Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Il teorema della permanenza del segno per le funzioni continue

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

Home » Il teorema della permanenza del segno per le funzioni continue

Il limite \ell di una funzione f in un punto x_0 rappresenta il valore a cui si avvicina f(x) quando x si avvicina ax_0. Il teorema della permanenza del segno afferma che, se \ell ha un segno, allora f(x) assume lo stesso segno di \ell per x sufficientemente vicino a x_0. Tale idea intuitiva è sostanzialmente equivalente alla nozione di limite.

L’articolo offre l’enunciato e una dimostrazione illustrata del teorema, oltre a dei richiami sulle definizioni e concetti fondamentali. Una lettura semplice e stimolante, che prepara e proietta verso altri fondamentali concetti dell’Analisi Matematica.

Consigliamo l’ulteriore materiale teorico reperibile ai seguenti link:

Segnaliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi correlati:

 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Silvia Lombardi, Giuseppe Palaia.

Revisori: Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.

\[\,\]

\[\,\]

Introduzione

Leggi...

Il concetto di limite è strettamente legato alla topologia dello spazio su cui si opera. Nel caso particolare di funzioni reali di variabile reale, la topologia di \mathbb{R} gioca un ruolo fondamentale nelle proprietà che le funzioni e i loro limiti possiedono. Una caratteristica molto importante della topologia di \mathbb{R} è la cosiddetta proprietà di separazione: punti distinti possiedono intorni disgiunti. Questa proprietà, apparentemente banale, implica numerose conseguenze. Tra di esse ricordiamo il teorema di unicità del limite e il teorema della permanenza del segno; quest’ultimo costituisce l’oggetto principale di questa dispensa. Il teorema della permanenza del segno afferma che, se una funzione f possiede limite \ell \neq 0 in un punto x_0, allora esiste un intorno di x_0 in cui f assume valori di segno concorde a \ell.

Teorema 1  (permanenza del segno). Sia f\colon A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} un punto di accumulazione per A. Supponiamo che

\[\,\]

\[\lim_{x \to x_0} f(x)=\ell \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} \qquad \text{con} \qquad \ell \neq 0.\]

\[\,\]

Allora esiste un intorno I_{x_0} di x_0 tale che la funzione f assume in I_{x_0} \cap A \setminus \{x_0\} valori di segno costante e uguale al segno di \ell.

\[\,\]

Come abbiamo già detto, questa caratteristica è una conseguenza della proprietà di separazione: poiché \ell \neq 0, esiste un intorno J di \ell interamente costituito da valori dello stesso segno di \ell. Dato che f(x) \in J per x sufficientemente vicino a x_0, segue che f(x) ha lo stesso segno di \ell in un intorno di x_0. Se f è una funzione continua vale \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0), quindi il teorema 1 si scrive nella forma seguente.

\[\,\]

Corollario 2 (permanenza del segno per funzioni continue). Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0\in A un punto di continuità per f. Se f(x_0)>0, allora esiste un intorno I_{x_0} di x_0 tale che

\[\,\]

\[f(x)>0 \qquad \forall x\in I_{x_0}\cap A.\]

Vale un risultato analogo se f(x_0)<0.

\[\,\]

Nella sezione 1 richiamiamo alcune definizioni preliminari, mentre nella sezione 2 dimostriamo il teorema 1

\[\,\]

Definizioni preliminari

Leggi...

In questa sezione richiamiamo, per comodità del lettore, alcune nozioni che sono utilizzate nell’enunciato e nella dimostrazione del teorema 1. Cominciamo con la definizione di intorno di un punto x_0 (finito o infinito); tale concetto corrisponde a un insieme che contiene x_0 “al proprio interno”.

Definizione 3  (intorni). Sia x_0 \in \mathbb{R} e sia \varepsilon>0. L’intorno I_\varepsilon(x_0) circolare} di x_0 di raggio \varepsilon è l’intervallo aperto

\[\,\]

(1) \begin{equation*} I_\varepsilon(x_0) \coloneqq (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon). \end{equation*}

\[\,\]

Si definisce intorno di +\infty qualsiasi semiretta aperta (M,+\infty) con M\in \mathbb{R}. Analogamente, si definisce intorno di -\infty qualsiasi semiretta aperta (-\infty,M) con M\in \mathbb{R}.

\[\,\]

Presentiamo ora la nozione di punto di accumulazione. Intuitivamente, un punto x_0 è di accumulazione per un insieme A se gli elementi di A appunto si “accumulano” intorno a esso.

\[\,\]

Definizione 4  (punto di accumulazione). Sia A \subseteq \mathbb{R}. Un punto x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} si dice di accumulazione per A se ogni intorno I di x_0 contiene almeno un punto x di A diverso da x_0.

Definizione 5  (limiti). Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} un punto di accumulazione per A. Si dice che f ha limite \ell \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} se, per ogni intorno J di \ell, esiste un intorno I di x_0 tale che

(2) \begin{equation*} f(x) \in J \qquad \forall x \in I \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(3) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

\[\,\]

Ricordiamo inoltre la definizione di funzione continua in un punto. Per una trattazione approfondita, rimandiamo a [1, Funzioni continue ,sezione 2 ].

\[\,\]

Definizione 6  (funzione continua in un punto). Sia A \subseteq \mathbb{R}. Una funzione f \colon A \to \mathbb{R} si dice continua in x_0 \in A se x_0 è un punto isolato di A oppure se

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).\]

Equivalentemente, f è continua in x_0 se e solo se, per ogni \varepsilon>0, esiste \delta>0 tale che

(4) \begin{equation*} |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A. \end{equation*}

\[\,\]

Dimostrazione del teorema 1

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi