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Verifica del limite: esercizio 13

Verifica del limite in funzioni

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In questo tredicesimo esercizio della raccolta Esercizi sulla verifica del limite presentiamo la verifica del limite della funzione potenza. Segnaliamo l’esercizio precedente esercizio sulla verifica del limite 12 sulla verifica del limite di una funzione logaritmica e quello successivo esercizio sulla verifica del limite 14 per la verifica del limite di una funzione irrazionale.

 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Revisori: Matteo Talluri, Sergio Fiorucci.

 

Richiami di teoria sulla verifica del limite

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Si veda anche richiami di teoria sulla verifica dei limiti o l’articolo di Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Definizione 1 (limiti di funzioni)  Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1) \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

Verifica del limite

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 13  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Sia \alpha>0. Verificare, mediante la definizione, i seguenti limiti:

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0} x^\alpha = x_0^\alpha per ogni x_0 \in [0,+\infty);
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^\alpha=+\infty.

 

Premessa.

Svolgiamo separatamente i due punti dell’esercizio, le cui soluzioni seguono dall’esistenza e dalle proprietà delle potenze a esponente reale: il lettore interessato può consultare la sezione 5 della dispensa sulle funzioni elementari e l’appendice A della dispensa di teoria delle successioni per maggiori dettagli.

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