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Limiti di funzioni elementari: teoria ed esercizi svolti

Limiti base in funzioni

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Benvenuti nella nostra guida e raccolta di esercizi sui limiti elementari. Questo articolo si propone come un primo passo nella pratica con i limiti di funzioni, presentando il calcolo di limiti per l’appunto elementari, cioè in cui non è richiesto di trattare forme indeterminate. L’articolo si divide in due parti: nella prima ricordiamo le definizioni e i risultati essenziali sulla teoria oltre che il calcolo dei limiti base delle funzioni elementari. Nella seconda parte, invece, proponiamo 53 esercizi, completamente risolti su questo tema.

Oltre all’articolo completo sulla Teoria sui limiti, consigliamo le ulteriori raccolte di esercizi sui limiti di funzione:

Buona lettura!

 
 

Sommario

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Questa dispensa raccoglie una selezione di esercizi sui limiti di funzioni elementari, con un focus sugli aspetti fondamentali e pratici del concetto di limite. Non sono inclusi esercizi su forme indeterminate, poiché l’obiettivo principale è fornire allo studente una solida padronanza operativa dei limiti prima di affrontare situazioni più complesse.

La dispensa è pensata per studenti provenienti da licei classici, linguistici o, più in generale, da scuole secondarie di secondo grado dove la matematica non è sempre trattata in modo approfondito. È anche adatta a coloro che non si confrontano con la matematica da tempo e che si accostano nuovamente alla materia. In questa raccolta, anche i passaggi più semplici sono esplicitati, consentendo a chi ha meno esperienza di seguire agevolmente i ragionamenti. La parte introduttiva fornisce un insieme di nozioni essenziali non con l’intento di esporre una teoria formale, ma piuttosto come una lista di concetti chiave da ricordare per affrontare gli esercizi.

La dispensa include 53 esercizi, selezionati per essere risolti principalmente attraverso la semplice sostituzione, permettendo di giungere al risultato con pochi passaggi. La scelta di proporre un numero così ampio di esercizi nasce dalla necessità di offrire un’ampia pratica a chi si avvicina o si riavvicina ai concetti “elementari” del problem solving. Al termine di questa dispensa, lo studente sarà in grado di riprendere con sicurezza i concetti di base, preparandosi così ad affrontare al meglio gli esercizi sulle forme indeterminate.

Per ogni esercizio è fornito un grafico della funzione considerata, accompagnato da un commento che aiuta lo studente a sviluppare un’intuizione visiva del concetto di limite e a comprendere meglio le funzioni e il loro comportamento.

Per una trattazione teorica più dettagliata, si rimanda alla dispensa teorica disponibile al seguente link: teoria sui limiti. Questa raccolta di esercizi è concepita come supporto didattico per i corsi di Analisi Matematica 1, destinati agli studenti dei corsi di laurea in ingegneria, fisica e matematica.


 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Cesare Malagù, Silvia Lombardi, Daniele Bjørn Malesani.

Revisori: Sergio Fiorucci.


 
 

Introduzione

Introduzione.

In questa sezione, come indicato nel sommario, abbiamo privilegiato un approccio pragmatico piuttosto che formale. La dispensa è stata appositamente progettata per rispondere alle esigenze di quegli studenti che affrontano per la prima volta i limiti o che trovano speciali difficoltà con questo concetto. Questa introduzione non pretende di sostituire una trattazione teorica, ma si limita a richiamare brevemente alcune notazioni utili per affrontare gli esercizi proposti. Per un approfondimento teorico, si rimanda alle seguenti risorse: teoria sui limiti, la teoria funzione continue, teoria sulle funzioni, funzioni algebriche, esponenziali e logaritmiche.

La lettura di questa introduzione potrebbe far sorgere, in un lettore più esperto, dubbi riguardo alcune scelte didattiche adottate, poiché l’approccio potrebbe sembrare una semplice elencazione di nozioni da memorizzare. Tuttavia, questo non è l’intento della dispensa. Il nostro obiettivo principale è riassumere i concetti essenziali necessari per risolvere gli esercizi, basandoci sull’osservazione che, nonostante uno studio attento della teoria, molti studenti continuano a commettere errori fondamentali, come:

\[ \lim_{x\to 0^-}\ln(x) \quad \text{oppure} \quad \lim_{x\to -\infty}\ln(x). \]

In questi casi, è privo di significato chiedersi il valore di tali limiti, poiché il logaritmo non è definito per x \to 0^- o x \to -\infty. Un altro errore comune è non ricordarsi che i limiti di seno o coseno per x che tende a infinito non esistono. Inoltre, è frequente che alcuni studenti non ricordino risultati fondamentali come:

\[ \lim_{x\to 0^+}\ln x, \quad \lim_{x\to +\infty}\ln x, \quad \lim_{x\to \pm \infty}e^x,\quad \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^{\pm}}\tan x,\quad \dots \]

In aggiunta, si precisa che i teoremi applicati negli esercizi non verranno richiamati, poiché già trattati e dimostrati nelle dispense citate, in particolare in teoria sui limiti.


Prerequisiti.

I prerequisiti che ometteremo per leggere questa dispensa sono

\[\quad\]

  1. Intorni e punti di accumulazione nella retta reale estesa

    \[\quad\]

    1. Intorni

      2.  

    2. Punti di accumulazione

      3.  

    3. Proprietà valide definitivamente

    2.  

  2. Limiti

    \[\quad\]

    1. Definizione e teorema di unicità del limite

      2.  

    2. Primi esempi

      3.  

    3. Limiti sinistri e destri

i quali possono essere consultati su teoria sui limiti sul sito Qui Si Risolve.

Qui di seguito sono elencati alcuni risultati essenziali che impiegheremo nel corso della dispensa.

Definizione 1.1 (limite). Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A. Si dice che f ha limite \ell \in \overline{\mathbb{R}} per x che tende a x_0 se, per ogni intorno J di \ell, esiste un intorno I di x_0 tale che

(1) \begin{equation*} f(x) \in J \qquad \forall x \in I \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x)= \ell \qquad \text{o talvolta} \qquad f(x) \xrightarrow[x \to x_0]{} \ell. \end{equation*}

\[\quad\]

Intuitivamente, f ha limite \ell per x \to x_0 se, scegliendo x sufficientemente vicino a x_0, i valori assunti da f(x) possono essere resi arbitrariamente vicini a \ell. Si noti che x_0 può anche non appartenere al dominio A di f, e che il limite \ell non ha alcuna relazione con l’eventuale valore f(x_0). Infatti, (1) non pone alcuna condizione su f(x_0): essa cioè richiede solo che i valori f(x) assunti nell’intorno I escludendo x_0 appartengano all’intorno J di \ell. In generale quindi, anche se x_0 \in A, può aversi f(x_0) \neq \ell, come illustrato nel grafico in alto a sinistra nella figura 1.

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari limiti di funzioni elementari limiti di funzioni elementari

Figura 1: illustrazione di \lim_{x \to x_0} f(x)=\ell: fissato un intorno J (in rosso) di \ell, deve esistere I intorno di x_0 (indicato in verde) tale che f(x) \in J per ogni x \in I \setminus \{x_0\}. Nella prima riga riportiamo il caso x_0 \in \mathbb{R}, nella seconda riga x_0 =-\infty e nella terza riga il caso x_0=+\infty; nella prima colonna riportiamo i casi \ell\in \mathbb{R}, mentre sulla seconda colonna riportiamo i casi \ell=+\infty; non illustriamo i casi \ell=-\infty, che però si ottengono riflettendo la colonna di destra rispetto all’asse x.

\[\quad\]

\[\quad\]

Tabella Limiti

Caso x_0 \ell Definizione 1.1
1 x_0 \in \mathbb{R} \ell \in \mathbb{R} \bullet Per ogni \varepsilon>0, esiste \delta>0 tale che \displaystyle f(x) \in (\ell- \varepsilon,\ell+\varepsilon) \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A \setminus \{x_0\}.

\bullet Per ogni \varepsilon>0, esiste \delta>0 tale che \displaystyle x \in A \colon 0 < |x-x_0| < \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x) - \ell|< \varepsilon.

2 x_0 \in \mathbb{R} \ell = -\infty \bullet Per ogni M \in \mathbb{R}, esiste \delta>0 tale che \displaystyle f(x) \in (-\infty, M) \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A \setminus \{x_0\}.

\bullet Per ogni M \in \mathbb{R}, esiste \delta>0 tale che \displaystyle x \in A \colon 0 < |x-x_0| < \delta \quad \Longrightarrow \quad f(x) < M.

3 x_0 \in \mathbb{R} \ell = +\infty \bullet Per ogni M \in \mathbb{R}, esiste \delta>0 tale che \displaystyle f(x) \in (M,+\infty) \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A \setminus \{x_0\}.

\bullet Per ogni M \in \mathbb{R}, esiste \delta>0 tale che \displaystyle x \in A \colon 0 < |x-x_0| < \delta \quad \Longrightarrow \quad f(x)>M.

4 x_0 = -\infty \ell \in \mathbb{R} \bullet Per ogni \varepsilon>0, esiste H \in \mathbb{R} tale che \,\displaystyle f(x) \in (\ell- \varepsilon,\ell+\varepsilon) \qquad \forall x \in (-\infty,H) \cap A.

\bullet Per ogni \varepsilon>0, esiste H \in \mathbb{R} tale che \displaystyle x \in A \colon x < H \quad \Longrightarrow \quad |f(x) -\ell|< \varepsilon.

5 x_0 = -\infty \ell = -\infty x_0 =-\infty & \ell =-\infty & { \bullet Per ogni M \in \mathbb{R}, esiste H \in \mathbb{R} tale che \,\displaystyle f(x) \in (-\infty,M) \qquad \forall x \in (-\infty,H) \cap A.

\bullet Per ogni M \in \mathbb{R}, esiste H \in \mathbb{R} tale che \displaystyle x \in A \colon x < H \quad \Longrightarrow \quad f(x) < M.

6 x_0 = -\infty \ell = +\infty \bullet Per ogni M \in \mathbb{R}, esiste H \in \mathbb{R} tale che \,\displaystyle f(x) \in (M,+\infty) \qquad \forall x \in (-\infty,H) \cap A.

\bullet Per ogni M \in \mathbb{R}, esiste H \in \mathbb{R} tale che \displaystyle x \in A \colon x < H \quad \Longrightarrow \quad f(x) > M.

7 x_0 = +\infty \ell \in \mathbb{R} \bullet Per ogni \varepsilon>0, esiste H \in \mathbb{R} tale che \,\displaystyle f(x) \in (\ell- \varepsilon,\ell+\varepsilon) \qquad \forall x \in (H,+\infty) \cap A.

\bullet Per ogni \varepsilon>0, esiste H \in \mathbb{R} tale che \displaystyle x \in A \colon x > H \quad \Longrightarrow \quad |f(x) -\ell|< \varepsilon. }

8 x_0 = +\infty \ell = -\infty \bullet Per ogni M \in \mathbb{R}, esiste H \in \mathbb{R} tale che \,\displaystyle f(x) \in (-\infty,M) \qquad \forall x \in (H,+\infty) \cap A.

\bullet Per ogni M \in \mathbb{R}, esiste H \in \mathbb{R} tale che \displaystyle x \in A \colon x > H \quad \Longrightarrow \quad f(x) < M.

9 x_0 = +\infty \ell = +\infty \bullet Per ogni M \in \mathbb{R}, esiste H \in \mathbb{R} tale che \,\displaystyle f(x) \in (M,+\infty) \quad \forall x \in (H,+\infty) \cap A.

\bullet Per ogni M \in \mathbb{R}, esiste H \in \mathbb{R} tale che \displaystyle x \in A \colon x > H \quad \Longrightarrow \quad f(x) > M.

Tabella 1: versioni della definizione 1.1 distinguendo i vari casi tra x_0 e \ell.>

\[\quad\]

\[\quad\]

Teorema 1.2 (algebra dei limiti in \mathbb{R}). Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} due funzioni, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A e supponiamo che i limiti

(3) \begin{equation*} \ell_f \coloneqq \lim_{x \to x_0} f(x), \qquad \ell_g \coloneqq \lim_{x \to x_0} g(x) \end{equation*}

esistano e siano finiti. Allora

(4) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \big(f(x)\pm g(x) \big) = \ell_f \pm \ell_g, \qquad \lim_{x \to x_0} f(x)\cdot g(x) = \ell_f \cdot \ell_g. \end{equation*}

Se inoltre \ell_g \neq 0, allora si ha

(5) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell_f}{\ell_g}. \end{equation*}

\[\quad\]

Risultati analoghi a quelli del teorema 1.2 valgono anche nel caso di limiti infiniti, a volte sotto ipotesi ulteriori, altre volte in condizioni meno restrittive. Introduciamo preliminarmente una notazione con cui indichiamo che una funzione ha limite \ell, ma assumendo definitivamente valori maggiori o minori di \ell.

Definizione 1.3. Sia f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A. Se \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R} e f(x) > \ell per ogni x \in I \cap A \setminus \{x_0\}, dove I è un intorno di x_0, allora si scrive

(6) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell^+. \end{equation*}

Analogamente, si definisce la notazione \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell^-.

\[\quad\]

Siamo ora pronti per trattare l’algebra dei limiti in \overline{\mathbb{R}}. Alla destra di ogni risultato, lo scriviamo tra parentesi quadre in una forma sintetica che estende le naturali operazioni tra numeri reali.

Si intende affermare che espressioni come \dfrac{c}{\infty} = 0 o \dfrac{c}{0^+} = \infty sono semplicemente notazioni sintetiche utilizzate per esprimere il risultato di un teorema, e non rappresentano operazioni effettive nel contesto dei numeri reali.

Teorema 1.4 (algebra dei limiti in \overline{\mathbb{R}}). Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} due funzioni, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A e supponiamo che esistano

(7) \begin{equation*} \ell_f \coloneqq \lim_{x \to x_0} f(x), \qquad \ell_g \coloneqq \lim_{x \to x_0} g(x). \end{equation*}

Sono valide le seguenti proprietà:

\[\quad\]

  1. se \ell_f= +\infty e se \ell_g\neq -\infty, allora

    \[\begin{aligned} & & \lim_{x \to x_0} \big( f(x)+g(x) \big) =& +\infty; & \Big[ \infty + c=\infty \Big] \end{aligned}\]

    2.  

  2. se \ell_f =+\infty e se \ell_g \neq 0, allora

    \[\begin{aligned} & & \lim_{x \to x_0} f(x)\,g(x) &= +\infty \cdot \operatorname{sgn}(\ell_g); & \Big[ \infty \cdot c=\operatorname{sgn}(c) \cdot (+\infty ) \Big] \end{aligned}\]

    3.  

  3. se \ell_f \in \mathbb{R} e se \ell_g = \pm \infty, allora

    \[\begin{aligned} & & \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} &= 0; & \Big[ \frac{c}{\infty}=0 \Big] \end{aligned}\]

    4.  

  4. se \ell_f \neq 0 e se \ell_g = 0^+, allora

    \[\begin{aligned} & & \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} &= \operatorname{sgn}(\ell_f) \cdot (+\infty); & \left [ \frac{c}{0^+}=\operatorname{sgn}(c) \cdot (+\infty) \right ] \end{aligned}\]

Valgono analoghe proprietà invertendo i segni.

\[\quad\]

Abbiamo finora studiato le relazioni tra l’operatore di limite e le classiche operazioni algebriche tra funzioni. Un’altra operazione di fondamentale importanza è la composizione tra funzioni. Risulta quindi naturale chiedersi come questa si comporti relativamente all’operatore di limite.

Domanda 1.5. Se \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = y_0 e \lim_{y \to y_0} g(x) = \ell, si può concludere che \displaystyle\lim_{x \to x_0} g(f(x))= \ell?

La risposta alla precedente domanda è affermativa sotto alcune ipotesi, come illustrato dal prossimo risultato.

Teorema 1.6 (cambio di variabile nei limiti). Siano f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e g \colon B \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} con f(A) \subseteq B; si supponga che x_0 \in \overline{\mathbb{R}} sia di accumulazione per A, y_0 \in \overline{\mathbb{R}} sia di accumulazione per B e che

(8) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = y_0, \qquad \lim_{y \to y_0} g(y) = \ell \in \overline{\mathbb{R}}. \end{equation*}

Se almeno una delle seguenti condizioni

\[\quad\]

  1. f(x) \neq y_0 per ogni x \in I \cap A \setminus \{x_0\}, dove I è un opportuno intorno di x_0,

    2.  

  2. y_0 \in B e f(y_0)=\ell,

è verificata, allora la composizione g \circ f ha limite \ell per x \to x_0, ovvero si ha

(9) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} g(f(x))= \ell. \end{equation*}

\[\quad\]

Date due funzioni f,g, osservando che si può scrivere

(10) \begin{equation*} f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)} \end{equation*}

(qualora tali scritture abbiano senso), grazie al teorema sul cambio di variabili si possono studiare le relazioni tra limiti ed elevamento a potenza, come mostra il teorema seguente. In esso, ipotizziamo f(x)>0 affinché la potenza f(x)^{g(x)} abbia senso, mentre supponiamo g(x)>0 in quanto il caso opposto si ottiene facilmente da

(11) \begin{equation*} f(x)^{g(x)} = \dfrac{1}{f(x)^{-g(x)}} \end{equation*}

e dai teoremi sull’algebra dei limiti.

Teorema 1.7 (limiti e potenze). Siano f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to (0,+\infty) e g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} delle funzioni, sia x_0 \in \overline{ \mathbb{R}} un punto di accumulazione per A e supponiamo che esistano

(12) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell_f \in [0,+\infty] \qquad \lim_{x \to x_0} g(x)= \ell_g \in [0,+\infty]. \end{equation*}

\[\quad\]

  1. Se \ell_f,\ell_g \in [0,+\infty), tranne il caso \ell_f=\ell_g=0, allora \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)^{g(x)} = {\ell_f}^{\ell_g}.

  2. Se \ell_g = +\infty, allora

    (13) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0}f(x)^{g(x)} = \begin{cases} 0 & \text{se } \ell_f \in [0,1); \\ +\infty & \text{se } \ell_f \in (1,+\infty]. \end{cases} \end{equation*}

\[\quad\]

Osservazione 1.8. Le conclusioni del punto 2 del teorema 1.7 possono essere sintetizzate come delle operazioni in \overline{\mathbb{R}}, ovvero con le scritture

\[\boxcolorato{analisi}{a^{+\infty} = \begin{cases} 0 & \text{se } a \in [0,1) \\ +\infty & \text{se } a \in (1, +\infty]. \end{cases}}\]

Per motivi di praticità, le conclusioni di un teorema possono essere espresse in forma operativa; tuttavia, è cruciale riconoscere che tali espressioni non rappresentano operazioni rigorose nel campo dei numeri reali. Di conseguenza, queste notazioni dovrebbero essere impiegate esclusivamente come strumenti intuitivi e non dovrebbero essere utilizzate nelle soluzioni formali degli esercizi.

Si noti anche che il teorema non afferma nulla sulle “operazioni” nella retta reale estesa

(14) \begin{equation*} [0^0], \quad [\infty^0], \quad [1^\infty]. \end{equation*}

Tali scritture sono chiamate forme indeterminate e esulano dagli scopi di questa dispensa.

La dimostrazione di tutti i seguenti teoremi e approfondimenti vari possono essere reperite su

\[\quad\]

3.1. Teoremi sui limiti

\[\quad\]

3.1.1. Limiti e limitatezza   3.1.2. Teoremi di confronto e dei carabinieri   3.1.3. Limiti e successioni: il teorema ponte   3.1.4. Limiti di funzioni monotone

\[\quad\]

4.4. Operazioni con i limiti

\[\quad\]

4.4.1. Algebra dei limiti in \mathbb{R}   4.4.2.Algebra dei limiti in \mathbb{R}   4.4.3. Composizione e cambi di variabile   4.4.4. Limiti di funzioni inverse   4.4.5. Limiti e potenze

nell’articolo teoria sui limiti sul sito Qui Si Risolve.


 
 

Errori nei limiti e notazioni ambigue

Introduzione.

Immaginiamo di voler calcolare il seguente limite:

(15) \begin{equation*} \lim_{x \to 3^+ } \frac{1}{x - 3}. \end{equation*}

Per affrontare questo problema, possiamo applicare un cambio di variabile, ponendo x - 3 = t. In questo modo, il limite si trasforma nel seguente:

(16) \begin{equation*} \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t}. \end{equation*}

Grazie al teorema sul cambio di variabili (vedi teorema 1.6), sappiamo che il limite \lim_{t \to 0^+} \dfrac{1}{t} è uguale a +\infty. La dimostrazione dettagliata di questo fatto si trova nell’esempio 2.1.

Questo approccio esemplifica come dovrebbero essere affrontati i limiti per evitare ambiguità e abusi di notazione, garantendo un rigoroso rispetto delle regole matematiche.

Tuttavia, è interessante notare che, nella pratica, molti studenti e matematici utilizzano, almeno mentalmente, alcune scritture non del tutto rigorose per facilitare il calcolo di limiti simili. Queste notazioni, sebbene non formalmente corrette, aiutano a intuire il comportamento della funzione nelle vicinanze del punto critico. Ecco alcuni esempi di tali scritture:

(17) \begin{equation*} \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{3^+ - 3} = \frac{1}{0^+} = +\infty, \end{equation*}

e

(18) \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = e^{-(+\infty)^2} = e^{-\infty} = 0^+. \end{equation*}

Questi passaggi non sono rigorosi dal punto di vista formale, ma risultano utili per un calcolo mentale rapido. Pur consapevoli delle loro limitazioni, è difficile negare l’efficacia di tali notazioni nell’intuizione del comportamento limite di una funzione.

Nell’ambito dell’insegnamento liceale e universitario, capita spesso di vedere applicati passaggi simili a quelli illustrati nei limiti precedenti. Tuttavia, tali approcci possono introdurre errori formali e ambiguità nella notazione. È importante ricordare che i limiti possono essere calcolati direttamente tramite sostituzione solo se la funzione è continua nel punto considerato.

Ad esempio, la funzione \dfrac{1}{x - 3} non è definita per x = 3. Pertanto, non è matematicamente corretto sostituire semplicemente x = 3 nel limite. Inoltre, l’introduzione di notazioni come x = 3^- non risolve il problema concettuale di fondo, ovvero il fatto che stiamo tentando di calcolare il limite per sostituzione in un punto in cui la funzione non è continua.

Per chiarire ulteriormente questo concetto, riportiamo un estratto tratto dal libro del professore Renato Fiorenza [4]. Nella pagina 178, viene discusso un caso simile con i relativi calcoli e considerazioni.

\[\quad\]

“La funzione dell’esempio precedente è composta mediante più di due funzioni, ed allora conviene sintetizzare ulteriormente l’applicazione pratica del teorema sul limite di una funzione composta. Per mostrare come si procede, consideriamo il limite:

\[ \lim_{x \to -\infty} \arctan \left(\left( \log \tanh 5^{ - \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right)}\right)^{-3} \right). \]

Si ragiona (mentalmente) come segue:

\[ \begin{aligned} \text{per } x \to -\infty &\implies x^3 - 7x + 1 \to -\infty \implies \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right) \to -\infty \implies \\ &\implies -\sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right) \to +\infty \implies 5^{ - \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right)} \to +\infty \implies \\ &\implies \tanh 5^{ - \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right)} \to 1^{-} \implies \\ &\implies \log \left(\tanh 5^{ - \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right)}\right) \to 0^{-} \implies \\ &\implies \left(\log \tanh 5 ^{- \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right)}\right)^{-3} \to -\infty \implies \\ &\implies \arctan \left( \left(\log \tanh 5^{ - \sinh \left( x^3 - 7x + 1 \right) }\right)^{-3}\right) \to -\frac{\pi}{2}'' \end{aligned} \]

\[\quad\]

Per risolvere il limite precedentemente discusso, sono stati applicati il teorema 1.6 e il teorema 1.7. Come evidenziato, l’insegnante ha utilizzato il termine “mentalmente”, sottolineando l’utilità di eseguire una serie di passaggi mentali in determinate circostanze per arrivare rapidamente al risultato, evitando di perdersi in eccessive formalità matematiche.

A tal proposito, riteniamo utile introdurre degli abusi di notazione, che permettono di rendere tali ragionamenti “mentali” più espliciti e trasparenti, in modo che siano accessibili a tutti. La notazione presentata nella osservazione 1.8

\[\boxcolorato{analisi}{a^{+\infty} = \begin{cases} 0 & \text{se } a \in [0,1) \\ +\infty & \text{se } a \in (1, +\infty]. \end{cases} }\]

costituisce un primo esempio di abuso di notazione, come anche negli esempi (20) e (18).

È fondamentale comprendere che, quando si scrive:

(19) \begin{equation*} \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{3^+ - 3} = \frac{1}{0^+} = +\infty, \end{equation*}

non si sta eseguendo un vero calcolo di limite, bensì si fa uso di un abuso di notazione. Tale notazione viene impiegata per semplificare il ragionamento, evitando di dover applicare ogni volta la definizione formale di limite come indicato nella tabella 1 o di dover richiamare costantemente il teorema applicato. Si tratta, dunque, di un approccio informale e non rigoroso, che però non deve essere confuso con l’atto di calcolare un limite.

Ci si interroga, dunque, sul significato di questa serie di passaggi:

(20) \begin{equation*} \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{3^+ - 3} = \frac{1}{0^+} = +\infty. \end{equation*}

Il precedente abuso di notazione può essere interpretato come segue: avvicinandosi da destra verso il valore 3, cioè considerando un intorno destro sufficientemente piccolo di 3, l’espressione x - 3 tende a diventare sempre più piccola positivamente. Di conseguenza, l’espressione \dfrac{1}{x - 3}, tende a crescere indefinitamente, fino a “esplodere”. Con il termine “esplodere” si intende proprio che, man mano che ci avviciniamo da destra a 3, il denominatore diventa sempre più piccolo, e quindi \dfrac{1}{x - 3} diventa sempre più grande fino appunto ad “esplodere”, cioè a divergere a +\infty. Questa è l’interpretazione sottesa all’espressione \dfrac{1}{3^+ - 3} = \dfrac{1}{0^+}: avvicinandosi da destra a 3, la funzione \dfrac{1}{x - 3} si comporta in maniera analoga alla funzione \dfrac{1}{x} in un intorno destro di zero, come confermato dai risultati in (15) e (16). Un ragionamento analogo può essere applicato al limite (20) utilizzando il teorema 1.6 e sviluppando una giustificazione simile a quella precedente.

Autori di spicco come Marco Bramanti, Carlo D. Pagani e Sandro Salsa adottano notazioni simili a quella discussa. Tali notazioni possono essere trovate, ad esempio, a pagina 99 di [3]. Per completezza, riportiamo qui di seguito alcuni estratti significativi:

Equazione con Array

\[ $$\boxcolorato{analisi}{ \begin{array}{c} a + \infty = +\infty \\[10pt] a - \infty = -\infty \\[10pt] +\infty + \infty = +\infty \\[10pt] -\infty - \infty = -\infty \end{array}} \]

e

Operazioni con infinito

\[ $$\boxcolorato{analisi}{\begin{array}{c} a \cdot \infty = \infty \quad (a \neq 0) \\[10pt] \dfrac{a}{0} = \infty \quad (a \neq 0) \\[10pt] \dfrac{a}{\infty} = 0 \end{array}} \]

Quando utilizziamo l’espressione \dfrac{1}{0}, non stiamo suggerendo che si tratti di una divisione di un numero per zero, ma piuttosto di una divisione per una quantità che tende a zero. È cruciale considerare anche il segno di tale quantità. Per semplificare questa idea, si può introdurre la convenzione che x_0^{\pm} (con il segno \pm come indice in alto) rappresenti una quantità che tende a x_0 rispettivamente da destra (+) o da sinistra (-). Questa notazione è particolarmente utile per rendere più agevole la scrittura durante i calcoli, soprattutto quando si tratta di limiti calcolati a mente.

Per esempio, quando ci riferiamo ad espressioni del tipo \dfrac{f(0^+)}{g(0^+)}, non intendiamo il quoziente dei limiti di f(x) e g(x) separatamente, ma piuttosto il limite del quoziente della funzione h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}, valutata nel punto x che tende a zero da destra, ossia h(0^+). Formalmente, possiamo esprimere questo concetto come:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0^+} h(x). \]

Questo sottolinea che stiamo considerando il comportamento della funzione h(x) mentre x si avvicina a zero da destra, e non stiamo calcolando separatamente i limiti di f(x) e g(x). Tale distinzione è fondamentale per una corretta interpretazione e applicazione dei limiti.

È essenziale comprendere che questa notazione riflette la nostra intenzione di analizzare il comportamento della funzione h(x) mentre x si avvicina a zero, e non semplicemente calcolare separatamente i limiti di f(x) e g(x). Questo concetto può sembrare implicito, ma diventa una parte naturale del nostro ragionamento una volta che si ha piena padronanza della teoria sui limiti.

Tutti gli abusi di notazione utilizzati e le loro interpretazioni verranno ulteriormente approfonditi nelle sezioni successive, dove esamineremo questi concetti in modo più accademico, presentando i risultati anche come formule matematiche dopo una spiegazione verbale dettagliata.

Tutti gli abusi di notazione usati e le loro interpretazioni verranno presentate nelle sezioni che seguono. Le precedenti notazioni prendono il nome di l’aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito. Quindi, l’aritmetizzazione parziale dell’infinito permette di trattare l’infinito come un’entità su cui si possono fare alcune operazioni, ma con delle restrizioni per preservare la coerenza matematica.


Esempi.

Esempio 2.1. Verificare che

\[\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty.\]

Dimostrazione. Dimostriamo che \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty usando la definizione formale per x_0 = 0^+ e \ell = +\infty, seguendo il caso 3 della tabella 1. Si ha:

\[ \forall M > 0, \exists \delta > 0 \text{ tale che } 0 < x < \delta \implies \dfrac{1}{x} > M. \]

Consideriamo un M > 0. Dobbiamo trovare \delta > 0 tale che:

\[ 0 < x < \delta \implies \dfrac{1}{x} > M. \]

Sappiamo che \dfrac{1}{x} > M è equivalente a:

\[ 0<x < \dfrac{1}{M}. \]

Scegliamo quindi \delta = \dfrac{1}{M}. Allora, se 0 < x < \delta = \dfrac{1}{M}, abbiamo:

\[ \frac{1}{x} > M. \]

Questo dimostra che:

\[ \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty. \]

Di seguito, presentiamo la proposizione 2.2 e l’esempio 2.3, che applica questa proposizione alla funzione f(x) = \dfrac{1}{x}, dimostrando che il limite in x = 0 non esiste poiché i limiti destro e sinistro sono diversi.

Proposizione 2.2 (relazione tra limite sinistro, destro e limite). Sia f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, sia x_0 un punto di accumulazione sinistro e destro per A e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

\[\quad\]

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)= \ell;

    2.  

  2. \displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x)= \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell.

Esempio 2.3. La funzione f \colon \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} definita da

(21) \begin{equation*} f(x) = \frac{1}{x} \qquad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \end{equation*}

non ha limite per x \to 0. Infatti, come dimostrato precedentemente, sappiamo che

\[\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty.\]

Il limite

\[\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty,\]

si dimostra in modo analogo al precedente. Poiché i limiti destro e sinistro in 0 esistono ma sono diversi, per la proposizione 2.2 il limite di f in 0 non esiste.


 
 

Cosa sono i limiti elementari?

Introduzione.

Il termine limiti elementari si riferisce ai limiti che possono essere calcolati usando regole e tecniche di base, senza richiedere metodi avanzati o particolari strumenti di calcolo. In genere, questi limiti sono semplici e non coinvolgono forme indeterminate.

Caratteristiche dei limiti elementari.

  • Facilità di calcolo: i limiti elementari sono calcolabili direttamente applicando regole fondamentali di limiti, senza necessità di algebra avanzata o calcolo di forme indeterminate.

    •  

  • Nessuna forma Indeterminata: non presentano forme indeterminate come \dfrac{0}{0}, \dfrac{\infty}{\infty}, ecc..

    •  

  • Regole fondamentali: si basano su regole semplici come il limite di una funzione costante, la linearità dei limiti, e il limite di funzioni polinomiali e razionali in punti non problematici.

Dunque, è sufficiente passare al limite, eseguire il calcolo, e il gioco è fatto. Si tratta semplicemente di applicare le proprietà delle funzioni, come descritto nella teoria sulle funzioni, nelle funzioni trigonometriche e iperboliche, e nelle funzioni algebriche, esponenziali e logaritmiche.


 
 

Notazioni e risultati notevoli nei limiti

Introduzione.

Nel calcolo dei limiti, specialmente quando si trattano limiti che tendono all’infinito, è essenziale comprendere e utilizzare correttamente alcune notazioni che, pur essendo considerate “abusi di notazione” in un contesto rigorosamente formale, risultano estremamente utili per la comprensione e la risoluzione pratica degli esercizi.

Consideriamo, ad esempio, espressioni come +\infty + \infty = +\infty o k \times (+\infty) = +\infty per k > 0. Queste scritture possono sembrare controintuitive all’inizio, dato che l’infinito non è un numero nel senso tradizionale. Tuttavia, adottare queste notazioni permette agli studenti di affrontare e risolvere problemi di limiti in maniera più intuitiva e diretta, senza dover passare ogni volta attraverso formalismi complessi.

L’uso di queste notazioni è particolarmente utile quando si lavora con limiti che coinvolgono quantità infinitamente grandi o infinitamente piccole. Per esempio, è spesso conveniente trattare +\infty come una quantità che può essere manipolata algebricamente, pur sapendo che in un contesto rigoroso tali operazioni non sono ben definite senza un’adeguata teoria di supporto, come quella degli iperreali o la teoria delle distribuzioni.

\[\quad\]

  • Somma di infiniti: +\infty + \infty = +\infty e -\infty + (-\infty) = -\infty.

    •  

  • Somma di infinito e costante: +\infty + k = +\infty e -\infty + k = -\infty per ogni numero finito k.

    •  

  • Moltiplicazione di infinito per un numero positivo o negativo: k \times (+\infty) = +\infty se k > 0 oppure k \times (+\infty) = -\infty se k < 0. Analogamente, k \times (-\infty) = -\infty se k > 0 oppure k \times (-\infty) = +\infty se k < 0.

    • Questi abusi di notazioni permettono di semplificare notevolmente la risoluzione dei limiti, aiutando a concentrarsi sulla struttura fondamentale del problema piuttosto che perdersi in dettagli tecnici.

    È importante sottolineare che +\infty non è un numero grande, ma piuttosto un concetto che rappresenta una crescita illimitata. In altre parole, +\infty non è un valore numerico che si può manipolare come un numero ordinario; non è un punto fisso nella retta dei numeri reali, ma indica un’infinità che continua a crescere senza alcun limite. Questa distinzione è cruciale per evitare fraintendimenti, specialmente quando si utilizzano notazioni come +\infty + k = +\infty o +\infty \times k = +\infty (per k > 0).

    Queste espressioni non implicano che +\infty sia un numero finito, ma riflettono piuttosto la proprietà che, quando una quantità cresce senza limiti, l’aggiunta o la moltiplicazione di una quantità finita non ne altera la crescita illimitata.


Funzione y=k/x.

Consideriamo la funzione f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}, f(x)=k/x, con k\in \mathbb{R}\setminus\{0\}.

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 2: grafico della funzione y = \dfrac{k}{x} per diversi valori di k.

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di monotonia, la funzione si comporta diversamente a seconda del segno di k. Per k > 0, la funzione è sempre strettamente decrescente sia per x > 0 sia per x < 0. Al contrario, per k < 0, la funzione è sempre strettamente crescente sia per x > 0 sia per x < 0.

Dal grafico rappresento in figura 2 si può osservare che

\[\lim_{x\to+0^+}\dfrac{k}{x}=\begin{cases} +\infty\quad \text{se }k>0\\ -\infty\quad \text{se }k<0, \end{cases}\]

\[\lim_{x\to+0^-}\dfrac{k}{x}=\begin{cases} -\infty\quad \text{se }k>0\\ +\infty\quad \text{se }k<0, \end{cases}\]

e

\[\lim_{x\to\pm \infty}\dfrac{k}{x}=0,\quad \forall k \in\mathbb{R}\setminus\{0\}.\]

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{\dfrac{k}{0^{+}}=\begin{cases} +\infty\quad \text{se }k>0\\ -\infty\quad \text{se }k<0, \end{cases} }\]

\[\boxcolorato{analisi}{\dfrac{k}{0^{-}}=\begin{cases} -\infty\quad \text{se }k>0\\ +\infty\quad \text{se }k<0, \end{cases} }\]

e

\[\boxcolorato{analisi}{\dfrac{k}{\pm \infty}=0.}\]

Dimostrazione del limite \lim_{x \to 0^+} \frac{k}{x}=+\infty, con k>0.

In questo caso, utilizziamo la definizione della tabella 1, caso 3.

Se k > 0, vogliamo dimostrare che \lim_{x \to 0^+} \dfrac{k}{x} = +\infty.

Sia M > 0. Dobbiamo trovare un \delta > 0 tale che per ogni x \in (0, \delta), si abbia \dfrac{k}{x} > M.

\[ \frac{k}{x} > M \implies 0<x < \frac{k}{M}. \]

Quindi, possiamo scegliere \delta = \dfrac{k}{M}. Per questa scelta di \delta, se x \in (0, \delta), allora \dfrac{k}{x} > M, come richiesto.

Pertanto, per ogni M > 0, esiste \delta = \dfrac{k}{M} > 0 tale che \dfrac{k}{x} > M per x \in (0, \delta). Questo dimostra che \lim_{x \to 0^+} \dfrac{k}{x} = +\infty per k > 0.

Dimostrazione del \lim_{x \to +\infty} \frac{k}{x} = 0 con k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}} In questo caso, utilizziamo la definizione della tabella1, caso 7.

Ora consideriamo il limite \lim_{x \to +\infty} \dfrac{k}{x} = 0.

Sia \epsilon > 0. Dobbiamo dimostrare che per ogni \epsilon > 0 esiste un H > 0 tale che per x > H, si ha che \left|\dfrac{k}{x}\right| < \epsilon.

\[ \left|\frac{k}{x}\right| < \epsilon \implies x > \frac{|k|}{\epsilon}. \]

Quindi, possiamo scegliere H = \dfrac{|k|}{\epsilon}. Per questa scelta di H, se x > H, allora \left|\dfrac{k}{x}\right| < \epsilon.

Pertanto, per ogni \epsilon > 0, esiste H = \dfrac{|k|}{\epsilon} tale che \left|\dfrac{k}{x}\right| < \epsilon per x > H. Questo dimostra che

\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{k}{x} = 0, \]

indipendentemente dal segno di k.

Per gli altri limiti si procede analogamente come i precedenti utilizzando le notazioni appropriate della tabella 1.


Funzione y=a^x.

Consideriamo la funzione f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, f(x) = a^x, con a > 0 , a \neq 1.

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 3: grafico della funzione y = a^x per diversi valori di a.

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di monotonia, la funzione esponenziale y = a^x si comporta diversamente a seconda del valore di a:

\[\quad\]

  • per a > 1, la funzione è strettamente crescente per ogni x;

    •  

  • per 0 < a < 1, la funzione è strettamente decrescente per ogni x.

Dal grafico rappresentato in figura 3 si può osservare che:

\[ \lim_{x \to -\infty} a^x = \begin{cases} 0\quad & \text{se } a > 1, \\ +\infty & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases} \]

e

\[ \lim_{x \to +\infty} a^x = \begin{cases} +\infty & \text{se } a > 1, \\ 0 & \text{se } 0 < a < 1. \end{cases} \]

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{a^{-\infty} = \begin{cases} 0 & \text{se } a > 1, \\ +\infty & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases}}\]

e

\[\boxcolorato{analisi}{a^{+\infty} = \begin{cases} +\infty & \text{se } a > 1, \\ 0 & \text{se } 0 < a < 1. \end{cases}}\]

Dimostrazione del limite \lim_{x \to -\infty} a^x

Caso a > 1

In questo caso, utilizziamo la definizione della tabella 1, caso 4.

Vogliamo dimostrare che \lim_{x \to -\infty} a^x = 0.

Sia \epsilon > 0. Dobbiamo trovare un H > 0 tale che per ogni x < -H, si abbia |a^x - 0| < \epsilon, ovvero:

\[ a^x < \epsilon. \]

Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri, otteniamo:

\[ x \ln(a) < \ln(\epsilon). \]

Dividendo per \ln(a), che è positivo dato che a > 1, otteniamo:

\[ x < \frac{\ln(\epsilon)}{\ln(a)}. \]

Si noti che \dfrac{\ln(\epsilon)}{\ln(a)} è un numero negativo che diventa sempre più grande (in valore assoluto) quanto più \varepsilon > 0 è prossimo a 0.

Quindi, possiamo scegliere H = -\dfrac{\ln(\epsilon)}{\ln(a)}. Per questa scelta di H, se x < -H, allora a^x < \epsilon, come richiesto.

Pertanto, per ogni \epsilon > 0, esiste H > 0 tale che a^x < \epsilon per x < -H. Questo dimostra che:

\[ \lim_{x \to -\infty} a^x = 0, \quad \text{se } a > 1. \]

Caso 0 < a < 1

In questo caso, utilizziamo la definizione della tabella 1, caso 6. Vogliamo dimostrare che \lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty.

Sia M > 0. Dobbiamo trovare un H > 0 tale che per ogni x < -H, si abbia a^x > M.

Consideriamo che a = \dfrac{1}{b}, con b > 1. Quindi, a^x = \left(\dfrac{1}{b}\right)^x = b^{-x}. Vogliamo dimostrare che b^{-x} > M, ovvero:

\[ -\ln(b) \cdot x > \ln(M). \]

Dividendo per -\ln(b), che è negativo, otteniamo:

\[ x < -\frac{\ln(M)}{\ln(b)}. \]

Quindi, possiamo scegliere H = \dfrac{\ln(M)}{\ln(b)}. Per questa scelta di H, se x < -H, allora a^x > M, come richiesto.

Pertanto, per ogni M > 0, esiste H > 0 tale che a^x > M per x < -H. Questo dimostra che:

\[ \lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty, \quad \text{se } 0 < a < 1. \]

Per gli altri limiti si procede analogamente come i precedenti utilizzando le notazioni appropriate della tabella 1.


y=log_a(x).

Consideriamo la funzione f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}, f(x) = \log_a(x), con a > 0 e a \neq 1.

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 4: grafico della funzione y = \log_a(x) per diversi valori di a.

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di monotonia, la funzione logaritmica y = \log_a(x) si comporta diversamente a seconda del valore di a:

\[\quad\]

  • per a > 1, la funzione è strettamente crescente per ogni x > 0.

    •  

  • per 0 < a < 1, la funzione è strettamente decrescente per ogni x > 0.

Dal grafico rappresentato in figura 4 si può osservare che:

\[ \lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = \begin{cases} -\infty & \text{se } a > 1, \\ +\infty & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases} \]

e

\[ \lim_{x \to +\infty} \log_a(x) = \begin{cases} +\infty & \text{se } a > 1, \\ -\infty & \text{se } 0 < a < 1. \end{cases} \]

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{\log_a(0^+) = \begin{cases} -\infty & \text{se } a > 1, \\ +\infty & \text{se } 0 < a < 1 \end{cases}}\]

e

\[\boxcolorato{analisi}{\log_a(+\infty) = \begin{cases} +\infty & \text{se } a > 1, \\ -\infty & \text{se } 0 < a < 1. \end{cases}}\]

Si noti che calcolare il limite per x \to 0^- e x \to -\infty non ha senso, poiché la funzione logaritmo non è definita per x < 0.

Dimostrazione del limite.

Caso 1: a > 1

In questo caso, utilizziamo la definizione della tabella 1, caso 2.

Vogliamo dimostrare che \lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = -\infty.

Sia M > 0. Dobbiamo trovare un \delta > 0 tale che per ogni x \in (0, \delta), si abbia \log_a(x) < -M.

Riscrivendo questa disuguaglianza in termini esponenziali, otteniamo:

\[ 0<x < a^{-M}. \]

Si noti che per M \gg 0, a^{-M} è positivo e prossimo a 0.

Quindi, possiamo scegliere \delta = a^{-M}. Per questa scelta di \delta, se x \in (0, \delta), allora \log_a(x) < -M.

Pertanto, per ogni M > 0, esiste \delta = a^{-M} tale che \log_a(x) < -M per x \in (0, \delta). Questo dimostra che:

\[ \lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = -\infty \quad \text{se } a > 1. \]

Caso 2: 0 < a < 1

In questo caso, utilizziamo la definizione della tabella 1, caso 3.

Vogliamo dimostrare che \lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = +\infty.

Sia M > 0. Dobbiamo trovare un \delta > 0 tale che per ogni x \in (0, \delta), si abbia \log_a(x) > M.

Riscrivendo questa disuguaglianza in termini esponenziali, otteniamo:

\[ 0<x < a^M. \]

Si noti che se 0 < a < 1, allora per M \gg 0 si ha che a^M è positivo e prossimo a 0.

Quindi, possiamo scegliere \delta = a^M. Per questa scelta di \delta, se x \in (0, \delta), allora \log_a(x) > M.

Pertanto, per ogni M > 0, esiste \delta = a^M tale che \log_a(x) > M per x \in (0, \delta). Questo dimostra che:

\[ \lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = +\infty \quad \text{se } 0 < a < 1. \]

Per gli altri limiti si procede analogamente ai precedenti, utilizzando le notazioni appropriate riportate nella tabella 1.

Osservazione 5.1. Spesso gli studenti sono portati a commettere i seguenti errori:

\[ \boxed{\lim_{x\to 0^-}\ln(x) \quad \text{oppure} \quad \lim_{x\to -\infty}\ln(x).} \]

È importante sottolineare che tali espressioni non hanno senso, poiché il logaritmo naturale è definito solo per x > 0.


Funzione y=x^{1/n}.

Consideriamo la funzione f : [0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x) = x^{1/n}, dove n è un numero naturale diverso da zero.

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 5: grafico della funzione y = x^{1/2}.

\[\quad\]

\[\quad\]

La funzione radice y = x^{1/n} è definita solo per x \geq 0 quando n è un numero naturale. Pertanto, non ha senso considerare limiti per x \to 0^- o x \to -\infty, poiché la funzione non è definita per x < 0.

\[ \lim_{x \to +\infty} x^{1/n} = +\infty \quad \text{per ogni } n \in \mathbb{N}^+. \]

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite, come nei precedenti esercizi.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{(+\infty)^{1/n} = +\infty \quad \text{per ogni } n \in \mathbb{N}^+.}\]

Dunque, dalla precedente notazione, si ha

\[\boxed{\sqrt[2]{+\infty}=+\infty, \, \sqrt[3]{+\infty}=+\infty, \,\sqrt[4]{+\infty}=+\infty, \,\sqrt[5]{+\infty}=+\infty, \dots}\]


Funzioni y=sin(x) e y=cos(x) .

Consideriamo le funzioni f : \mathbb{R} \to [-1, 1], f(x) = \sin(x) e g : \mathbb{R} \to [-1, 1], g(x) = \cos(x).

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 6: grafico delle funzioni y = \sin(x) e y = \cos(x).

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di comportamento asintotico, i limiti delle funzioni seno e coseno per x che tende a +\infty e -\infty non esistono. Questi fatti possono essere dimostrati grazie al teorema Ponte.

I limiti delle funzioni seno e coseno per x \to \pm\infty possono essere quindi riassunti come segue:

\[ \lim_{x \to \pm \infty} \sin(x) \quad \text{non esiste}, \]

e

\[ \lim_{x \to \pm \infty} \cos(x) \quad \text{non esiste}. \]


Funzione y=tan(x).

Consideriamo la funzione f : \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, f(x) = \tan(x).

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 7: grafico della funzione y = \tan(x) con asintoti verticali x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi.

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di comportamento asintotico, la funzione tangente presenta asintoti verticali nelle posizioni x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, con k \in \mathbb{Z}.

Dal grafico rappresentato in figura 7 si può osservare che:

\[ \lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^-} \tan(x) = -\infty, \]

e

\[ \lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^+} \tan(x) = +\infty. \]

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{ \tan\left(\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^- \right)=+\infty}\]

e

\[\boxcolorato{analisi}{\tan\left(\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^+ \right)=-\infty.}\]


Funzione y=cot(x).

Consideriamo la funzione f : \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}, \, f(x) = \cot(x).

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 8: grafico della funzione y = \cot(x) con asintoti verticali in corrispondenza di k\pi.

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di comportamento asintotico, la funzione cotangente presenta asintoti verticali nelle posizioni x = k\pi, con k \in \mathbb{Z}.

Dal grafico rappresentato in figura 8 si può osservare che:

\[ \lim_{x \to (k\pi)^-} \cot(x) = +\infty, \]

e

\[ \lim_{x \to (k\pi)^+} \cot(x) = -\infty. \]

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{\cot\left( (k\pi)^- \right) = +\infty, }\]

e

\[\boxcolorato{analisi}{\cot\left( (k\pi)^+ \right) = -\infty. }\]

Nella tabella 1 riepiloghiamo i limiti visti nei precedenti esempi, insieme ad altri limiti di alcune funzioni elementari di base, le cui dimostrazioni possono essere reperite in [].


Funzione y=arctan(x).

Consideriamo la funzione f : \mathbb{R} \to \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right), f(x) = \arctan(x).

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 9: grafico della funzione y = \arctan(x) con asintoti orizzontali y = \dfrac{\pi}{2} e y = -\dfrac{\pi}{2}.

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di monotonia, la funzione arctangente y = \arctan(x) è strettamente crescente su tutto \mathbb{R} e ha come asintoti orizzontali le rette y = \dfrac{\pi}{2} e y = -\dfrac{\pi}{2}.

Dal grafico rappresentato in figura 9 si può osservare che:

\[ \lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}, \]

e

\[ \lim_{x \to +\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}. \]

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{ \arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2},}\]

e

\[\boxcolorato{analisi}{\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}.}\]


Funzione y=arccot(x).

Consideriamo la funzione f : \mathbb{R} \to \left(0, \pi\right), f(x) = \text{arccot}(x).

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 10: grafico della funzione y = \text{arccot}(x) con asintoti orizzontali y = 0 e y = \pi.

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di monotonia, la funzione arcocotangente y = \text{arccot}(x) è strettamente decrescente su tutto \mathbb{R} e ha come asintoti orizzontali le rette y = 0 e y = \pi.

Dal grafico rappresentato in figura 10 si può osservare che:

\[ \lim_{x \to -\infty} \text{arccot}(x) = \pi, \]

e

\[ \lim_{x \to +\infty} \text{arccot}(x) = 0. \]

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{\text{arccot}(-\infty) = \pi,}\]

e

\[\boxcolorato{analisi}{\text{arccot}(+\infty) = 0.}\]


Funzione y=arcsin(x).

Consideriamo la funzione f : [-1, 1] \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right], f(x) = \arcsin(x), che è la funzione inversa del seno. La funzione inversa del seno y = \arcsin(x) è definita solo sull’intervallo [-1, 1]. Pertanto, non ci sono punti da indagare al di fuori di questo intervallo, e non ha senso considerare limiti per x \to +\infty o x \to -\infty, in quanto la funzione non è definita per tali valori.

Funzione y=arccos(x).

Consideriamo la funzione f : [-1, 1] \to [0, \pi], f(x) = \arccos(x), che è la funzione inversa del coseno.

La funzione inversa del coseno y = \arccos(x) è definita solo sull’intervallo [-1, 1]. Pertanto, non ci sono punti da indagare al di fuori di questo intervallo, e non ha senso considerare limiti per x \to +\infty o x \to -\infty, in quanto la funzione non è definita per tali valori.


Funzione y=sinh(x).

\[ \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}. \]

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 11: grafico della funzione y = \sinh(x).

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di monotonia, la funzione seno iperbolico y = \sinh(x) è strettamente crescente su tutto x \in \mathbb{R} e non ha asintoti di alcun genere.

Dal grafico rappresentato in figura 11 si può osservare che:

\[ \lim_{x \to -\infty} \sinh(x) = -\infty, \]

\[ \lim_{x \to +\infty} \sinh(x) = +\infty. \]

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{\sinh(-\infty) = -\infty,}\]

e

\[\boxcolorato{analisi}{\sinh(+\infty) = +\infty.}\]


Funzione y=cosh(x).

Consideriamo la funzione f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, f(x) = \cosh(x), dove il coseno iperbolico è definito come:

\[ \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}. \]

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 12: grafico della funzione y = \cosh(x).

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di monotonia, la funzione coseno iperbolico y = \cosh(x) è strettamente crescente per x > 0 e strettamente decrescente per x < 0. Il coseno iperbolico non ha asintoti di alcun genere, ma ha un minimo globale nel punto x = 0, dove \cosh(0) = 1.

Dal grafico rappresentato in figura 12 si può osservare che:

\[ \lim_{x \to -\infty} \cosh(x) = +\infty, \]

e

\[ \lim_{x \to +\infty} \cosh(x) = +\infty. \]

Il fatto che i due limiti sono uguali era deducibile anche dal fatto che la funzione è pari.

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale definire le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{\cosh(-\infty) = +\infty,}\]

e

\[\boxcolorato{analisi}{\cosh(+\infty) = +\infty.}\]


Funzione y=tanh(x).

Consideriamo la funzione f : \mathbb{R} \to (-1, 1), f(x) = \tanh(x), dove la tangente iperbolica è definita come:

\[ \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}. \]

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 13: grafico della funzione y = \tanh(x) con gli asintoti y = 1 e y = -1.

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di monotonia, la funzione tangente iperbolica y = \tanh(x) è strettamente crescente su tutto \mathbb{R} e ha come asintoti orizzontali le rette y = 1 e y = -1.

Dal grafico rappresentato in figura 13 si può osservare che:

\[ \lim_{x \to -\infty} \tanh(x) = -1, \]

\[ \lim_{x \to +\infty} \tanh(x) = +1. \]

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale introdurre le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{\tanh(-\infty) = -1,}\]

e

\[\boxcolorato{analisi}{\tanh(+\infty) = 1.}\]


Funzione y=arsinh(x).

Consideriamo la funzione f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \text{arsinh}(x), dove la funzione inversa del seno iperbolico è definita come:

\[ \text{arsinh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right). \]

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 14: grafico della funzione y = \text{arsinh}(x).

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di monotonia, la funzione inversa del seno iperbolico y = \text{arsinh}(x) è strettamente crescente su tutto \mathbb{R}, e non presenta asintoti di alcune genere.

Dal grafico rappresentato in figura 14 si può osservare che:

\[ \lim_{x \to -\infty} \text{arsinh}(x) = -\infty, \]

\[ \lim_{x \to +\infty} \text{arsinh}(x) = +\infty. \]

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale introdurre le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{\text{arsinh}(-\infty) = -\infty,}\]

e

\[\boxcolorato{analisi}{\text{arsinh}(+\infty) = +\infty.}\]


Funzione y=arcosh(x).

\[ \text{arcosh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right). \]

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 15: grafico della funzione inversa del coseno iperbolico y = \text{arcosh}(x).

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di monotonia, la funzione inversa del coseno iperbolico y = \text{arcosh}(x) è strettamente crescente per x \geq 1, e non presenta asintoti di alcune genere.

Dal grafico rappresentato in figura 15 si può osservare che:

\[ \lim_{x \to +\infty} \text{arcosh}(x) = +\infty, \]

\[ \text{arcosh}(1) = 0. \]

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale introdurre le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{\text{arcosh}(+\infty) = +\infty.}\]

Inoltre, si osservi che

\[ \boxed{\text{arcosh}(1) = 0.} \]


Funzione y=artanh}(x).

\[ \text{artanh}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right). \]

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 16: grafico della funzione y = \text{artanh}(x) con gli asintoti x = -1 e x = 1.

\[\quad\]

\[\quad\]

In termini di monotonia, la funzione inversa della tangente iperbolica y = \text{artanh}(x) è strettamente crescente su tutto l’intervallo (-1, 1), e ha asintoti verticali alle rette x = 1 e x = -1.

Dal grafico rappresentato in figura 16 si può osservare che:

\[ \lim_{x \to -1^+} \text{artanh}(x) = -\infty, \]

e

\[ \lim_{x \to 1^-} \text{artanh}(x) = +\infty. \]

I precedenti fatti possono essere dimostrati applicando la definizione di limite.

Procedendo come nell’osservazione 1.8, viene naturale introdurre le seguenti notazioni:

\[\boxcolorato{analisi}{\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2},}\]

e

\[\boxcolorato{analisi}{\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}.}\]


 
 

Tabelle dei limiti notevoli e delle notazioni utilizzate

Leggi...

La tabella 2 riassume la maggior parte dei limiti trattati in precedenza, mentre la tabella 3 riepiloga le notazioni adottate per lo svolgimento dei limiti.

\[\quad\]

Tabella Limiti Funzioni

Funzione Estremo sinistro Interno Estremo destro
f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ n \in \mathbb{N} f(x) = x^n \lim_{x \to -\infty} x^n \lim_{x \to x_0} x^n = x_0^n \lim_{x \to +\infty} x^n
f \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R},\ \alpha > 0 f(x) = x^\alpha Se x_0 \in [0, +\infty), \lim_{x \to x_0} x^\alpha = x_0^\alpha \lim_{x \to +\infty} x^\alpha = +\infty
f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} f(x) = \sin x Non esiste \lim_{x \to x_0} \sin x = \sin x_0 Non esiste
f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} f(x) = \cos x Non esiste \lim_{x \to x_0} \cos x = \cos x_0 Non esiste
f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ \alpha > 0 f(x) = a^x \lim_{x \to -\infty} a^x = \begin{cases} 0 & \text{se $a>1$} \\ 1 & \text{se $a=1$} \\ +\infty & \text{se $a\in (0,1)$} \end{cases} \lim_{x \to x_0} a^x = a^{x_0} \lim_{x \to +\infty} a^x= \begin{cases} +\infty & \text{se $a>1$} \\ 1 & \text{se $a=1$} \\ 0 & \text{se $a\in (0,1)$} \end{cases}
f \colon (0,+\infty) \to \mathbb{R} a\in (0,1) \cup (1,+\infty) f(x) = \log_a x \lim_{x \to 0^+} \log_a x= \begin{cases} -\infty & \text{se $a>1$} \\ +\infty & \text{se $a\in (0,1)$} \end{cases} se x_0 \in (0,+\infty) \lim_{x \to x_0} \log_a x = \log_a x_0 \lim_{x \to +\infty} \log_a x= \begin{cases} +\infty & \text{se $a>1$} \\ -\infty & \text{se $a\in (0,1)$} \end{cases} $
\text{artanh}(x) \lim_{x \to -1^+} \text{artanh}(x) = -\infty – \lim_{x \to 1^-} \text{artanh}(x) = +\infty
\text{arcosh}(x) – – \lim_{x \to +\infty} \text{arcosh}(x) = +\infty
\text{arsinh}(x) \lim_{x \to -\infty} \text{arsinh}(x) = -\infty – \lim_{x \to +\infty} \text{arsinh}(x) = +\infty
\text{tanh}(x) \lim_{x \to -\infty} \text{tanh}(x) = -1 – \lim_{x \to +\infty} \text{tanh}(x) = +1
\text{cosh}(x) \lim_{x \to -\infty} \text{cosh}(x) = +\infty – \lim_{x \to +\infty} \text{cosh}(x) = +\infty
\text{sinh}(x) \lim_{x \to -\infty} \text{sinh}(x) = -\infty – \lim_{x \to +\infty} \text{sinh}(x) = +\infty
\text{arctan}(x) \lim_{x \to -\infty} \text{arctan}(x) = -\frac{\pi}{2} – \lim_{x \to +\infty} \text{arctan}(x) = +\frac{\pi}{2}
\text{tan}(x) \lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^-} \text{tan}(x) = +\infty – \lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^+} \text{tan}(x) = -\infty
\text{cot}(x) \lim_{x \to (k\pi)^-} \text{cot}(x) = -\infty – \lim_{x \to (k\pi)^+} \text{cot}(x) = +\infty
\text{arccot}(x) \lim_{x \to -\infty} \text{arccot}(x) = \pi – \lim_{x \to +\infty} \text{arccot}(x) = 0

Tabella 2: limiti degli esempi precedenti e in [8].

\[\quad\]

Prima colonna Seconda colonna Terza colonna
\frac{k}{0^+} = \begin{cases} +\infty & \text{se } k > 0, \\ -\infty & \text{se } k < 0, \end{cases} \frac{k}{0^-} = \begin{cases} -\infty & \text{se } k > 0, \\ +\infty & \text{se } k < 0, \end{cases} \frac{k}{\pm\infty} = 0
a^{-\infty} = \begin{cases} 0 & \text{se } a > 1, \\ +\infty & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases} a^{+\infty} = \begin{cases} +\infty & \text{se } a > 1, \\ 0 & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases} \log_a(0^+) = \begin{cases} -\infty & \text{se } a > 1, \\ +\infty & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases}
\log_a(+\infty) = \begin{cases} +\infty & \text{se } a > 1, \\ -\infty & \text{se } 0 < a < 1, \end{cases} (+\infty)^{1/n} = +\infty \quad \forall n \in \mathbb{N}^+. \tan\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^- = +\infty
\tan\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)^+ = -\infty. \cot\left((k\pi)^-\right) = -\infty, \cot\left((k\pi)^+\right) = +\infty.
\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}, \arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}. \operatorname{arccot}(-\infty) = \pi,
\operatorname{arccot}(+\infty) = 0. \sinh(-\infty) = -\infty, \sinh(+\infty) = +\infty.
\cosh(-\infty) = +\infty, \cosh(+\infty) = +\infty. \tanh(-\infty) = -1,
\tanh(+\infty) = 1. \operatorname{arsinh}(-\infty) = -\infty, \operatorname{arsinh}(+\infty) = +\infty.
\operatorname{arcosh}(+\infty) = +\infty. \arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}, \arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}.

Tabella 3: riepilogo delle notazioni adottate per i limiti.

\[\quad\]

Di seguito ulteriori notazioni adottate.

\[\begin{aligned} &\sin(0^+)=0^{+};\\ &\sin(0^-)=0^{-};\\ &\tan(0^+)=0^{+};\\ &\tan(0^-)=0^{-};\\ &\cos(0^+)=1^{+};\\ &\cos(0^-)=1^{-};\\ &a^{0^+}=1^{+};\\ &a^{0^{-}}=1^{-};\\ &\ln(1^{+})=0^{+};\\ &\ln(1^{-})=0^{-};\\ &x_0^+-x_0=0^+\\ &x_0^{-}-x_0=0^- \end{aligned}\]


 
 

Esercizi svolti

Leggi...

Di seguito presentiamo una serie di esercizi svolti.

\[\quad\]

  • Limite di una costante:

    \[ \lim_{x \to a} c = c, \]

    dove c è una costante. Questo è un caso semplice e diretto.

    •  

  • Limite di funzioni polinomiali:

    \[ \lim_{x \to a} (x^n + b) = a^n + b, \]

    dove n \in \mathbb{N}. Per esempio:

    \[ \lim_{x \to 2} (3x^2 + 4) = 3(2)^2 + 4 = 16. \]

    •  

  • Limite di funzioni razionali:

    \[ \lim_{x \to a} \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p(a)}{q(a)}, \]

    dove p(x) e q(x) sono polinomi e q(a) \neq 0. Per esempio:

    \[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} = \frac{3^2 + 2 \cdot 3 + 1}{3 - 1} = \frac{16}{2} = 8. \]

    •  

  • Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche:

    \[ \lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1, \]

    e

    \[ \lim_{x \to 1} \ln(x) = \ln(1) = 0. \]

    •  

  • Limiti di funzioni trigonometriche:

    \[ \lim_{x \to 0} \sin(x) = 0, \]

    e

    \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos(x) = 0. \]


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite

\[ \lim_{{x \to -\infty}} \left( x + \frac{5}{x} \right). \]

Svolgimento.

Quando x tende a -\infty, abbiamo:

\[\quad\]

  • Il termine x tende a -\infty.

    •  

  • Il termine \dfrac{5}{x} può essere calcolato direttamente:

    \[ \frac{5}{x} = \frac{5}{-\infty} = 0, \]

    perché qualsiasi numero finito diviso per -\infty dà esattamente 0.

Pertanto, il limite è:

\[\lim_{{x \to -\infty}} \left( x + \frac{5}{x} \right) = -\infty + 0,\]

cioè

\[\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to -\infty}} \left( x + \frac{5}{x} \right) = -\infty.}\]

Da questo primo esercizio, possiamo trarre una lezione fondamentale nel calcolo dei limiti: la prima azione da compiere è sostituire il valore a cui tende la variabile e osservare il comportamento dell’espressione. Anche quando l’espressione può sembrare complessa o controintuitiva, sostituire e semplificare è il passo iniziale che spesso chiarisce la situazione. Successivamente, è possibile valutare se il risultato ottenuto è significativo o se richiede ulteriori manipolazioni. Questo approccio sistematico è particolarmente utile, soprattutto nei limiti elementari, dove la maggior parte delle difficoltà può essere risolta semplicemente sostituendo e semplificando.

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 17: grafico della funzione f(x) = x + \dfrac{5}{x} con asse y in nero.

\[\quad\]

\[\quad\]

La figura 17 rappresenta il grafico della funzione f(x) = x + \dfrac{5}{x}. La funzione mostra un comportamento asintotico per x \to -\infty, dove il valore della funzione tende a -\infty. La curva in blu rappresenta f(x).


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite

\[ \lim_{{x \to 0}} \left( \frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^2} \right). \]

Svolgimento.

Quando x tende a 0 (sia da destra che da sinistra), abbiamo:

\[\quad\]

\[\quad\]

limiti di funzioni elementari

Figura 18: grafico della funzione y=\dfrac{1}{x^4} + \dfrac{1}{x^2}.

\[\quad\]

\[\quad\]

  • Il termine x^4 tende a 0^+, e quindi \dfrac{1}{x^4} tende a +\infty.

    •  

  • Il termine x^2 tende a 0^+, e quindi \dfrac{1}{x^2} tende a +\infty.

    •  

  • Possiamo scrivere:

    \[ \frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(0)^4} + \frac{1}{(0)^2} = \frac{1}{0^+} + \frac{1}{0^+} = +\infty + (+\infty )= +\infty, \]

poiché entrambi i termini tendono a +\infty quando x tende a 0 (indipendentemente dal fatto che x tenda a 0 da destra o da sinistra dato che entrambi gli esponenti del denominatori sono elevati ad un esponente pari), il limite è:

\[\boxcolorato{analisi}{\lim_{{x \to 0}} \left( \frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^2} \right) = +\infty.}\]

Il grafico in figura 18 rappresenta la funzione y=\dfrac{1}{x^4} + \dfrac{1}{x^2}, che mostra un comportamento di divergenza mentre x si avvicina a 0. In questo punto, la funzione tende a +\infty, come indicato dal limite \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x^4} + \dfrac{1}{x^2} \right) = +\infty.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite

\[ \lim_{{x \to +\infty}} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} \right). \]

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