Esercizi misti limiti notevoli – 10
L’esercizio 10 sui limiti notevoli, estratto da Esercizi svolti sui limiti notevoli, propone 5 limiti misti basati sui limiti notevoli di seno, esponenziale e tecniche collegate.
Segnaliamo il precedente articolo Esercizio limiti notevoli – 9 , sul limite notevole del seno, e il successivo Esercizio limiti notevoli – 11 per ulteriori esercizi misti sui limiti notevoli.
Esercizio 10 . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:
Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alla dispensa di teoria sui limiti notevoli.
Richiami teorici.
Teorema 1.
Siano , sia
un punto di accumulazione per
. Si assuma che
allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:
Se è un punto di accumulazione per
, allora si ha:
ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.
Teorema 2 – Teorema di sostituzione.
Sia e sia
. Si assuma che
Sia un intorno di
e sia
tale che
- se
,
è continua in
;
- se
, allora esiste
.
Allora,
Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:
Svolgimento.
- Effettuando la sostituzione
in virtù del teorema 2 si ha:
dove in
è stato usato il fatto che
, in
si è utilizzato il teorema 1 e
si è utilizzato (2) e (5).
- Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
dove in
si è utilizzato il teorema 1, in
si è utilizzato (2)-(3)-(4) e in
è stato applicato il teorema 2 per il terzo limite.
- Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
dove in
si è utilizzato il teorema 1, in
si è utilizzato (1)-(5) e in
è stato applicato il teorema 2 per il primo limite.
- Effettuando la sostituzione
in virtù del teorema 2 si ha:
dove in
abbiamo usato il fatto che
, in
si è utilizzato il teorema 1 e in
si è utilizzato (2).
- Manipolando l’espressione del limite dato per ottenere una forma analoga a (6) si ha:
dove in
si è utilizzato il teorema 2 e in
si è utilizzato (6).