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Teoria sulle funzioni

Funzioni elementari, Teoria sulle Funzioni: Concetti Fondamentali e Proprietà

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Il concetto di funzione è forse il più importante di tutta la Matematica e la sua comprensione è un requisito essenziale per affrontare con successo lo studio di questa disciplina.

In questo articolo ci focalizziamo sulle seguenti domande tipiche riguardanti questo fondamentale argomento.

  • Qual è il significato di funzione?
  • Cosa significano le proprietà di iniettività, suriettività e biettività, e cosa sono le funzioni inverse?
  • Cosa significano le operazioni di somma, prodotto, composizione e restrizione?
  • Come si rappresentano graficamente le funzioni nel piano cartesiano e come cambiano tali grafici effettuando operazioni elementari?
  • Cosa sono i concetti di simmetria (funzioni pari o dispari), limitatezza, monotonia e periodicità?
  • Studio di una funzione: come si individua il suo insieme di definizione? Come se ne determina il segno? E come tracciarne un grafico approssimativo?

Se desideri comprendere questi concetti leggendo spiegazioni chiare, brevi, illustrate da esempi e grafici, non devi fare altro che cominciare la lettura!

Segnaliamo anche gli altri volumi della raccolta sulle funzioni elementari, oltre agli altri articoli collegati:

 

Sommario

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Questa dispensa è una gentile introduzione alla teoria delle funzioni reali di variabile reale. In queste note definiamo in maniera ampia il concetto di funzione, per poi specializzarci allo studio del grafico di una funzione reale di variabile reale, analizzando le principali proprietà di tali funzioni. Il lettore avrà modo di familiarizzare con la teoria attraverso numerosi esempi, grafici ed esercizi guidati. La trattazione non si propone di essere rigorosa ed autocontenuta, e talvolta siamo costretti a rimandare a trattazioni successive, o alla lettura di altri testi, per una definizione rigorosa delle funzioni trattate.

 

Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.

 

Prerequisiti

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Questo testo è pensato per un ampio pubblico e prevede i seguenti requisiti minimi: la logica elementare (implicazione, equivalenza), la definiziona intuitiva di insieme, le operazioni tra insiemi (unione, intersezione, prodotto cartesiano), e infine la definizione e le proprietà degli insiemi numerici più comuni.

Per una piena comprensione degli esempi riportati, è necessaria la conoscenza delle funzioni elementari più comuni: potenze, radici, esponenziali, logaritmi, seno e coseno.

 

Notazioni

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\emptyset      insieme vuoto
\mathbb{N}\coloneqq \{ 1,2, \dots \}      insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z}      insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}      insieme dei numeri interi non negativi;
\mathbb{Z^*}=\mathbb{Z}\setminus\{0\}      insieme dei numeri interi non nulli;
\mathbb{Q}      insieme dei numeri razionali;
\mathbb{R}      insieme dei numeri reali;
\mathbb{C}      insieme dei numeri complessi;
\mathbb{R^+}\coloneqq (0,+\infty)      insieme dei numeri reali positivi, cf. definizione 2.62
\mathbb{R^+}_0\coloneqq [0,+\infty)      insieme dei numeri reali non negativi, cf. definizione 2.62
\mathbb{R^-}\coloneqq (-\infty,0)      insieme dei numeri reali negativi, cf. definizione 2.62
\mathbb{R^-}_0\coloneqq (-\infty,0]      insieme dei numeri reali non positivi, cf. definizione 2.62
\mathbb{R^*}\coloneqq \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}      insieme dei numeri reali non nulli;
\# E      cardinalità dell’insieme E;
A \times B      prodotto cartesiano degli insiemi A e B;
\mathbb{R}^2\coloneqq \mathbb{R} \times \mathbb{R}      piano cartesiano, i.e. prodotto cartesiano di \mathbb{R} con sè stesso;
f \colon E \to F      funzione da E a F; definizione 1.1
f \colon x \in E\mapsto f(x) \in F      funzione da E a F, cf. definizione 1.1
{\rm Dom} (f)      dominio della funzione f, cf. definizione 1.1
\Gamma_f      grafico della funzione f, cf. definizione 1.2
f(A)      immagine dell’insieme A tramite f, cf. definizione 1.6
{\rm Im}( f)      immagine della funzione f, cf. definizione 1.6
f^{-1}(B)      controimmagine dell’insieme B tramite f, cf. definizione 1.11
g \circ f      composizione delle funzioni g e f, cf. definizione 2.16
{\rm Id}_E      funzione identità di E, cf. definizione 2.18
f|_{E'}, f|^{F'}, f|_{E'}^{F'}      restrizioni di f, cf. definizione 2.29
f^{-1}      funzione inversa di f, cf. definizione 2.22 e proposizione 2.23
f+g, fg      rispettivamente somma e prodotto delle funzioni f,g, cf. definizioni 2.10 e 2.13
M(E), m(E)      rispettivamente insieme dei maggioranti e dei minoranti dell’insieme E, cf. definizione 2.63
\max E, \min E      rispettivamente massimo e minimo dell’insieme E, cf. definizione 2.69
\sup E, \inf E      rispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore dell’insieme E, cf. definizione 2.76
\max f, \min f      rispettivamente massimo e minimo della funzione f, cf. definizione 2.82
\sup f, \inf f      rispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore della funzione f, cf. definizione 2.82
\max_A f, \min_A f      rispettivamente massimo e minimo della funzione f sull’insieme A, cf. definizione 2.82
\sup f, \inf f      rispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore della funzione f sull’insieme A, cf. definizione 2.82
\mathbb{T}(f)      insieme dei periodi della funzione f, cf. definizione 2.51
T_0(f)      periodo minimo della funzione f, cf. definizione 2.53
-E=\left\{ -x:x\in E \right\}      opposto di un insieme E \subset \mathbb{R}.


 
 

Introduzione

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Lo scopo di queste note è fornire gli strumenti minimi necessari alla comprensione del concetto di funzione reale di variabile reale, descrivendone le proprietà principali, illustrate attraverso i grafici di alcune funzioni fondamentali.

Il concetto di funzione risale almeno al 1667, e sembra dovuto all’astronomo e matematico scozzese James Gregory (1638-1695). Fu successivamente reintrodotto dal matematico tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716) nel 1673, il quale usò per la prima volta il termine “funzione” nei suoi studi sulle curve differenziabili. Nei tre secoli successivi sono state date diverse definizioni di funzione. Una che si avvicina molto a quella odierna è la seguente, fornita dal matematico bourbakista Jean Alexandre Eugène Dieudonné nel 1939:

“Siano E e F due insiemi distinti o no. Una relazione fra una variabile x di E e una variabile y di F è detta relazione funzionale di E verso F, se, qualunque sia x in E, esiste un elemento y di F, e uno solo, che stia nella relazione considerata con x. Si dà il nome di funzione all’operazione che così associa ad ogni elemento x di E l’elemento y di F che si trova nella relazione data con x; si dice che y è il valore della funzione per l’elemento x e che la funzione è determinata dalla relazione funzionale considerata.”.

In parole più semplici, possiamo dire che una funzione f è una relazione tra due insiemi E ed F che prende in input un elemento x che appartiene ad E e dà come output un elemento y=f(x) che appartiene ad F. L’insieme dei valori ammissibili che f può prendere come input, ovvero l’insieme E, è detto il dominio di f, mentre l’insieme che dei possibili valori restituiti da f, ovvero F, è detto codominio. A breve daremo una definizione precisa di questi due concetti.1

Lo studio di una funzione dipende fortemente dagli insiemi E,F in questione, e per insiemi astratti può risultare molto complicato. Una classe di funzioni ampiamente studiata è quella in cui gli insiemi E,F sono insiemi numerici. Ricordiamo che gli insiemi numerici che tipicamente si considerano sono2

\[ $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$. \]

In queste note considereremo sempre E,F \subseteq \mathbb{R}. Per questa ragione, la nostra analisi sarà limitata allo studio di funzioni reali (il codominio è un sottoinsieme di \mathbb{R}) di variabile reale (il dominio E è un sottoinsieme di \mathbb{R}).

Concludiamo questa introduzione con un breve sommario della dispensa:

\[\quad\]

  • Nella sezione 1 definiamo formalmente il concetto di funzione, forniamo alcuni esempi e presentiamo il concetto di immagine e controimmagine, che descrivono come agisce una certa funzione relativamente a sottoinsiemi del dominio e del codominio.

    •  

  • Nella sezione 2 introduciamo i primi elementi fondamentali per lo studio del grafico di una funzione: diamo alcune motivazioni di tale studio e presentiamo nel dettaglio i concetti di insieme di definizione e di studio del segno di una funzione. Infine, diamo una guida operativa per tale studio.

    •  

  • Nella sezione 3 presentiamo delle proprietà generali delle funzioni, quali iniettività, suriettività e biettività, composizione, restrizione, invertibilità, e a proprietà specifiche di funzioni reali e/o di variabile reale: somma e prodotto, simmetrie, periodicità, limitatezza e monotonia.
  1. Notare che il codominio contiene i valori restituiti da f, ed è dunque in generale un insieme più grande. Si veda più avanti il concetto di immagine di f e quello di suriettività. ↩
  1. Questi sono gli insiemi di numeri più comuni, ma si possono tuttavia estendere ancora i numeri complessi ottenendo i quaternioni \mathbb{H}, che possono essere estesi ancora per definire gli ottonioni \mathbb{O}, ecc… ↩

 

La definizione di funzione

Introduzione.

Diamo ora una definizione rigorosa di funzione, cf. [5, Definizione 2.1].

Definizione 1.1. Dati due insiemi E,F, una funzione f:E\to F è una relazione tra gli insiemi E e F, tale che ad ogni elemento x\in E si associa uno e un solo elemento y\coloneqq f(x)\in F, detto immagine di x tramite f.

Formalmente, una funzione f:E\to F si definisce come un sottoinsieme f \subset E \times F, tale che

(1) \begin{equation*} \forall \, x \in E \quad \exists \,! y \in F \; \mbox{ tale che } (x,y) \in f. \end{equation*}

Tramite la proprietà (1), dato x \in E, l’unico elemento y\in F tale che (x,y)\in f è l’immagine di x tramite f, i.e. y=f(x).

L’insieme E è detto dominio di f e si denota a volte con {\rm Dom}(f), mentre l’insieme F è detto codominio di f.

Se f è una funzione da E a F, si scrive

(2) \begin{equation*} f \colon E\to F, \qquad \text{oppure} \qquad f \colon x \in E \mapsto f(x) \in F, \end{equation*}

se si vuole indicare anche come f agisce sugli elementi del dominio.

\[\quad\]

Una funzione f: E \to F è dunque una relazione tra gli insiemi E e F, che pensiamo come una “freccia” tra i due insiemi: da ogni elemento dell’insieme di partenza E parte una e una sola freccia verso un elemento dell’insieme di arrivo F, come rappresentato nella figura 1 (a destra). Vogliamo sottolineare che la definizione formale di una funzione f: E \to F richiede che essa sia un sottoinsieme di E \times F con la proprietà (1). In quanto sottoinsieme, essa coincide con l’insieme comunemente detto il “grafico” della funzione f.

Definizione 1.2 (grafico di una funzione). Data una funzione f:E\to F, il grafico di f è l’insieme dato da

(3) \begin{equation*} \Gamma_f\coloneqq \{ (x,f(x)): x \in E \} \subset E \times F, \end{equation*}

\[\quad\]

Sebbene il modo più rigoroso per definire una funzione sia quello di identificarla con il suo grafico (3), si utilizza una notazione specifica per il grafico, e si pensa una funzione f:E \to F come una “ricetta” per associare ad un elemento di E un elemento di F, piuttosto che come un insieme.

Nella figura seguente (figura 1), la relazione (a sinistra) tra gli insiemi E ed F definita dalle frecce nere non è una funzione, poiché ad un elemento di E è associato più di un elemento di F (nell’insieme E c’è un elemento da cui parte più di una freccia, contrariamente alla definizione di funzione), mentre la relazione tra gli insiemi E' ed F' definita dalle frecce nere (a destra) è una funzione.

\[\quad\]

\[\quad\]

Figura 1: esempio di relazione tra insiemi che è una funzione (destra) e che non è una funzione (sinistra).

\[\quad\]

\[\quad\]


Esempi.

In questa sezione presentiamo una serie di esempi di funzioni.

Esempio 1.3 (funzioni lineari). Sia f \colon [1,+\infty) \to [0, + \infty) definita da

(4) \begin{equation*} f(x)= \frac{1}{2}x \qquad \forall x \in [1,+\infty). \end{equation*}

Verifichiamo che quella data è una funzione. A ogni x \in [1,+\infty) si può associare il valore \frac{1}{2}x, e il risultato di tale operazione è unico. Inoltre, poiché moltiplicare per un numero positivo non cambia la relazione d’ordine, abbiamo che

\[x \geq 1 \quad \iff \quad \frac 1 2 x \geq \frac 1 2 \geq 0.\]

Per ogni elemento x del dominio risulta quindi definita univocamente la sua immagine f(x), pertanto f è una funzione avente dominio {\rm Dom} (f) = [1,+\infty) e codominio [0, + \infty).

Osserviamo che, mentre l’elemento y={2} del codominio è immagine tramite f del numero x = 4, l’elemento \dfrac1 4 del codominio non è immagine di alcun elemento x \in {\rm Dom}( f). Infatti, si ha

(5) \begin{equation*} \frac{1}{2} x =\frac 1 4 \quad \iff \quad x =\frac 1 2. \end{equation*}

Ciò ovviamente non contraddice la definizione 1.1, cf. figura 1.

Per avere un’idea di come è fatto il grafico di f come un sottoinsieme del piano \mathbb{R}^2, cf. 1.2, scegliamo qualche valore della variabile indipendente x e determiniamo il corrispondente valore della variabile dipendente y, riassumendo i nostri calcoli in una tabella:

(6) \begin{equation*} \begin{tabular}{|l|c|r|} \hline $x$ & $f(x)= \frac 1 2 x$\\ \hline 1 & $ \frac 1 2$ \\ \hline 2 & 1 \\ \hline 3 & $\frac{3}{2}$ \\ \hline 4 & 2\\ \hline 5 & $\frac 52$ \\ \hline \end{tabular} \end{equation*}

Il grafico che ne risulta è rappresentato nella figura 2. In essa possiamo notare i seguenti elementi:

\[\quad\]

  • La parte marcata in grigio corrisponde al fatto che abbiamo escluso dal dominio l’intervallo (-\infty, 1) e dal codominio l’intervallo (-\infty, 0);

    •  

  • In blu abbiamo rapprensentato il grafico \Gamma_f di f, cioè i punti del piano (x,f(x)) tali che l’ascissa x sia un elemento del dominio e l’ordinata corrisponda al valore f(x); notiamo che esso assume la forma di una retta: infatti, la relazione che definisce f è una cosiddetta relazione lineare, cioè in cui la variabile y è data da un multiplo della variabile x.

    •  

  • Abbiamo indicato i punti appartenenti a \Gamma_ f calcolati nella tabella (6). Ad esempio, il punto (4,2) è sul grafico, poiché

    (7) \begin{equation*} 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = f \left( 4 \right). \end{equation*}

    In altre parole, il numero y_1=2\in [0,+\infty) è immagine di x_1=4 \in [1,+\infty); abbiamo inoltre rappresentato con delle linee tratteggiate le sue proiezioni del punto (2,1) sugli assi.

    •  

  • Sull’asse y si trova il punto di ordinata y_2=\dfrac{1}{4}, che si vede non essere immagine di alcun elemento del dominio [1,+\infty).

\[\quad\]

\[\quad\]

Figura 2: grafico della funzione f definita da (4).

\[\quad\]

\[\quad\]

Esempio 1.4. Consideriamo la funzione f \colon x \in \mathbb{R} \mapsto x^2\coloneqq x\cdot x \in \mathbb{R}. Verifichiamo che essa è effettivamente una funzione avente dominio {\rm Dom}( f )= \mathbb{R} e codominio \mathbb{R}. Infatti, ogni numero reale x si può elevare al quadrato e il risultato di tale operazione è univocamente definito. Ciò vuol dire che per ogni x \in \mathbb{R} esiste un unico y \in \mathbb{R} tale che y=x^2, cioè f è una funzione. Come già fatto per l’esempio 1.3, per avere un’idea di come è fatto ill grafico di f come un sottoinsieme del piano \mathbb{R}^2, cf. 1.2, scegliamo qualche valore della variabile indipendente x e determiniamo il corrispondente valore della variabile dipendente y, riassumendo i nostri calcoli in una tabella:

(8) \begin{equation*} \begin{tabular}{|l|c|r|} \hline $x$ & $f(x)= x^2$ \\ \hline -2 & 4 \\ \hline -1 & 1 \\ \hline 0 & 0 \\ \hline 1 & 1\\ \hline 2 & 4 \\ \hline \end{tabular} \end{equation*}

Possiamo visualizzare il grafico che ne risulta nella figura 3. In essa possiamo notare i seguenti elementi:

\[\quad\]

  • In blu abbiamo rapprensentato il grafico \Gamma_f di f, cioè i punti del piano (x,f(x)), tali che l’ascissa x sia un elemento del dominio e l’ordinata corrisponda al valore f(x); la forma che assume è detta parabola e la relazione che definisce f è una cosiddetta relazione quadratica, cioè in cui la variabile y è data dal prodotto della variabile x con sè stessa.

    •  

  • Abbiamo indicato i punti appartenenti a \Gamma_ f calcolati nella tabella (8). Ad esempio, i punti (2,4) e (-2,4 ) sono sul grafico, poiché

    (9) \begin{equation*} 4 = 2^2 = f \left( 2 \right) \quad \mbox{e} \quad 4 = (-2)^2 = f \left( -2 \right). \end{equation*}

    In altre parole, il numero y_1=4\in [0,+\infty) è immagine sia di x_1=2 \in \mathbb{R}, sia di x_2=-2 \in \mathbb{R}. Ciò ovviamente non contraddice la definizione 1.1, cf. figura 1. Abbiamo inoltre rappresentato con delle linee tratteggiate le sue proiezioni dei suddetti punti sugli assi.

\[\quad\]

\[\quad\]

Figura 3: grafico della funzione f \colon x \in \mathbb{R} \mapsto x^2\coloneqq x\cdot x \in \mathbb{R}.

\[\quad\]

Esempio 1.5 (successioni). Sia a \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R} la funzione definita da

(10) \begin{equation*} a(n) \coloneqq \dfrac{1}{n} \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

Essa associa cioè a ogni numero naturale positivo n il suo reciproco 1/n. Poiché tale operazione è sempre possibile (dato che n >0) e il suo risultato è univocamente determinato da n, a costituisce effettivamente una funzione con dominio {\rm Dom} (a) = \mathbb{N} e codominio \mathbb{R}.

In generale, una funzione a \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R} è detta una successione di numeri reali, in quanto si può pensare di ordinare in una sequenza infinita le immagini di a in base all’elemento del dominio che le determinano:

Inoltre, l’immagine a(n) di un numero naturale n viene spesso indicata con a_n. Anche il grafico di una successione può essere rappresentato come sottoinsieme del piano cartesiano \mathbb{R}^2 e per la successione in esame ciò viene effettuato nella figura 4. Si vede che in questo caso il grafico è costituito da punti “isolati”, e ciò si spiega col fatto che il dominio {\rm Dom}(a) = \mathbb{N}, che, visto come sottoinsieme di \mathbb{R}, è costituito da punti “isolati” sull’asse x.

\[\quad\]

\[\quad\]

Figura 4: grafico della successione a definita da (10).

\[\quad\]

\[\quad\]


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