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Espansione di Taylor: teoria, formula, resti ed esempi svolti

Teoria Espansione di Taylor

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Presentiamo la nostra dispensa relativa all’espansione di Taylor (o polinomi di Taylor), uno strumento che consente di approssimare una funzione f con un polinomio e a meno di un resto, asintoticamente per x \to x_0. Tale approssimazione è costituita da un polinomio di grado pari all’ordine di derivabilità di f in x_0, risultando quindi più precisa per funzioni maggiormente derivabili.

Gli sviluppi di Taylor possiedono numerose importanti applicazioni, che spaziano dagli efficaci utilizzi nel calcolo dei limiti alla classificazione di un punto stazionario di una funzione in base al primo ordine di derivata non nullo in tale punto.

In questo articolo esploriamo tale importante strumento dello sviluppo mediante i polinomi di Taylor, trattando le seguenti domande:

  • In cosa consiste la formula di Taylor e cosa sono i resti di Peano, Lagrange e Cauchy?
  • Cosa sono le funzioni analitiche?
  • Come si calcolano gli sviluppi di Taylor di funzioni elementari come l’esponenziale, logaritmi, funzioni trigonometriche e serie geometriche?
  • Quali applicazioni al calcolo dei limiti e alla classificazione dei punti stazionari possiedono le serie di Taylor?

Mostreremo inoltre alcuni esempi particolari di applicazioni delle serie di Taylor, come una dimostrazione dell’irrazionalità del numero di Nepero e il calcolo di valori approssimati di numeri trascendenti.

Ogni argomento è corredato da esempi e intuizioni, oltre che da esercizi svolti. Il testo consente dunque di avere una rapida introduzione al tema degli sviluppi di Taylor, fino a fornire approfondimenti dettagliati e curiosità difficilmente reperibili altrove.

 

Teoria ed esercizi sui polinomi di Taylor: ulteriore materiale

Consigliamo i seguenti articoli sulla teoria collegata:

Segnaliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi:

Buona lettura!
 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Stefano Rossi

Revisori: Francesco Paolo Maiale, Leone Sirletti.


 
 

Sommario: i polinomi di Taylor

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Questa voce si occupa dell’importante argomento dell’approssimazione di funzioni sufficientemente regolari mediante polinomi, focalizzandosi sull’intorno di un punto specifico. Tale tipo di approssimazione è comunemente nota come espansione di Taylor. Dopo aver introdotto le principali definizioni, la trattativa si concentra sullo studio delle espressioni del resto nelle forme di Peano, di Lagrange e di Cauchy.

Successivamente, vengono presentati i più rilevanti sviluppi delle funzioni elementari. Infine, la voce fornisce diverse applicazioni della formula di Taylor, inclusi i criteri per la determinazione degli estremi relativi, la risoluzione delle forme indeterminate nel calcolo dei limiti di funzioni e la soluzione di problemi classici di approssimazione di numeri trascendenti.


 
 

Introduzione all’espansione di Taylor

Introduzione.

Consideriamo una funzione di variabile reale f: (a,b) \to \mathbb{R} che sia derivabile nell’intervallo (a,b). Dato un qualsiasi x_0 \in (a,b), dalla definizione di derivabilità si ha:

\[ f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}. \]

In maniera equivalente, possiamo scrivere che

(1) \begin{equation*} f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+R_1(x;x_0), \end{equation*}

dove R_1(x;x_0) è un termine di resto che soddisfa la seguente identità:

(2) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0}\frac{R_1(x;x_0)}{x-x_0}=0. \end{equation*}

L’uguaglianza (1) indica che, in un intorno di x_0, la retta passante per il punto P_0=(x_0,f(x_0)) di coefficiente angolare f'(x_0) è tangente alla curva f(x). Inoltre, nello stesso intorno fornisce una buona approssimazione della f a meno di un errore di ordine superiore al termine lineare.

\[\quad\]

\[\quad\]

espansione di Taylor

Figura 1: sviluppo di Taylor al primo ordine, ovvero (1).

\[\quad\]

\[\quad\]

Inoltre, è facile verificare che la retta tangente alla curva è l’unica retta passante per il punto P_0=(x_0, f(x_0)) il cui resto associato verifichi la proprietà (2). Infatti, data una qualsiasi retta passante in P_0 di coefficiente angolare m \in \mathbb{R}, si ha:

\[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-[f(x_0)+m(x-x_0)]}{x-x_0}=f'(x_0)-m,\]

e questo resto è nullo se e solo se m=f'(x_0). Supponiamo ora che la funzione f sia derivabile due volte nell’intervallo (a,b). Allora applicando De L’Hôpital due volte otteniamo:

\[\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} & \stackrel{\text{\tiny De L'Hôpital}}{=} \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) - f'(x-h)}{2h} \\ & \stackrel{\text{\tiny De L'Hôpital}}{=} \lim_{h \to 0} \frac{f''(x+h) + f''(x-h)}{2}= f''(x) \end{aligned}\]

Pertanto, possiamo trovare un’approssimazione più precisa di f in un intorno di x_0 utilizzando un polinomio di secondo grado. Dato c \in \mathbb{R}, si aggiunge un termine quadratico alla retta tangente precedente, ovvero:

\[y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+c(x-x_0)^2.\]

Analogamente a (2), introduciamo il resto associato a questo polinomio di secondo grado come

\[R_2(x; x_0) := f(x)-[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+c(x-x_0)^2],\]

e chiediamo che sia verificata la seguente condizione al limite:

(3) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0}\frac{R_2(x;x_0)}{(x-x_0)^2}=0. \end{equation*}

Sostituendo R_2(x;x_0) con la sua definizione, otteniamo

\[\lim_{x \to x_0}\frac{R_2(x;x_0)}{(x-x_0)^2}=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)]}{(x-x_0)^2}-c=\frac{f''(x_0)}{2}-c,\]

dove abbiamo utilizzato il teorema di de l’Hôpital per ottenere il rapporto incrementale della derivata:

\[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)]}{(x-x_0)^2}=\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)-f'(x_0)}{2(x-x_0)}=\frac{f''(x_0)}{2}.\]

Dunque la condizione (3) è verificata se e solo se il parametro c soddisfa l’uguaglianza

\[ c = \frac{f''(x_0)}{2}. \]

Notiamo dalla figura seguente come l’approssimazione intorno al punto sia migliorata.

\[\quad\]

\[\quad\]

espansione di Taylor

Figura 2: sviluppo di Taylor al secondo ordine..

\[\quad\]

\[\quad\]

È possibile generalizzare queste considerazioni e approssimare funzioni k volte differenziabili in (a,b) con polinomi di grado minore di o uguale a k: tale risultato porta il nome di teorema di Taylor, ed è uno dei pilastri della teoria del calcolo infinitesimale.


Notazione di Landau.

Nel seguito faremo ampio uso della notazione di Landau, perciò ne richiamiamo in questa sezione la definizione e le proprietà principali.

Definizione 1 (notazione di Landau). Sia x_0 \in (a,b) e siano f,g:(a,b) \to \mathbb{R} due funzioni tali che

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=\lim_{x \to x_0} g(x)=0. \]

Diciamo che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a g(x) per x \to x_0, se

\[\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0. \]

In tal caso utilizzeremo la corrispondente notazione di Landau, ovvero scriveremo che f(x)=o(g(x)) per x \to x_0, e leggeremo che ‘‘f(x) è un o-piccolo di g(x)’’.

\[\quad\]

Vediamo ora alcune proprietà fondamentali degli o-piccolo. La dimostrazione è un’immediata conseguenza della definizione che il lettore può utilizzare per fare pratica, perciò qui ci limitiamo ad enunciarle:

\[\quad\]

Algebra degli o-piccolo (inteso per x \to x_0, nel caso generale):

  • Se c \in \mathbb R è una costante non nulla, allora

    \[ c\cdot o(f(x))=o(c \cdot f(x))=o(f(x)). \]

    •  

  • Se f(x) = o(g(x)), allora per ogni \alpha > 0 si ha

    \[ [f(x)]^\alpha = o( [g(x)]^\alpha ). \]

    •  

  • Se f_1(x) = o(g(x)) e f_2(x) = o(g(x)), allora

    \[ f_1(x) + f_2(x) = o(g(x)). \]

    •  

  • Il prodotto soddisfa le seguenti regole:

    \[ o(f(x)) \cdot o(g(x)) = o( f(x) \cdot g(x) ), \qquad f(x) \cdot o(g(x)) = o( f(x) \cdot g(x) ). \]

    •  

  • >Se f(x) = o(g(x)), allora

    \[ o(f(x)) = o(o(g(x)) = o(g(x)). \]

    •  

  • Se per x \to x_0, le funzioni f_1(x) ed f_2(x) sono asintoticamente equivalentia, gli o-piccoli coincidono:

    \[ f_1(x) \sim f_2(x) \implies o(f_1(x)) = o(f_2(x)). \]

   

  1. Due funzioni F e G sono asintoticamente equivalenti se il limite \lim_{x \to + \infty} \dfrac{F(x)}{G(x)} esiste ed è uguale ad uno. Di solito, si usa il simbolo F \sim G per indicare che due funzioni soddisfano questa proprietà. ↩

\[\quad\]

Nel caso in cui l’argomento degli o-piccolo è una potenza di x (con esponente positivo), ad esempio nello sviluppo di Taylor, le proprietà sopra continuano a valere; tuttavia, si può dire qualcosa di più preciso:

\[\quad\]

Algebra degli o-piccolo. Supponiamo x \to x_0=0 e prendiamo n,m>0:

  • c \cdot o(x^n) = o(c x^n) = o(x^n)

    •  

  • o(x^n) \pm o(x^m) = o(x^p), dove p := \min \{n,m\}

    •  

  • o(x^n) \cdot o(x^m) = o(x^{n+m})

    •  

  • x^m \cdot o(x^n) = o(x^{n+m})

    •  

  • x^m = o(x^n) se n<m

\[\quad\]

Risulterà, negli esercizi, di fondamentale importanza il seguente caso particolare sull’uso di o-piccolo:

\[\quad\]

Data una funzione f:A\subseteq \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} infinitesima per x \to x_0\in \mathbb{R}\cup\{\pm \infty\}, allora, sfruttando la definizione di o-piccolo, è possibile scrivere

\[ \lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x)}{1} =0 \iff f(x)=o(1)\quad \text{per}\,\, x \rightarrow x_0. \]

\[\quad\]


 
 

Il teorema di Taylor

Introduzione.

Lo sviluppo in serie di Taylor è uno strumento fondamentale dell’analisi matematica che permette di approssimare funzioni attraverso somme di polinomi. Partendo dalle derivate di una funzione in un punto, questa tecnica consente di ottenere approssimazioni sempre più precise, trovando numerose applicazioni pratiche.

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