Esercizi misti limiti notevoli 6

Limiti notevoli in funzioni

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Esercizio 6   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

    \[\begin{aligned} &1. \quad 	\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^3}{2 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}};\\ &2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{\sin(2x) + \sin x};\\ &3. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \sin(1-e^x)}{e^x-1};\\ &4. \quad 	\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2^{3x}-1}{2x};\\ &5. \quad 	\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos(2x)-\cos x}{\cos x-1}. \end{aligned}\]

 

Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alla dispensa di teoria sui limiti notevoli cliccare qui.

Richiami teorici.

Teorema 1. 

Siano f, g\colon  A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,\]

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

    \[\begin{aligned} 		\exists \; 	\lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ 		\exists \; 	\lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & =  \ell_1 \cdot  \ell_2, 	\end{aligned}\]

Se x_0 è un punto di accumulazione per \{x \in A  \colon g(x) \neq 0\}, allora si ha:

    \[\exists \; 	\lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x)  = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},\]

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

 

Teorema 2 – Teorema di sostituzione.

Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.\]

Sia I(\ell) un intorno di \ell e sia g \colon I(\ell) \to \mathbb{R} tale che

  1. se \ell \in \mathbb{R}, g è continua in \ell;
  2. se \ell = \pm \infty, allora esiste \lim\limits_{y \to \ell}g(y).

Allora,

    \[\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).\]

 

Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:

(1)   \begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1, \end{equation*}

(2)   \begin{equation*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}= \dfrac{1}{2}, \end{equation*}

(3)   \begin{equation*}	 	\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\log_a (1+x)}{x}= \log_a e, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}^+	 \end{equation*}

(4)   \begin{equation*}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a^x -1}{x}= \ln a, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}^+	 \end{equation*}

(5)   \begin{equation*}\lim\limits_{x\to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}=e, &\qquad \qquad \left(\text{eq. }  \lim\limits_{x\to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}=e \right). \end{equation*}


Svolgimento.

  1. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} 				\lim_{x \to 0} \dfrac{x^3}{2 \sin^2 \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^3}{2 \cdot \dfrac{\sin^2 \dfrac{x}{2}}{\dfrac{x^2}{4}} \cdot \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}} \; \dfrac{x}{2}} \\[5pt] 	& = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{2 \cdot \dfrac{\sin^2 \dfrac{x}{2}}{\dfrac{x^2}{4}}\cdot \dfrac{x}{4} + \dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}} \cdot  \dfrac{1}{2}} \\[5pt]  & \overset{\star}{=} 	\dfrac{\lim\limits_{x \to 0} x^2}{2 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 \dfrac{x}{2}}{\dfrac{x^2}{4}}\cdot \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x}{4} + \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}} \cdot  \dfrac{1}{2}}\\ 	&  \overset{\spadesuit}{=} \dfrac{0}{\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 0+1 \cdot \frac{1}{2}}=0, \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 e in \spadesuit si è utilizzata (1).

  2.  

  3. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} 			\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{\sin(2x) + \sin x} & =\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\ln(1+x)}{x} \cdot x}{\dfrac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2x + \dfrac{\sin x}{x} \cdot x} \\[5pt] 		& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\ln(1+x)}{x} }{\dfrac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2 + \dfrac{\sin x}{x}}  \\[5pt] 		& \overset{\star}{=} \dfrac{\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} }{\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2 + \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}}  \\[5pt] 		&\overset{\spadesuit}{=} \dfrac{1}{1 \cdot 2+1} = \dfrac{1}{3}, 	\end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 e in \spadesuit si è utilizzata (1)-(3).

  4.  

  5. Utilizzando la sostituzione t = 1-e^x in virtù del teorema 2 si ha:

        \[\begin{aligned} 				\lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin(1-e^x)}{e^x-1} & = \lim_{t \to 0}  \dfrac{2 \sin(t)}{- t}\\ 	&\overset{\star}{=} -2 \cdot \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t}\\ 	& \overset{\spadesuit}{=} -2 \cdot 1 = -2,  	\end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 e in \spadesuit si è utilizzato (1).

  6.  

  7. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} 			\lim_{x \to 0} \dfrac{2^{3x}-1}{2x} 	& \overset{\star}{=} \dfrac{3}{2} \cdot  \lim_{x \to 0} \dfrac{2^{3x}-1}{3x}\\ 	& \overset{\spadesuit}{=} = \dfrac{3}{2} \cdot \ln 2. 	\end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 e in \spadesuit si è utilizzato (4).

  8.  

  9. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} 			\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(2x)-\cos x}{\cos x-1} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{\cos x-1} \cdot \dfrac{\cos(2x)-\cos x}{x^2}  \\[10pt] 	& =  \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x^2}{\cos x-1} \cdot \dfrac{\cos(2x)-1+1-\cos x}{x^2}  \right)\\[10pt] 	& =  \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x^2}{\cos x-1} \cdot \left( \dfrac{\cos(2x)-1}{x^2} + \dfrac{1-\cos x}{x^2} \right)\right)  \\[10pt] 	& =  \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x^2}{\cos x-1} \cdot \left( \dfrac{\cos(2x)-1}{4x^2} \cdot 4 + \dfrac{1-\cos x}{x^2} \right) \right)\\[10pt] 	& \overset{\star}{=} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2}{\cos x-1} \cdot \left(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos(2x)-1}{4x^2} \cdot 4 + \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2} \right)\\ 	& \overset{\spadesuit}{=} -2 \cdot \left(-2 + \dfrac{1}{2}\right)=3. 	\end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 e in \spadesuit si è utilizzato (2).

  10.