Verifica del limite: esercizio 9

In questo nono articolo della raccolta Esercizi sulla verifica del limite presentiamo la verifica del limite del reciproco di una funzione il cui limite tende ad infinito. Rimandiamo all’esercizio precedente esercizio sulla verifica del limite 8 per la verifica del limite di una funzione fratta e a quello successivo esercizio sulla verifica del limite 10 per la non esistenza del limite della funzione seno, quando l’argomento tende a infinito.

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Richiami di teoria sulla verifica del limite

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Si veda anche richiami di teoria sulla verifica dei limiti o l’articolo di Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Definizione 1 (limiti di funzioni)  Sia , sia un punto di accumulazione per , sia una funzione e sia . Si dice che è il limite di per che tende a se, per ogni intorno di , esiste un intorno di tale che

(1)

In tal caso si scrive

(2)

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui , , e , , .

Testo dell’esercizio

Esercizio 9 .
Sia , sia , sia un punto di accumulazione per e si supponga che . Provare che si ha