Esercizi svolti sui limiti notevoli

Continuazione analitica e topologia, Limiti notevoli in funzioni

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Esercizi svolti sui limiti notevoli

Benvenuti nella dispensa dedicata agli esercizi svolti sui limiti notevoli. Questo documento rappresenta una risorsa per tutti quegli studenti desiderosi di approfondire la loro comprensione dei limiti notevoli, un concetto fondamentale nell’ambito dell’analisi matematica.

All’interno di questa dispensa troverete una selezione accurata di 100 esercizi svolti sui limiti notevoli che partono da un livello elementare fino ad arrivare ad un livello avanzato. Ciascun esercizio è stato scelto per stimolare e migliorare la vostra comprensione, mentre le soluzioni dettagliate e le spiegazioni vi accompagneranno attraverso concetti complessi in modo chiaro e intuitivo.

Che siate neofiti nello studio della matematica o esperti matematici, questi esercizi sui limiti notevoli vi forniranno gli strumenti necessari per padroneggiare questo cruciale argomento. Auguriamo una piacevole lettura e un proficuo apprendimento! Per i richiami teorici più completi si rimanda alla dispensa di teoria sui limiti notevoli. Dopo aver svolto questi esercizi, si consiglia lo svolgimento di esercizi sulle forme indeterminate e esercizi misti sui limiti.

Autori e revisori

Mostra autori e revisori.

Autori: Valerio Brunetti e Silvia Lombardi.

Revisori: Sara Sottile.

Testi degli esercizi sui limiti notevoli

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \tan x + x}{x};\\[6pt] & 2.\quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x + 5x}{x + 2 \sin x};\\[6pt] &3.\quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x \sin x}{\tan^2 x};\\[6pt] &4.\quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \sin x + 5x}{3 \sin x - x};\\[6pt] &5.\quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x - 2x}{x}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 1 sui limiti notevoli.

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2}{\sin x};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x + x}{x + \sin x};\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2 + x}{2x+\sin x};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x }{1- \sin x };\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-4x+7}\right)^{\frac{x^2-x+3}{2x^2 + 5}}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 2 sui limiti notevoli.

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x^x}\right)^{(x+1)^x};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to +\infty}\left( \dfrac{x^4+5x^2+5}{(x^2+1)(x^2+2)}\right)^{x^2};\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x - 8^x + e^{-x}}{x};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\sqrt{1-\cos x }}{x };\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x - \sin x}{x}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 3 sui limiti notevoli.

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{3}{2\sqrt{x}}\right)^x;\\[6pt] &2. \quad \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x - \sin x}{x^2};\\[6pt] &3. \quad \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 2x}{x \; \tan x};\\[6pt] &4. \quad \lim_{x \to \alpha} \dfrac{\sin x - \sin \alpha}{x-\alpha}, \qquad \alpha \in \mathbb{R};\\[6pt] &5. \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \dfrac{2\cos x - \sqrt{3}}{6x-\pi}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 4 sui limiti notevoli.

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\ln \left(\frac{x}{3}\right)};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{3x-2}{3x+3}\right)^{2x-1};\\[6pt] &3. \quad\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{x^3}{1-\cos x + \sin \frac{x}{2}};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{5x+3}{5x-1}\right)^{2x+1};\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{6}} \dfrac{2\sin x - 1}{2 \sin(2x)-\sqrt{3}}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 5 sui limiti notevoli.

Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^3}{2 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{\sin(2x) + \sin x};\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \sin(1-e^x)}{e^x-1};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2^{3x}-1}{2x};\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos(2x)-\cos x}{\cos x-1}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 6 sui limiti notevoli.

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{3 \sin x}{4 \ln(1+x)};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x+e^{-x}-2}{3x^2};\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x - e^x}{\sin x};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{3^{2\cos x}-1};\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)^x. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 7 sui limiti notevoli.

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{3x-1}{3x+2}\right)^{\frac{x}{2}};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (1-\cos x)^{\tan x};\\[6pt] &3. \quad\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{x+1}{2x-1}\right)^{\frac{x^2-1}{x}};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{3\sqrt{x}-1}{3\sqrt{x}+2}\right)^{\sqrt{x}};\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{2x+4}{2x+3}\right)^{x-3}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 8 sui limiti notevoli.

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{3}{2x+1}\right)^{x};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1-\sqrt{\cos x}}{x^2};\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos(2x)}{\cos x - \cos \frac{\pi}{4}};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to \alpha} \dfrac{\sin(x-\alpha)}{\cos^2x-\cos^2\alpha}, \qquad \alpha\in \mathbb{R};\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+2x)^4-1}{x}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 9 sui limiti notevoli.

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{e^{x-1}-1}{1-\cos(1-x)};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{\ln(1+\tan^2x)};\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3^{\sin x}-1}{x};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\cos x + \cos(2x)}{(x-\pi)^2};\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^{2x+1}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 10 sui limiti notevoli.

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)(1-\cos x)}{x^2 \sin(6x)};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\sin(x^2+x)}{x^2};\\[6pt] &3. \quad\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5}{x} \; \left(\ln(1+x)-\ln x\right);\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+x^2-x)^{\sqrt{2}}-1}{x};\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{3x-4}{3x+2}\right)^{\frac{x+1}{3}} . \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 11 sui limiti notevoli.

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln(7x-6)}{\ln(3x-2)};\\[6pt] &2. \quad\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{2x}-e^x}{\ln(1+2x)};\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{4^{x-1}-64}{2(x^2-3x-4)};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \left( \ln x - \ln(\sin(2x)) \right);\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \left(\dfrac{\sin(2x)}{x}\right)^{x+1} . \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 12 sui limiti notevoli.

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos(3x)}{x\sin x};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x+\sin(3x)}{4x + \sin (7x)};\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^{2x}-e^{-2x}};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \sin x + 5x}{3 \sin x - x};\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arcsin(6x)}{\arctan(5x)} . \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 13 sui limiti notevoli.

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+4x^2)^3-1}{x^2};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[5]{1+x}-1}{x};\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1-x)^2}{x};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} x\left[ \ln(x^2+4)-2\ln x\right] ;\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+2x)^5-1}{5x}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 14 sui limiti notevoli.

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(1-x)^{2x}}{(1+x^2)^x};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to e} \dfrac{\ln x^2-2}{x-e};\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x-1}{\cos x \,\left( \cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right) };\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{-x}+\sin x-\cos x}{x};\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[4]{1+x^3}-1}{x^3-x^4}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 15 sui limiti notevoli.

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin(2x)}-e^{\sin x}}{\tan x};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} 2^{-x}\cdot\left( 2+\dfrac{3}{x}\right) ^x;\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} x\left[ \ln(2x+1)-\ln x-\ln 2\right] ;\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x-e^{-x}}{\ln(1+x)};\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x+3e^x-3+x^3}{\ln(1+x)^2+2x-\cos x+1}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 16 sui limiti notevoli.

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\sqrt{\cos x}}{\sqrt{1-\cos x}};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{ \left( \sin x\right) ^{ \sin x}-1}{ \sqrt{\ln\left( \dfrac{1}{\cos x}\right) }};\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{ \left( \cos x\right) ^{ \cos x}-1}{ \left( \sin x\right) ^{ \sin x}-1};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\left( \sin 2x\right) ^{ \sin x}-1}{\left( \sin x\right) ^{ \sin 2x}-1};\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{1-\sin x}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 17 sui limiti notevoli.

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( e^{\sin x}-1\right)\cdot \tan x}{1-\cos x};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( e^{5x^2}-1\right) \cdot\ln^2\left( 1+3x\right) }{1-\cos\left( x^2\right) };\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 4^x-1\right) \cdot\log_2\left( \cos x\right) }{\sqrt[9]{1+9x^3}-1};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( \sqrt[9]{\cos(6x)}-1\right)\cdot \arctan x}{\left( e^{\cos x}-e\right) \cdot\ln(1+\sin x)};\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+2x)^{5x^2}-1}{(1+3x)^{4x^2}-1}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 18 sui limiti notevoli.

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\pi-2\arctan\dfrac{1}{x^3}}{\tan(2x)-\sin(2x)};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(\cos x)+\ln(2-\cos x) }{x\cdot(\tan x-\sin x) };\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\left( \cos\sqrt{x}\right) ^{\sin x}-1 }{\sqrt[3]{\cos x}-1};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin^2x}{\ln(2+\cos x)};\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin\left( 1-\cos\dfrac{1}{x}\right) \cdot\arctan(1-x)}{e^{\frac{1}{x^2}}-1}. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 19 sui limiti notevoli.

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{4^{\frac{1}{x^2}}+6^{\frac{1}{x^2} } }{3^{\frac{1}{x^2}}+5^{\frac{1}{x^2}}}\right)^{x^2};\\[6pt] &2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(\cos(\alpha x))}{\ln(\cos(\beta x))}, \qquad \alpha \in \mathbb{R}, \beta \in \mathbb{R}\setminus\{0\} ;\\[6pt] &3. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} (\text{settsinh}(x))^{\cot x};\\[6pt] &4. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{(1+\alpha x)^{\frac{1}{x}} + \sqrt{ \sin(\pi x^\alpha)}}{ 1-\cos(3 \sqrt{x})}, \qquad \alpha >0 ;\\[6pt] &5. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left(1+\frac{1}{x^3}\right)^4}{\left(\text{arcsin}\left(\frac{1}{x}\right)\right)^3 - \frac{1}{x^\alpha}\sin\left( \frac{1}{x}\right)}, \qquad \alpha > -1. \end{aligned}$

Svolgimento esercizio 20 sui limiti notevoli.

Document

Gianluca Ruggeri

26/10/2023

Mi sono imbattuto nel sito preparando analisi 1. Il materiale è di qualità e spiegato molto bene. Assolutamente consigliato.

Filippo Marchisio

19/10/2023

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Sandra Vigliarolo

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Preparazione 2.0

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14/09/2023

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Valerio Michieli

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01/09/2023

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