difficoltà. La prima di tali sezioni è la più ampia, ed è completa di soluzione.

Infine, nella sezione Appendice A discutiamo i prodotti infiniti, mentre nella sezione Appendice B approfondiamo lo studio della serie armonica, definendo la costante di Eulero-Mascheroni.

   

  1. Si può dimostrare che questi due concetti sono strettamente collegati, ma ciò esula dallo scopo di queste note. ↩

 

La definizione di serie numerica

Introduzione.

Data una successione \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}, si può costruire la successione delle somme parziali associata, definita da

(1) \begin{equation*} S_n&\coloneqq \sum\limits_{k=0}^n a_k \qquad \forall\, n \in \mathbb{N}, \end{equation*}

cioè la somma dei primi n termini della successione, al variare di n \in \mathbb{N}.

Definizione 1 (serie numerica). La serie associata alla successione \{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}} si definisce come segue:

(2) \begin{equation*} \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n \coloneqq \lim_{n\rightarrow +\infty}\sum\limits_{k=0}^n a_k. \end{equation*}

Se il limite delle somme parziali (2) esiste finito, diciamo che la serie associata alla successione \{ a_n \} è convergente. Se, invece, tale limite esiste infinito, diciamo che la serie associata alla successione \{ a_n \} è divergente. Infine, se tale limite non esiste, diciamo che la serie associata alla successione \{ a_n \} è indeterminata.

\[\quad\]

Notiamo che la notazione \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n non deve essere interpretata come una somma di infiniti termini, ma come il limite delle somme parziali, cf. (2).

Dalla definizione 1 segue che nel caso in cui la serie sia non convergente possiamo distinguere tre casi:

\[\quad\]

  • Il limite \displaystyle S \coloneqq\lim_{n\rightarrow +\infty}S_n esiste e S=+\infty;

    •  

  • Il limite \displaystyle S \coloneqq \lim_{n\rightarrow +\infty}S_n esiste e S=-\infty;

    •  

  • Il limite \displaystyle S \coloneqq \lim_{n\rightarrow +\infty}S_n non esiste.

Nel primo caso si dice che la serie diverge positivamente, nel secondo caso si dice che diverge negativamente e nel terzo caso, come già detto, che è indeterminata.

Infine, diciamo che a_n è il termine generale della serie \displaystyle \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n.

Osservazione 2. La scelta di far partire la serie da n=0 è puramente arbitraria. Avremmo potuto scegliere un qualunque k_0 \in \mathbb{Z}, una successione \{ a_k \}_{k \geq k_0}, e definire la serie associata

(3) \begin{equation*} S=\sum_{k=k_0}^{+\infty}a_k \end{equation*}

in modo analogo2.

Osservazione 3. La definizione 1 si estende naturalmente al caso in cui \left\{ a_n \right\} è una successione di numeri complessi. Diremo allora che la serie

\[\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n\]

converge a \ell \in \mathbb{C} se vale

(4) \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow + \infty} \left\vert \sum\limits_{k=0}^{n}a_k -\ell\right\vert=0, \end{equation*}

mentre diremo che la serie diverge a \infty se la successione \left\{ \displaystyle \left\vert \sum\limits_{k=0}^{n}a_k \right\vert \right\} è illimitata. Infine, diremo che la serie è indeterminata se non esiste alcun \ell \in \mathbb{C} tale che valga (4).

Esempio di serie convergente

Anticamente si pensava che sommando infiniti termini positivi, il risultato fosse necessariamente +\infty. Se, per somme infinite, intendiamo il limite delle somme parziali, cf. definizione 1, ciò non è vero, come mostra il seguente esempio.

Consideriamo la serie a termini positivi

\[\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n.\]

Rappresentando i termini della serie come lunghezze, e suddividendo un segmento di lughezza unitaria in metà, e poi una delle metà ottenute di nuovo a metà, e così via, si vede facilmente che3

\[\begin{aligned} 1 &= \frac{1}{2} +{\frac{1}{2}} \nonumber \\ &= \frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{4} &&\nonumber \\ &= \frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{8} + \frac{1}{8} &&\nonumber \\ &= \frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} &&\nonumber \\ &= \frac{1}{2} +\frac{1}{4} + ...+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} +\left(\frac{1}{2}\right)^{n} +\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k+\left(\frac{1}{2}\right)^n && \forall\, n >1\label{eq:1=geometrica} \end{aligned}\]

Passando al limite per n\to+\infty si ha:

(5) \begin{equation*} \begin{split} 1 = \lim_{n\rightarrow+\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k+\left(\frac{1}{2}\right)^n = \sum\limits_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k. \end{split} \end{equation*}

Abbiamo dunque dimostrato che la serie \displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n converge al valore S=1.

Esempio di serie divergente

Abbiamo visto che una serie \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}a_n si dice divergente se la successione delle somme parziali di \{ a_n \} è divergente.

Per esempio:

\[\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}k \geq \sum_{k=1}^{n}1 = \underbrace{(1+1+1+\dots+1)}_{\rm n \; volte}= n \to +\infty \qquad \mbox{per }n \to +\infty. \end{aligned}\]

Esempio di serie indeterminata

Abbiamo visto che una serie \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}a_n si dice indeterminata se la successione delle somme parziali di a_n è indeterminata.

Per esempio, consideriamo la serie \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k. Le successione S_n delle somme parziali vale:

\[\begin{aligned} \forall\, n \in \mathbb{N}\qquad S_n = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k = \left\{\begin{array}{cc} 1,& \text{se $n$ è pari}; \\ 0,& \text{se $n$ è dispari}. \end{array} \right. \end{aligned}\]

Dato che le sottosuccessioni di indice pari e dispari della successione delle somme parziali S_n hanno limite diverso, S_n non ha limite, ovvero la serie è indeterminata.

  1. Si noti che tale scrittura (3) non è affatto più generale di (2), in quanto si può ottenere una dall’altra con il cambio di indici k=n+k_0. ↩
  1. Tale fatto si può formalizzare facilmente con il principio di induzione. ↩

Proprietà fondamentali delle serie.

Proposizione 4 (condizione necessaria per la convergenza). Sia \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n una serie convergente. Allora, il suo termine generale è infinitesimo, i.e. si ha

\[\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0.\]

\[\quad\]

Dimostrazione. Sia S=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}S_n \in \mathbb{R}, dove \left\{ S_n \right\} è definita da (1). Notiamo che

(6) \begin{equation*} a_n= \sum_{k=0}^n a_k \ - \sum_{k=0}^{n-1} a_k=S_n-S_{n-1}, \quad \forall\,n \geq 1. \end{equation*}

Passando al limite per n \to +\infty in (6), e sfruttando i teoremi algebrici sui limiti, cf. [9, pag. 49], si ha

\[\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}a_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left(S_n-S_{n-1}\right) \overset{\clubsuit}{=}\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}S_n-\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}S_{n-1} = S-S = 0,\]

dove in \clubsuit abbiamo usato l’ipotesi di convergenza della successione \left\{ S_n \right\}.

Esempio 5. Studiamo il carattere della seguente serie

(7) \begin{equation*} \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n^3+1}{n(n+2)^2}. \end{equation*}

Osserviamo che

\[\lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{n^3+1}{n(n+2)^2}=1,\]

dunque la serie non converge perché non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza, i.e. il termine generale non è infinitesimo. Seguirà dal lemma 7 che, poiché la serie data è a termini positivi, essa diverge positivamente.

Terminologia. Una serie \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n si dice serie a termini di segno costante se la successione \left\{ a_n \right\} è a termini di segno costante, i.e. a_n \geq 0 \quad \forall \, n \in \mathbb{N} (serie a termini non negativi) oppure a_n \leq 0 \quad \forall \, n \in \mathbb{N} (serie a termini non positivi), altrimenti si dice serie a termini di segno variabile.

Una serie della forma \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\,a_n con a_n \geq 0 \;\forall \, n \in \mathbb{N} si dice serie a segno alterno.

Prima di enunciare il prossimo risultato, richiamiamo la seguente definizione.

Definizione 6 (proprietà definitive). Sia \{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R} una successione e sia \mathcal{P} una proprietà sull’insieme \mathbb{R}. Diciamo che la successione gode definitivamente della proprietà \mathcal{P} se esiste n_0\in \mathbb{N} tale che a_n gode della proprietà \mathcal{P} per ogni n\geq n_0. In formule:

\[\mathcal{P}\left( \{ a_n \} \right) \quad \mbox{definitivamente} \quad \iff \quad \exists n_0 \in \mathbb{N} : \quad \mathcal{P}(a_n)\quad \forall\, n\geq n_0.\]

Lemma 7 (convergenza delle serie a termini di segno costante). Le serie a termini di segno definitivamente non negativo (risp. non positivo) possono essere convergenti o divergenti positivamente (risp. negativamente), ma non indeterminate.

\[\quad\]

Dimostrazione. Per fissare le idee, consideriamo una serie \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n a termini definitivamente non negativi, e sia n_0>0 tale che a_n \geq 0 \quad \forall \,n\geq n_0. Dimostriamo che la successione delle somme parziali, cf. (1), è definitivamente non decrescente. Infatti, per ogni n\geq n_0, si ha

\[\begin{aligned} S_{n+1}\coloneqq \sum_{k=0}^{n+1}a_k =\left(\sum_{k=0}^{n}a_k\right)+a_{n+1} = S_n+a_{n+1}\geq S_n. \label{eq:an>=0 ->Sn non decresce}\end{aligned}\]

Dunque S_{n+1}\geq S_n \quad \forall \, n \geq n_0.

Allora, per il teorema delle successioni monotone, cf. [4, pag. 71], si ha che

(8) \begin{equation*} \exists \; S = \lim_{n \rightarrow + \infty} S_n \in \mathbb{R} \cup\left\{ +\infty \right\}. \end{equation*}

Se la serie di partenza è a termini definitivamente non positivi, la dimostrazione è analoga. Osserviamo, infine, che rimuovendo la parola definitivamente, cioè, assumendo la serie a termini non negativi (risp. non positivi), si conclude che il limite S in (8) è non negativo (risp. non positivo).

Osservazione 8. Dalla dimostrazione precedente, deduciamo che una serie a termini di segno definitivamente costante converge se e solo se la successione delle somme parziali è limitata.

Il carattere di una serie non cambia se non vengono considerati un numeri finito di termini. Prima di enunciare questo risultato, ricordiamo un fatto elementare sulle successioni.

Lemma 9. Due successioni che differiscono definitivamente di una costante hanno lo stesso carattere.

\[\quad\]

Dimostrazione. Sia c \in \mathbb{R}, \,n_0\in \mathbb{N} tale che per ogni n \geq n_0 si ha a_n = b_n + c. Distinguiamo due casi.

\[\quad\]

  • Primo caso. Supponiamo che esista \displaystyle b=\lim_{n\to+\infty}b_n \in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}. Allora, dai teoremi algebrici sui limiti, cf. [9, pag. 49], si ha

    \[\exists \lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}(b_n + c)=b+c.\]

    •  

  • Secondo caso. Supponiamo che non esista \displaystyle\lim_{n\to+\infty}b_n. Se per assurdo esistesse \displaystyle a = \lim_{n\to+\infty}a_n, dai teoremi algebrici sui limiti, avremmo

    \[\displaystyle\lim_{n\to+\infty}b_n = \displaystyle\lim_{n\to+\infty}(a_n-c) = a-c,\]

    cioè esisterebbe \displaystyle\lim_{n\to+\infty}b_n in contrasto con l’ipotesi.

Corollario 10. Sia \{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R} una successione. Per ogni p >0, le serie

\[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=p}^{+\infty}a_n\]

hanno lo stesso carattere.

\[\quad\]

Dimostrazione. Le somme parziali

\[S_n= \sum_{k=0}^{n}a_k\quad \mbox{e} \quad S'_n= \sum_{k=p}^{n}a_k, \quad n \geq p\]

differiscono per una costante, infatti

\[S_n-S'_n=\sum_{k=0}^{p-1}a_k.\]

Dunque, per il lemma 9 le due successioni delle somme parziali (e quindi, per definizione, le due serie) hanno lo stesso carattere.

Corollario 11. Siano \{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}},\{ b_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R} due successioni che coincidono definitivamente. Allora, le serie

\[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=0}^{+\infty}b_n\]

hanno lo stesso carattere.

\[\quad\]

Dimostrazione. Basta considerare n_0\in \mathbb{N} tale che a_n=b_n per ogni n\geq n_0 e applicare il corollario 10 con p=n_0.

Proposizione 12 (criterio di Cauchy per le serie). La serie \displaystyle \sum_{n =0}^{+\infty}a_n converge se e solo se:

(9) \begin{equation*} \forall \,\varepsilon > 0\quad \exists N_\varepsilon \geq 0: \quad \forall \,m > N_\varepsilon, \; \forall\, p > 0\quad \left\vert \sum_{k=m+1}^{m+p}a_k \right \vert <\varepsilon. \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Sia \displaystyle S_n= \sum_{k=0}^{n}a_k la successione delle somme parziali. Ricordiamo4 che una successione converge se e solo se è di Cauchy5, cf. [3], [11]. Quindi, \{ S_n \} converge se e solo se

(10) \begin{equation*} \forall \varepsilon >0 \quad \exists N_\varepsilon\geq0:\quad \forall n\geq m>N_\varepsilon,\,\,\left \vert \sum_{k=0}^{n}a_k-\sum_{k=0}^{m}a_k\right \vert<\varepsilon, \end{equation*}

Per n \geq m possiamo scrivere

(11) \begin{equation*} \left \vert \sum_{k=0}^{n}a_k-\sum_{k=0}^{m}a_k\right \vert=\left \vert \sum_{k=0}^{m}a_k+ \sum_{k=m+1}^{n}a_k-\sum_{k=0}^{m}a_k\right \vert=\left \vert \sum_{k=m+1}^{n}a_k \right \vert, \end{equation*}

da cui ponendo n-m=p\in\mathbb{N} si ottiene la seguente condizione, equivalente alla convergenza della serie,

(12) \begin{equation*} \forall \varepsilon >0 \quad \exists N_\varepsilon\geq0: \quad \forall m>N_\varepsilon,\,\,\forall p \geq 0 \quad \left \vert \sum_{k=m+1}^{m+p}a_k \right \vert <\varepsilon. \end{equation*}

Lemma 13. Sia \sum_{n=1}^{+\infty}a_n una serie convergente. Allora, per ogni \alpha \in \mathbb{R}, la serie \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n) converge, e si ha

(13) \begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)=\alpha\sum_{n=0}^{+\infty}a_n. \end{equation*}

Se, invece, la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n diverge, allora \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n) diverge per ogni \alpha \neq 0.

\[\quad\]

Dimostrazione. Sia \displaystyle \left\{ S_n \right\} definita da (1) e notiamo che

(14) \begin{equation*} \tilde{S}_n\coloneqq \sum_{k=0}^{n}(\alpha \, a_k)= \alpha\sum_{k=0}^{n}a_k =\alpha S_n. \end{equation*}

Passando al limite per n \to + \infty in (14), e sfruttando l’ipotesi che \displaystyle \lim_{n\to+\infty}S_n esiste finito, si ottiene la prima parte della tesi. Per la seconda parte, il procedimento è analogo. Notiamo che, se \alpha=0, abbiamo \alpha \,a_k=0 per ogni k\in\mathbb{N}, e quindi la serie corrispondente a \alpha=0 è nulla.

Il prossimo risultato mette in relazione la serie corrispondente alla somme di due successioni, con la somma delle serie corrispondenti.

Lemma 14. Siano date le serie \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n e \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n. Allora,

\[\quad\]

  • se entrambe le serie convergono, anche la serie \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n) converge e si ha

    \[\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\left(a_n+b_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n+\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n;\]

    •  

  • se entrambe le serie divergono positivamente (risp. negativamente), oppure se una diverge positivamente (risp. negativamente) e l’altra converge, allora la serie \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n) diverge positivamente (risp. negativamente).

\[\quad\]

Dimostrazione. Consideriamo le successioni delle somme parziali:

\[A_n=\sum_{k=0}^{n}a_k, \quad B_n=\sum_{k=0}^{n}b_k \qquad \forall\,n \in \mathbb{N}.\]

Per la proprietà commutativa della somma, si ha:

\[A_n+B_n=\sum_{k=0}^{n}a_k+\sum_{k=0}^{n}b_k=\sum_{k=0}^{n}\left(a_k+b_k\right)\qquad \forall\,n \in \mathbb{N}.\]

Passando al limite per n\to+\infty, e applicando le proprietà dei limiti, si ottiene la tesi.

 

  1. Questo fatto è noto come completezza dei numeri reali. ↩
  1. Una successione \left\{ a_n\right\}_n è di Cauchy se \forall\, \varepsilon >0 \;\exists \, N_{\varepsilon}>0 : n,\,m\,> N_{\varepsilon} \Rightarrow |a_n-a_m|<\varepsilon. ↩

 

Serie geometrica e serie telescopiche

Introduzione.

Solitamente, delle serie si studia il carattere, e difficilmente si riesce a calcolare la somma. In questa sezione riportiamo due tipologie di serie per cui la somma può essere calcolata.

Serie geometrica.

Richiamiamo la definizione di successione (o progressione) geometrica.

Definizione 15 (progressione geometrica). Una successione \{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R} si dice progressione geometrica se è costante il rapporto tra un termine della successione e il suo precedente (quando tale termine è definito). Tale rapporto viene detto ragione della progressione geometrica.

\[\quad\]

Segue subito dalla definizione6 che, detta x\in \mathbb{R} la ragione di una successione geometrica \{ a_n \}, si ha

(15) \begin{equation*} a_1=a_0x,\quad a_2=a_1x=a_0x^2, \dots, \quad a_n=a_{n-1}x=\dots=a_0x^n \qquad \forall\, n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

Definizione 16 (serie geometrica). Una serie \displaystyle S\coloneqq\sum_{n=0}^{+\infty}a_n si dice serie geometrica di ragione x se la successione \{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}} è una successione geometrica di ragione x e a_0=1. In altre parole, S è una serie geometrica se è della forma7

(16) \begin{equation*} S= \sum_{n=0}^{+\infty}x^n, \end{equation*}

per qualche x\in \mathbb{R}.

  1. Seppure 0^0 non è definito, in questo contesto si suole abusare di notazione e intendere che x^0=1 anche se x=0. ↩

\[\quad\]

Di seguito determiniamo il carattere della serie geometrica (16) al variare di x, dimostrando prima un risultato utile a tale scopo.

Lemma 17 (somma geometrica). Sia x \in \mathbb{R}. Allora, vale che:

\[\sum_{k=0}^nx^k=\begin{cases} \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x\phantom{h}}, \mbox{ se } x \neq 1;\\ \\ n+1, \mbox{ se } x = 1. \end{cases}\]

\[\quad\]

Dimostrazione. Sia \displaystyle S_n(x)\coloneqq \sum_{k=0}^nx^k. Il caso x=1 è immediato, in quanto S_n(1) si ottiene sommando lo stesso termine (i.e. 1) n+1 volte, quindi S_n(1) = n+1. Notiamo che, per ogni x \in \mathbb{R}, si ha

\[x S_n(x)= x\left(\sum_{k=0}^{n}x^k\right) = \sum_{k=0}^{n}x^{k+1} = \sum_{k=1}^{n+1}x^k= S_n(x)-x^0+x^{n+1},\]

da cui

\[\left(x-1\right)S_n(x)=x^{n+1}-1\]

cioè

\[S_n(x)=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x\phantom{h}} \qquad \forall \, x\neq 1.\]

La seguente proposizione è immediata conseguenza del lemma 17.

Proposizione 18 (carattere serie geometrica). Sia x \in \mathbb{R}. La serie geometrica di ragione x vale

(17) \begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}x^n =\begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, \qquad & \text{se } x \in (-1,1) ; \\\\ +\infty, \qquad & \text{se } x \in[1,+\infty);\\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \text{se } x \in(-\infty,-1]. \end{cases} \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Per determinare il carattere della serie utilizziamo la definizione, cf. definizione 1. Possiamo cioè calcolare il limite la successione delle somme parziali \displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n}x^k utilizzando il lemma 17.

Se x\neq 1, abbiamo:

(18) \begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}x^{n+1}=\begin{cases} 0, &\text{ se $|x|<1$}; \\\\ +\infty, &\text{ se $x>1$}; \\ \\ \text{indeterminata}, &\text{ se $x\leq-1$}, \end{cases} \end{equation*}

da cui, ricordando che S_n=n+1 per x=1, otteniamo:

\[\begin{aligned} \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}S_n =\begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, &\text{ se $|x|<1$} ;\\\\ +\infty ,&\text{ se $x\geq1$}; \\ \\ \text{indeterminata}, &\text{ se $x\leq-1$}. \end{cases} \end{aligned}\]

Osservazione 19. La serie geometrica si può facilmente calcolare a partire da un qualunque n_0\in \mathbb{N}, sfruttando la proposizione 18, ovvero possiamo calcolare

\[\displaystyle \sum_{n=n_0}^{+\infty}x^n.\]

Se \left \vert x \right \vert < 1 si ha che per ogni n_0 \in \mathbb{N}

\[\begin{aligned} \sum_{n=n_0}^{+\infty}x^{n}\,\,\,\,\overset{n-n_0=t}{=}\,\,\,\,\sum_{t=0}^{+\infty}x^{t+n_0}=x^{n_0}\sum_{t=0}^{+\infty}x^t=\dfrac{x^{n_0}}{1-x}. \end{aligned}\]

Approfondimento. Un modo per visualizzare la serie geometrica consiste nel considerare la seguente figura:

\[\quad\]

Teoria sulle serie numeriche figura 3

\[\quad\]

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Figura 3: visualizzazione della serie geometrica.

\[\quad\]

\[\quad\]

Costruiamo i rettangoli (in celeste, cf. figura 3) di base 1,q,q^2,q^3,\dots e altezza q,q^1,q^3,\dots con q<1. Osserviamo che tutti i triangoli rettangoli (in arancione, cf. figura 3) sono simili tra di loro perché i cateti sono in rapporto 1:1-q, poiché si ha:

\[\overline{AB}=1,\;\overline{AD}=q, \;\overline{BD}=1-q.\]

Notiamo che la lunghezza di del segmento AC è dato dalla serie geometrica di ragione q:

\[\overline{AC}=1+q+q^2+\dots\eqqcolon S.\]

Poiché i triangoli \overset{\bigtriangleup}{ABC} e \overset{\bigtriangleup}{DBE} sono simili, otteniamo la relazione

\[\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{DE}}{\overline{DB}},\]

ovvero

\[\dfrac{S}{1}=\dfrac{1}{1-q} \iff S=\dfrac{1}{1-q}.\]

 

  1. Applicando, ad esempio, il principio di induzione. ↩

Serie telescopiche.

Definizione 20 (serie telescopica). Una serie \displaystyle S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}a_n si dice telescopica (risp. non banale) se esiste una successione \{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}} tale che

(19) \begin{equation*} a_n = b_{n+1}-b_n \qquad (\mbox{risp. tale che } b_n \neq \sum_{k=0}^{n-1}a_k) \qquad \forall\, n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

\[\quad\]

Con il termine serie telescopica, solitamente si sottointende una serie telescopica non banale.

Data una serie telescopica, cf. (19), la successione delle somme parziali \{ S_n \} ha un’espressione esplicita in termini della successione \{ b_n \}.

Lemma 21 (somma telescopica). Sia \{ b_n \}\subset \mathbb{R} una successione. Allora, vale che

(20) \begin{equation*} \sum_{k=0}^{n}\left( b_{k+1}-b_k\right) = b_{n+1}-b_0. \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Basta notare che tutti i termini della somma compaiono due volte con il segno opposto, tranne il primo e l’ultimo:

(21) \begin{equation*} \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}\left( b_{k+1}-b_k\right) = & \left(\cancel{b}_{1}-b_0\right)+\left( \cancel{b_2}-\cancel{b_1} \right)...+\left(\cancel{b}_{n}-\cancel{b}_{n-1}\right) + \left(b_{n+1}-\cancel{b}_n\right)= b_{n+1}-b_0. \end{aligned} \end{equation*}

Proposizione 22 (carattere serie telescopica). Sia \displaystyle S= \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n) una serie telescopica, allora vale:

(22) \begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)= \begin{cases} \left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n \right)-b_0, \qquad & \mbox{se esiste } \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n; \\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \mbox{altrimenti}. \end{cases} \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Dal lemma 21, si ha

\[S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n}\left( b_{k+1}-b_k\right) =\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(b_n-b_0\right)=\left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n \right)-b_0.\]

Osservazione 23. Si poteva equivalentemente definire una serie telescopica di termine a_n come una serie tale per cui a_n=c_n - c_{n+1} per qualche successione \{ c_n \}. Ponendo c_n=-b_n, si vede che le due scritture sono equivalenti. Segue immediatamente dalla proposizione 22 che, nel caso in cui \lim\limits_{n \rightarrow \infty}c_n esista, si ha

(23) \begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}(c_{n}-c_{n+1})= c_0 - \left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}c_n \right). \end{equation*}

L’utilità di una o dell’altra scrittura dipende dal contesto.

Osservazione 24. Segue immediatamente dal lemma 21. e dalla proposizione 22 che

(24) \begin{equation*} \sum_{k=n_0}^{n}\left( b_{k+1}-b_k\right) =b_{n+1}- b_{n_0 }\quad \mbox{e}\quad S\coloneqq \sum_{n=n_0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)= \left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n \right)-b_{n_0}, \end{equation*}

nel caso in cui quest’ultimo limite esista.


Esempi.

Esempio 25. La serie

(25) \begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}2^n \end{equation*}

diverge positivamente.

Infatti, applicando la (17) con x=2 >1, otteniamo che la serie diverge a +\infty.

Esempio 26. Dimostriamo che la serie

(26) \begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{e}\right)^n \end{equation*}

è convergente, e calcoliamone la somma.

Applicando la (17), otteniamo

\[S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{e}\right)^n=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{e}}=\dfrac{e}{e-1}.\]

Esempio 27. La serie

(27) \begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\left(-2\right)^n \end{equation*}

è indeterminata.

Infatti, applicando la (17) con x=-2 < -1, otteniamo che la serie è indeterminata.

Esempio 28 (serie di Mengoli). Dimostriamo che la serie

(28) \begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} \end{equation*}

è convergente, e calcoliamone la somma.

Questa serie è telescopica. Infatti, possiamo riscrivere il termine generale come

\[\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}.\]

Applicando (23), otteniamo

\[\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(n+1)}= \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right) = 1-\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\dfrac{1}{n} \right)=1.\]

Esempio 29. La serie

(29) \begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\log\left(\frac{n+1}{n}\right) \end{equation*}

è divergente.

Infatti, notiamo che la serie data è telescopica in quanto possiamo riscrivere il termine generale come

\[\log\left(\dfrac{n+1}{n}\right)=\log\left(n+1\right)-\log\left(n\right).\]

Applicando (22), otteniamo

\[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}\log\left(\dfrac{n+1}{n}\right)&= \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\log\left(n+1\right)-\log\left(n\right)\right)=\\ &=\left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\log\left(n+1\right) \right)-\log\left(1\right)= +\infty. \end{aligned}\]

Esercizio 1. Consideriamo il paradosso di Achille e la tartaruga spiegato nell’introduzione. Supponiamo che la distanza iniziale della tartaruga sia di 2 metri, la velocità della tartaruga sia di 1 metro al secondo e quella di Achille il doppio di quella della tartaruga. Dopo quanti metri Achille raggiunge la tartaruga? In quanto tempo?

\[\quad\]

Svolgimento. La velocità di Achille è di 2 metri al secondo. Dunque, poiché al tempo “t_0=0\; \mbox{s}” la distanza è “d_0=2\; \mbox{m}”, al tempo “t_1=1\; \mbox{s}” Achille raggiunge la posizione iniziale della tartaruga. Nel frattempo, la tartaruga ha percorso “d_1=1\; \mbox{m}”. Per raggiungere la posizione in cui si trova la tartaruga al tempo t_1, Achille impiega “t_2=0.5\; \mbox{s}”, e in quel lasso di tempo la tartaruga percorre “d_2=0.5\; \mbox{m}”. Ragionando per induzione, e utilizzando la proposizione 18, si trova che la distanza che Achille deve percorrere per raggiungere la tartaruga è

\[d_0+d_1+d_2+ \dots= 2+ 1+ \frac{1}{2}+ \dots= 2+ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=2+2=4 \; \mbox{m}.\]

Il tempo che impiega è di

\[t_1+t_2+ \dots= 1+ \frac{1}{2}+ \dots= \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=2\; \mbox{s}.\]


 

Criteri di convergenza per serie numeriche a termini non negativi

Introduzione.

In questa sezione raccogliamo i principali risultati che riguardano le serie a termini non negativi.

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