Esercizi misti limiti notevoli 14

Limiti notevoli in funzioni

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Esercizio 14   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

    \[\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0}  \dfrac{(1+4x^2)^3-1}{x^2};\\ &2. \quad \lim\limits_{x \to 0}  \dfrac{\sqrt[5]{1+x}-1}{x};\\ &3. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1-x)^2}{x};\\ &4. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} x\left[ \ln(x^2+4)-2\ln x\right] ;\\ &5. \quad \lim\limits_{x \to 0}  \dfrac{(1+2x)^5-1}{5x}. \end{aligned}\]

 

Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alla dispensa di teoria sui limiti notevoli cliccare qui.

Richiami teorici.

Teorema 1. 

Siano f, g\colon  A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,\]

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

    \[\begin{aligned} 		\exists \; 	\lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ 		\exists \; 	\lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & =  \ell_1 \cdot  \ell_2, 	\end{aligned}\]

Se x_0 è un punto di accumulazione per \{x \in A  \colon g(x) \neq 0\}, allora si ha:

    \[\exists \; 	\lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x)  = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},\]

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

 

Teorema 2 – Teorema di sostituzione.

Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}. Si assuma che

    \[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.\]

Sia I(\ell) un intorno di \ell e sia g \colon I(\ell) \to \mathbb{R} tale che

  1. se \ell \in \mathbb{R}, g è continua in \ell;
  2. se \ell = \pm \infty, allora esiste \lim\limits_{y \to \ell}g(y).

Allora,

    \[\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).\]

Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:

(1)   \begin{equation*}	\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\log_a (1+x)}{x}= \log_a e, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}^+	 \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^a-1}{x}=  a, & \qquad \qquad a\in \mathbb{R}	  \end{equation*}


Svolgimento.

  1. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+4x^2)^3-1}{x^2} & = 4\cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+4x^2)^3-1}{4x^2}\\ &\overset{\spadesuit-\star}{=}4\cdot 3=12. \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 e in \spadesuit si è utilizzato (2).

  2.  

  3. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[5]{1+x}-1}{x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^{\frac{1}{5}}-1}{x}\\ \overset{\spadesuit}{=}\dfrac{1}{5}, \end{aligned}\]

    dove in \spadesuit si è utilizzato (2).

  4.  

  5. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1-x)^2}{x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2\,\ln|1-x|}{x}\\ &\overset{\ast}{=} \lim_{x \to 0} \dfrac{2\,\ln(1-x)}{x}\\ & \overset{\star}{=} - 2 \lim_{x \to 0}  \dfrac{\ln(1-x)}{-x}\\ &\overset{\spadesuit}{=} -2, \end{aligned}\]

    dove in \ast si è utilizzato il fatto che in un intorno di zero 1-x >0, in \star si è utilizzato il teorema 1 e in \spadesuit si è utilizzato (1).

  6.  

  7. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} x\left[ \ln(x^2+4)-2\ln x\right]  & = \lim_{x \to +\infty} x\,\ln\left( \dfrac{x^2+4}{x^2}\right) \\ &=\lim_{x \to +\infty} x\,\ln\left( 1+\dfrac{4}{x^2}\right) \\ & =\lim_{x \to +\infty} x \,\dfrac{\ln\left( 1+\frac{4}{x^2}\right) }{\frac{4}{x^2}}\cdot \frac{4}{x^2}=\\\\ & \overset{\star}{=} 4 \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} \cdot\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left( 1+\frac{4}{x^2}\right) }{\frac{4}{x^2}} \\ &\overset{\spadesuit}{=}0, \end{aligned}\]

    dove in \star si è utilizzato il teorema 1 e in in \spadesuit si è utilizzato (1).

  8.  

  9. Manipolando l’espressione del limite dato si ha:

        \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+2x)^5-1}{5x} & = \lim_{x \to 0}  \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{(1+2x)^5-1}{2x}\\ &\overset{\spadesuit}{=} \dfrac{2}{5}\cdot 5=2, \end{aligned}\]

    dove in \spadesuit si è utilizzato (2).