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Teoria ed esercizi sulle funzioni Digamma e Trigamma

Funzioni Beta, Digamma, Trigamma

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Esplora il mondo affascinante delle funzioni Digamma e Trigamma con la nostra guida completa! Questo documento, pensato per esperti nel campo dell’Analisi Matematica e ricercatori, offre una panoramica dettagliata, dalle basi alle applicazioni avanzate, illuminando ogni aspetto con chiarezza e precisione. L’articolo offre inoltre numerosi esercizi di livello notevolmente avanzato su questo affascinante argomento.
Se desideri approfondire la tua conoscenza in questo campo della Matematica, non ti resta che cimentarti nella lettura!

Segnaliamo i seguenti articoli di teoria correlata:

 

Autori e revisori

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Autori: Jack D’Aurizio

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Prerequisiti

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Per la piena fruizione di questa dispensa suggeriamo una revisione preliminare di alcuni risultati che saranno utilizzati nel seguito. Li riportiamo in ordine di menzione, assieme al relativo capitolo dove sono trattati in dettaglio:

\[\quad\]

  1. Tutto il precedente capitolo sulla funzione \Gamma (FUNZIONE GAMMA})

    2.  

  2. Tutto il precedente capitolo sulla funzione Beta (FUNZIONE BETA)

    3.  

  3. Teorema di convergenza dominata (ANALISI FUNZIONALE)

    4.  

  4. Principio di Liouville, funzioni meromorfe e prodotti di Weierstrass, disuguaglianza di Borel-Caratheodory (ANALISI COMPLESSA)

    5.  

  5. Trasformata di Laplace (TRASFORMATA DI LAPLACE)

    6.  

  6. Trasformata discreta di Fourier (SERIE DI FOURIER)

 
 

Definizione, rappresentazioni

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La funzione Digamma è la derivata logaritmica della funzione \Gamma:

\[\quad\]

(1) \begin{equation*} \psi(z) = \frac{d}{dz}\log\Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.\end{equation*}

\[\quad\]

Per quanto visto nel capitolo sulla FUNZIONE GAMMA abbiamo \Gamma(1)=1, \Gamma'(1)=-\gamma e pertanto \psi(1)=-\gamma.

Dalla relazione funzionale \Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x) e dal prodotto di Weierstrass per la funzione \Gamma seguono

\[\quad\]

(2) \begin{equation*} \psi(z+1)=\frac{1}{z}+\psi(z),\qquad \psi(z+1) = -\gamma+\sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+z}\right)\end{equation*}

\[\quad\]

pertanto vale H_n = \psi(n+1)+\gamma e la funzione \psi(z) risulta meromorfa sul piano complesso con poli semplici di residuo -1 in corrispondenza di ogni elemento di -\mathbb{N}. La serie di Maclaurin di \psi(z+1) ha pertanto raggio di convergenza 1 e in virtù di (2) vale

(3) \begin{equation*} \psi(z+1) = -\gamma -\sum_{k\geq 1}\zeta(k+1)(-z)^k,\qquad \zeta(k+1)=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{k+1}}.\end{equation*}

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Facendo ricorso al Teorema di Bohr-Mollerup si provi che \psi(x) è l’unica funzione monotona da \mathbb{R}^+ in \mathbb{R} che soddisfa \psi(1)=-\gamma e l’equazione funzionale \psi(x+1)=\dfrac{1}{x}+\psi(x).

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si utilizzi (2) per dimostrare che a>b>0 comporta

\[\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+a)(n+b)}=\frac{\psi(a)-\psi(b)}{a-b}.\]

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si determini esplicitamente il valore di \psi\left(\dfrac{1}{2}\right).

\[\quad\]

Dimostrazione. Poiché \psi(1)=-\gamma, in virtù dell’esercizio precedente abbiamo

\[-\gamma-\psi\left(\dfrac{1}{2}\right) = \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+1)(2n+1)}=2\sum_{n\geq 0}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}\right) = 2 \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{n+1}=2\sum_{n\geq 0}\int_{0}^{1}(-x)^n\,dx\]

e dal teorema di convergenza dominata segue la possibilità di scambiare l’ultima serie con l’ultimo integrale, da cui

\[-\gamma-\psi\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x},\qquad \psi\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\gamma-2\log 2.\]

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#1798754). Si provi che per ogni numero naturale n vale

\[\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}^2 H_j = \binom{2n}{n}\left(2H_n-H_{2n}\right).\]

Suggerimento: un’idea molto efficace è considerare l’identità di Chu-Vandermonde

\[\sum_{j=0}^{n}\binom{n+x}{j}\binom{n}{n-j}=\binom{2n+x}{n},\]

che può essere facilmente ricavata dalle proprietà della funzione Beta.

Cosa accade derivando ambo i membri e poi considerando \lim_{x\to 0^+}?

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (rappresentazione integrale di Gauss). Si provi che, in virtù della rappresentazione integrale della costante di Eulero-Mascheroni, per ogni z\in\mathbb{C}

con parte reale positiva si ha

\[\psi(z) = \int_{0}^{+\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)\,dt.\]

Rammentando che per il teorema di Frullani vale \int_{0}^{+\infty}(e^{-t}-e^{-zt})\dfrac{dt}{t}=\log(z), si provi che ciò comporta

(4) \begin{equation*} \psi(z)=\log(z)-\frac{1}{2z}+\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{t}+\frac{1}{e^t-1}\right)e^{-zt}\,dt. \end{equation*}

Si osservi che f(t)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{e^t-1}=\dfrac{1}{2}\coth\left(\dfrac{t}{2}\right)-\dfrac{1}{t} è una funzione regolare su \mathbb{R}^+ e dominata da \min\left(\dfrac{t}{12},\dfrac{1}{2}\right).

\[\quad\]

Andando a derivare ulteriormente la funzione \psi(z) si ottiene la funzione \psi'(z), anche detta Trigamma.

Questa ammette una rappresentazione in serie estremamente semplice,

(5) \begin{equation*} \psi'(z) = \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+z)^2},\end{equation*}

che dà luogo ad una funzione meromorfa con poli doppi di residuo nullo in corrispondenza degli elementi di -\mathbb{N}. Assumendo \text{Re}(z)>0, la rappresentazione in serie può essere facilmente tramutata in una rappresentazione integrale via trasformata inversa di Laplace:

(6) \begin{equation*}\psi'(z)=\sum_{n\geq 0}\int_{0}^{+\infty} s e^{-sz} e^{-nz}\,ds = \int_{0}^{+\infty}\frac{s e^{-sz}}{1-e^{-s}}\,ds.\end{equation*}

Da quest’ultima rappresentazione è immediato dedurre che \psi'(z) su \mathbb{R}^+ risulta positiva, decrescente e log-convessa.

Segnaliamo inoltre che, proprio per la sua semplicità, (5) si presta magnificamente a strategemmi di creative telescoping: è esattamente questo l’approccio che seguiremo per provare la disuguaglianza di Stirling.

Esercizio 6 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si provi che la rappresentazione integrale di Gauss e quella di Dirichlet

\[\psi(z)=\int_{0}^{+\infty}\left(e^{-t}-\frac{1}{(1+t)^z}\right)\frac{dt}{t}\]

sono tra loro equivalenti.

\[\quad\]


 
 

Formule di riflessione e moltiplicazione

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