Esercizi limiti notevoli seno ed esponenziale – 13

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In questo articolo, il numero 13 della raccolta Esercizi svolti sui limiti notevoli è costituito da 5 esercizi sui limiti notevoli di seno ed esponenziale:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1.$

Evidenziamo il precedente Esercizio limiti notevoli – 12 articolo e il successivo Esercizio limiti notevoli – 14 .

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

$\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos(3x)}{x\sin x};\\ &2. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x+\sin(3x)}{4x + \sin (7x)};\\ &3. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^{2x}-e^{-2x}};\\ &4. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \sin x + 5x}{3 \sin x - x};\\ &5. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arcsin(6x)}{\arctan(5x)} . \end{aligned}$

Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Si rimanda anche ai Richiami teorici sui limiti notevoli oppure alla dispensa Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Richiami teorici.

Teorema 1.

Siano $f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , sia $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ un punto di accumulazione per $A$ . Si assuma che

$\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,$

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

$\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}$

Se $x_0$ è un punto di accumulazione per $\{x \in A \colon g(x) \neq 0\}$ , allora si ha:

$\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},$

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

Teorema 2 – Teorema di sostituzione.

Sia $f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}$ . Si assuma che

$\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.$

Sia $I(\ell)$ un intorno di $\ell$ e sia $g \colon I(\ell) \to \mathbb{R}$ tale che

se $\ell \in \mathbb{R}$ , $g$ è continua in $\ell$ ;
se $\ell = \pm \infty$ , allora esiste $\lim\limits_{y \to \ell}g(y)$ .

Allora,

$\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).$

Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:

(1) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1, \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}= \dfrac{1}{2}, \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\arcsin x}{x} = 1, \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\arctan x}{x} = 1, \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a^x - 1 }{x} = \ln a, &\qquad \qquad a \in \mathbb{R}^+, \end{equation*}$

Svolgimento.

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos (3x)}{x\sin x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{{1-\cos (3x)}}{9x^2} \cdot 9 \cdot \dfrac{x}{\sin x} \\ &\overset{\star}{=} 9 \lim_{x \to 0} \dfrac{{1-\cos (3x)}}{9x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} \\ &\overset{\spadesuit}{=} \dfrac{1}{2}\cdot 9 \cdot 1 =\dfrac{9}{2}, \end{aligned}$
dove in $\star$ si è utilizzato il teorema 2 e in $\spadesuit$ si è utilizzato (1)-(2).

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{2x+\sin (3x)}{4x+\sin (7x)} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2+\dfrac{\sin(3x)}{x}}{4+\dfrac{\sin(7x)}{x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2+\dfrac{\sin(3x)}{3x}\cdot 3}{4+\dfrac{\sin(7x)}{7x}\cdot 7}\\ &\overset{\star}{=}\dfrac{2+\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin(3x)}{3x}\cdot 3}{4+\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin(7x)}{7x}\cdot 7} \\ &\overset{\spadesuit}{=} = \dfrac{2+3}{4+7}= \dfrac{5}{11}, \end{aligned}$
dove in $\star$ si è utilizzato il teorema 1 e in $\spadesuit$ si è utilizzato (1).

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^{2x}-e^{-2x}} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x}-1}{e^{4x}-1}\cdot \dfrac{1}{e^x}\cdot e^{2x}\\ & = \lim_{x \to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{2x} \cdot \dfrac{4x}{e^{4x}-1} \cdot \dfrac{1}{2}\cdot e^x\\ &\overset{\star}{=}\dfrac{1}{2}\lim_{x \to 0}e^x \cdot \lim_{x \to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{2x} \cdot \lim_{x \to 0}\dfrac{4x}{e^{4x}-1} \\& \overset{\spadesuit}{=} \dfrac{1}{2}, \end{aligned}$
dove in $\star$ si è utilizzato il teorema 1 e in $\spadesuit$ si è utilizzato (5).

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin x + 5x}{3 \sin x - x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \left( 2 \dfrac{\sin x}{x} + 5 \right)}{x \left(3 \dfrac{\sin x}{x} - 1\right)} \\ & \overset{\star}{=} \dfrac{ \left( 2 \; \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} + 5 \right) }{\left(3 \; \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} - 1 \right)} \\ &\overset{\spadesuit}}{=} \dfrac{2 + 5}{3-1} =\dfrac{7}{2}, \end{aligned}$
dove in $\star$ si è utilizzato il teorema 1 e in in $\spadesuit$ si è utilizzato (1).

Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{\arcsin(6x)}{\arctan(5x)} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\arcsin(6x)}{6x}\cdot 6\cdot \dfrac{5x}{\arctan(5x)}\cdot \dfrac{1}{5}\\ &\overset{\star}{=} \dfrac{6}{5}\lim_{x \to 0} \dfrac{\arcsin(6x)}{6x} \lim_{x \to 0} \dfrac{5x}{\arctan(5x)} \\ &\overset{\spadesuit}{=} \dfrac{6}{5}, \end{aligned}$
dove in $\star$ si è utilizzato il teorema 1 e in $\spadesuit$ si è utilizzato (3)-(4).

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