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Teoria ed esercizi sulla funzione Gamma di Eulero

Funzione Gamma di Eulero

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La funzione \Gamma è una funzione integrale dalle importanti proprietà: essa consiste infatti in una generalizzazione del fattoriale al caso di variabile non intera. Tale funzione, in virtù della proprietà \Gamma(z+1)=z\Gamma(z) che definisce appunto il fattoriale, consente di stabilire alcuni risultati molto importanti. Essa è infatti profondamente legata alla costante di Eulero-Mascheroni, cioè al tasso di crescita delle somme della serie armonica, e inoltre consente di esprimere il volume e la superficie delle sfere in qualunque dimensione.

Questa dispensa, pensata per un pubblico esperto di Analisi Matematica, presenta queste e altre interessanti applicazioni alle equazioni differenziali e alla geometria, coniugando rigore teorico ed esempi pratici. Essa è inoltre corredata di esercizi anche molto difficili, adatti a chi desideri cimentarsi con materiale originale, complesso e di difficile reperibilità.
Se desideri entrare nel mondo affascinante della funzione Gamma, questo articolo è quello che cercavi!

Consigliamo la lettura dei seguenti articoli su materiale correlato:

 

Autori e revisori

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Autori: Jack D’Aurizio

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Prerequisiti

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Per la piena fruizione di questa dispensa suggeriamo una revisione preliminare di alcuni risultati che saranno utilizzati nel seguito. Li riportiamo in ordine di menzione, assieme al relativo capitolo dove sono trattati in dettaglio:

\[\quad\]

  1. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e sua forma integrale (DISUGUAGLIANZE FONDAMENTALI)

    2.  

  2. Definizioni di fattoriali e coefficienti binomiali (COMBINATORIA)

    3.  

  3. Convessità per punti medi e continuità comportano convessità sulla parte interna del dominio,

    disuguaglianza di Hermite-Hadamard (CONVESSITÀ)

    4.  

  4. Teorema di Beppo Levi, Teorema di Fubini, Teorema di convergenza dominata

    e derivazione sotto il segno di integrale (ANALISI FUNZIONALE)

    5.  

  5. Trasformata di Laplace e Teorema di Frullani (TRASFORMATA DI LAPLACE)

    6.  

  6. Serie di Maclaurin notevoli (TEOREMA DI TAYLOR)

    7.  

  7. Convergenza puntuale e uniforme di prodotti infiniti (SERIE DI FUNZIONI)

    8.  

  8. Divergenza della serie armonica (SERIE NUMERICHE)

    9.  

  9. Formula di integrazione per parti (TECNICHE DI CALCOLO SIMBOLICO E NUMERICO DI INTEGRALI)

    10.  

  10. Prodotto di Weierstrass di seno e coseno (ANALISI COMPLESSA, TEORIA E PRATICA DEI POLINOMI ORTOGONALI)

    11.  

  11. Principio di riflessione di Schwartz (ANALISI COMPLESSA)

    12.  

  12. Teorema dei residui, Teorema di inversione di Lagrange, funzioni meromorfe (ANALISI COMPLESSA)

    13.  

  13. Creative telescoping (SERIE NUMERICHE)

    14.  

  14. Notazioni di Landau e Vinogradov (NOTAZIONI DI LANDAU E VINOGRADOV)

    15.  

  15. Spazio L^2 e serie di Fourier (ANALISI FUNZIONALE)

 
 

Forma integrale

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Seguendo Legendre, consideriamo la funzione definita attraverso

(1) \begin{equation*} f(s)=\int_{0}^{+\infty} x^s e^{-x}\,dx. \end{equation*}

L’integrale converge per ogni s>-1 e dà luogo ad una funzione positiva, di classe C^{\infty} e logaritmicamente convessa. Convergenza e positività discendono direttamente dalla struttura dell’integranda:

\[\int_{0}^{+\infty} x^s e^{-x} \,dx \leq \int_{0}^{1} x^s\,dx +\int_{1}^{+\infty}\left( x^s e^{-x/2}\right) e^{-x/2}\,dx\leq \frac{1}{s+1}+\int_{1}^{+\infty} M_s e^{-x/2}\,dx < +\infty,\]

\[\int_{0}^{+\infty} x^s e^{-x}\,dx \geq \int_{0}^{1} x^s e^{-x}\,dx \geq \int_{0}^{1} x^s(1-x)\,dx > 0.\]

Con stime analoghe si prova la continuità di f(s). La log-convessità è una conseguenza della forma integrale della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Dalla disuguaglianza

(2) \begin{equation*} f\left(\Dfrac{s+t}{2}\right) = \int_{0}^{+\infty} x^{\frac{s+t}{2}}e^{-x}\,dx \leq \sqrt{\int_{0}^{+\infty}x^s e^{-x}\,dx \int_{0}^{+\infty}x^t e^{-x}\,dx } = \sqrt{f(s)f(t)} \end{equation*}

si ha che \log f è convessa per punti medi. Tuttavia \log f è continua, dunque è convessa (si faccia riferimento anche al capitolo sulla CONVESSITÀ). Alternativamente possiamo applicare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz alla coppia di funzioni integrande x^{\frac{\alpha-1}{2}}e^{-x/2}, x^{\frac{\alpha-1}{2}}e^{-x/2}\log(x), ottenendo \Gamma'(x)^2\leq \Gamma(x)\Gamma''(x) che comporta \dfrac{d^2}{dx^2}\log\Gamma(x)\geq 0. Per composizione di applicazioni convesse abbiamo che anche f=\exp\left(\log f\right) è convessa, pertanto ha rapporto incrementale crescente. Per derivazione sotto il segno di integrale si ha

(3) \begin{equation*} \frac{d^n}{dx^n} f(x) = \int_{0}^{+\infty}x^s\left(\log x\right)^n e^{-x}\,dx \end{equation*}

dunque tutte le derivate di indice pari sono positive e (log-)convesse: è sufficiente replicare l’argomentazione del precedente paragrafo. Vale f(0)=1 e per ogni s>0 la formula di integrazione per parti comporta

(4) \begin{equation*} f(s) = \left[-x^s e^{-x}\right]_{0}^{+\infty} +\int_{0}^{+\infty} s x^{s-1} e^{-x}\,dx = s\cdot f(s-1), \end{equation*}

per induzione abbiamo dunque che f(s) è una funzione che estende il fattoriale:

(5) \begin{equation*}\forall n\in\mathbb{N}\qquad f(n)=\int_{0}^{+\infty}x^n e^{-x}\,dx =\mathcal{L}(x^n)(1) = n!.\end{equation*}

Per motivi storici1 la funzione \Gamma è definita attraverso una traslazione del parametro di f:

\[\quad\]

(6) \begin{equation*}\forall s>0,\qquad \Gamma(s) = \int_{0}^{+\infty} x^{s-1}e^{-x}\,dx =\mathcal{L}(x^{s-1})(1),\qquad \Gamma(s+1)=s\cdot\Gamma(s).\end{equation*}

\[\quad\]

Tale shift modifica il dominio ma chiaramente non incide sulla log-convessità della funzione o delle sue derivate di indice pari. Considerando la determinazione principale del logaritmo in x^s=\exp\left(s\log x\right) abbiamo inoltre che l’integrale presente in (6) risulta convergente per ogni s\in\mathbb{C} con parte reale positiva. Ciò definisce una funzione analitica sul semipiano destro, che può essere prolungata tramite la relazione funzionale \Gamma(s) = \dfrac{1}{s}\Gamma(s+1). Iterando tale relazione abbiamo

\[\Gamma(x) = \frac{\Gamma(x+n)}{(x+n-1)(x+n-2)\cdot\ldots\cdot(x+1)x},\]

da cui la possibilità di esprimere i simboli di Pochhammer crescenti come rapporti di valori della funzione \Gamma:

\[(x)_n = x(x+1)\cdot\ldots\cdot(x+n-1) = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}.\]

Abbiamo ad esempio che \Gamma(1)=0!=1 e che \Gamma risulta una funzione olomorfa in un intorno di s=1. In virtù della relazione funzionale il prolungamento analitico dell’integrale in (6) presenta un polo semplice di residuo 1 in corrispondenza di s=0.

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Potendo esprimere i fattoriali in termini della \Gamma possiamo far lo stesso con i coefficienti binomiali:

\[\binom{n}{a} = \frac{n!}{a!(n-a)!} = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(n-a+1)}.\]

Per ogni numero naturale n abbiamo

\[(1+x)^n = \sum_{k\geq 0}\binom{n}{k} x^k.\]

Si verifichi che lo stesso vale per n=-\dfrac{1}{2}, ossia che per ogni x\in(0,1) si ha

\[\frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{k\geq 0}\frac{1}{4^k}\binom{2k}{k}x^k = \sum_{k\geq 0}\binom{-\frac{1}{2}}{k} x^k.\]

\[\quad\]

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sfruttando le proprietà di (log-)convessità si stimi numericamente il minimo della funzione \Gamma(s) su \mathbb{R}^+, che occorre tra s=1 e s=2.

\[\quad\]

Dimostrazione. Abbiamo già visto che \Gamma(1)=\Gamma(2)=1 e che \Gamma(s) è convessa su \mathbb{R}^+, dunque il punto di minimo è unico ed occorre tra s=1 e s=2. Tale punto di minimo è anche punto di minimo di \log\Gamma(s), che ammette zeri negli estremi dell’intervallo [1,2] e risulta negativa all’interno. Come vedremo nel prossimo capitolo sulla FUNZIONE DIGAMMA, gli sviluppi di Taylor al prim’ordine di f(s)=\log\Gamma(s) in s=1 e s=2 sono rispettivamente dati da

\[-\gamma(s-1)+O((s-1)^2),\qquad (1-\gamma)(s-2)+O((s-2)^2)\]

dove \gamma è la costante di Eulero-Mascheroni, che vale approssimativamente \dfrac{1}{\sqrt{3}}. Abbiamo pertanto che il polinomio di terzo grado

\[p(s)=(s-1)(2-s)((2\gamma-1)x+(1-3\gamma))\]

soddisfa p(1)=f(1),p'(1)=f'(1),p(2)=f(2),p'(2)=f'(2) ed approssima piuttosto bene \log\Gamma(s) su [1,2].

Possiamo pertanto localizzare approssimativamente l’ascissa stazionaria risolvendo p'(s)=0 e ottenendo s_0\approx 1.462.

Con tecniche più sofisticate, come il metodo della secante-tangente applicato a \psi(s)=\dfrac{d}{ds}\log\Gamma(s), possiamo raffinare la precedente stima fino a ottenere

\[s_0 \approx 1.461632145,\qquad \min_{s\in\mathbb{R}^+}\Gamma(s)\approx 0.8856032.\]

\[\quad\]

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) (Limite di Bernstein). Si provi che vale

\[\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{e^n}\sum_{m=0}^{n}\frac{n^m}{m!} = \frac{1}{2}.\]

\[\quad\]

Le usuali dimostrazioni di questo risultato transitano da interpretazioni probabilistiche: l’argomento del limite è la probabilità che una variabile di Poisson assuma valori minori o uguali alla sua media, dunque l’invocazione del Teorema centrale del limite conduce rapidamente alla tesi. In queste note proponiamo un approccio più low-tech basato unicamente sulla \Gamma.

Dimostrazione. Per il binomio di Newton si ha

\[\sum_{m=0}^{n}\frac{n^n}{m!(n-m)!}\left(\frac{x}{n}\right)^m = \frac{1}{n!}(x+n)^n,\]

dunque integrando ambo i membri contro e^{-x} su \mathbb{R}^+ ed operando la sostituzione m\to n-m abbiamo

\[\sum_{m=0}^{n}\frac{n^m}{m!} = \frac{1}{n!}\int_{0}^{+\infty}(x+n)^n e^{-x}\,dx \stackrel{x\mapsto nz}{=} \frac{n^{n+1}}{n!}\int_{0}^{+\infty}(1+z)^n e^{-nz}\,dz\]

che può essere equivalentemente provata facendo ricorso alla formula di Taylor con resto integrale.

La tesi diviene a questo punto

\[\lim_{n\to +\infty}\frac{n^{n+1}}{e^n n!}\int_{0}^{+\infty}\left((1+z)e^{-z}\right)^n\,dz = \frac{1}{2}.\]

Per la forma debole della disuguaglianza di Stirling (esercizio 19) il termine \dfrac{n^{n+1}}{e^n n!} è asintotico a \sqrt{\dfrac{n}{2\pi}}. La funzione f(z)=(1+z)e^{-z} è positiva e decrescente su \mathbb{R}^+ e la sua serie di Maclaurin è della forma 1-\dfrac{z^2}{2}+O(z^3) = e^{-z^2/2} + O(z^3), si ha inoltre f(z)\geq e^{-z^2/2} per ogni z>0. Se consideriamo la disuguaglianza

\[a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1}+\ldots+b^{n-1}) \leq n(a-b)a^{n-1}\]

valida per a\geq b\geq 0, abbiamo che

\[\int_{0}^{+\infty}f(z)^n\,dz - \int_{0}^{+\infty} e^{-nz^2/2}\,dz \ll n \int_{0}^{+\infty}z^3 f(z)^{n-1}\,dz,\]

ma poiché f(z) \leq \exp\left(-\dfrac{3z^2}{6+4z}\right) per ogni z\geq 0, per via delle approssimazioni di Padé del logaritmo, il termine destro dell’ultima disuguaglianza è O\left(\frac{1}{n}\right) e si ha

\[\int_{0}^{+\infty}f(z)^n\,dz \sim \int_{0}^{+\infty} e^{-nz^2/2}\,dz = \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\]

provando la tesi.    

  1. Questa è una convenzione un po’ infelice: la definizione alternativa \widetilde{\Gamma}(s)=\int_{0}^{+\infty}x^s e^{-x}\,dx avrebbe peggiorato l’estetica della regione di convergenza ma avrebbe semplificato, o almeno reso più intuitive, molte proprietà algebriche della funzione \Gamma e della funzione Beta. Ma questo è un accidente storico con cui abbiamo imparato a convivere. ↩

 
 

Disuguaglianza di Gautschi

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