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Integrali definiti e indefiniti: teoria ed esercizi

Integrale di Riemann

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Gli integrali costituiscono uno dei più importanti strumenti dell’Analisi Matematica. Consentendo di calcolare l’area sottesa al grafico di una funzione, la loro presenza è costante in tutta la Matematica e le scienze applicate: qualunque grandezza ottenuta come prodotto di due grandezze può infatti essere pensata come un’area. La definizione di integrale è data tramite un processo di approssimazione che ricorda quello eseguito da Archimede per la determinazione dei volumi e delle superfici dei solidi.

Questa dispensa propone un approccio chiaro ma rigoroso alle seguenti questioni:

  • Cos’è una funzione integrabile e cosa si intende per integrale definito di una funzione?
  • Cosa afferma il teorema della media integrale?
  • Cosa si intende per funzione integrale?
  • Qual è il legame tra derivate e integrali stabilito dal teorema fondamentale del calcolo integrale (pagina 21 della dispensa) e come si giustifica intuitivamente?
  • Cos’è una primitiva e cosa rappresenta l’integrale indefinito di una funzione?
  • Come si risolvono gli integrali per sostituzione e per parti?

La dispensa, che unisce rigore accademico e accessibilità, risponde a queste domande: se desideri approfondire uno dei concetti più intriganti dell’Analisi Matematica, non ti resta che iniziare!

Consigliamo la lettura del seguente materiale di teoria supplementare:

Segnaliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi:

Buona lettura!

 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Martina Moro

Revisori: Roberto Castorrini.


 
 

Definizione di integrale di Riemann

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Una delle questioni alla base della nascita del calcolo integrale è quella di determinare un metodo analitico per calcolare l’area di una figura piana.

Consideriamo ad esempio la funzione f(x)=x^2 nell’intervallo [0,1] e cerchiamo di approssimare l’area compresa tra il grafico di f e il semiasse positivo delle ascisse attraverso l’unione di rettangoli.

Suddividiamo l’intervallo [0,1] in n intervalli congruenti di ampiezza \dfrac{1}{n}

\[x_0=0, x_1=\frac{1}{n}, x_2=\frac{2}{n},..., x_{n-1}=\frac{n-1}{n}, x_n=1\qquad n\in\mathbb{N}\]

e consideriamo i rettangoli R_j di base [x_j,x_{j+1}] e altezza f(x_j) per ogni j=0,...,n-1.

\[\quad\]

\[\quad\]

\[\quad\]

\[\quad\]

\[\quad\]

È semplice calcolare l’area di questa unione di rettangoli

(1) \begin{equation*} \begin{split} A(n)&=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}f(x_j)=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}x_j^2=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^2 =\frac{1}{n^3}\sum_{j=0}^{n-1}i^2=\\&=\frac{n(n-1)(2n-1)}{6n^3} \end{split} \end{equation*}

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo utilizzato la somma notevole dei primi n quadrati facilmente dimostrabile per induzione.

All’aumentare di n otteniamo una suddivisione dell’intervallo sempre più fitta e perciò una migliore approssimazione per difetto dell’area cercata. Il ragionamento è analogo per ottenere un’approssimazione per eccesso: basterà ovviamente considerare dei rettangoli R_j di base [x_j, x_{j+1}] e altezza f(x_{j+1}) per ogni j=0,...,n-1.

Possiamo ottenere l’area sottesa al grafico calcolando il limite di A(n)

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow +\infty}A\left(n\right)=\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)}{6n^3}=\frac{1}{3}. \end{equation*}

Definizione 1. Dato un intervallo [a,b], una partizione di ordine n con n\in\mathbb{N} dell’intervallo [a,b] è un insieme ordinato P di n+1 punti \{x_0,x_1,...,x_n\} tale che

\[a=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=b.\]

\[\quad\]

Una partizione di ordine n definisce in modo naturale n intervalli

\[I_j=[x_{j-1},x_j]\quad\forall\, j=1,...,n\]

tale che \displaystyle \bigcup_{j=1}^{n} I_j=[a,b].

Osservazione 1. Possiamo denotare con P([a,b]) l’insieme delle partizioni di [a,b] e definire un ordinamento su tale insieme. Se P e Q sono due partizioni, diremo che Q è più fine di P, se P \subset Q. In questo modo abbiamo definito una relazione d’ordine che però è chiaramente parziale; infatti non tutte le partizioni possono essere confrontabili – nel caso limite due partizioni potrebbero avere solo gli estremi a e b in comune. La partizione banale P_0=\{a,b\} è ovviamente la meno fine di tutte. Viceversa non esiste una partizione più fine: presa una partizione qualsiasi P=\{x_0,x_1,...,x_n\} basta considerare Q=\{x_0,y_1,x_1,...,x_{n-1}, y_n, x_n\} con

\[y_i=\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\]

Q è una partizione dell’intervallo [a,b] naturalmente più fine di P.

Definizione 2. Sia f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}, una funzione limitata e P=\{x_0,x_1,...,x_n\} una partizione di ordine n dell’intervallo. Siano

\[m_j=\inf_{[x_{j},x_{j+1}]} f(x)\qquad\qquad M_j=\sup_{[x_{j},x_{j+1}]} f(x)\qquad\qquad\]

per ogni j=0,...,n-1.

\[\quad\]

  • La somma integrale superiore di f rispetto alla partizione P è

    \displaystyle S(P,f):=\sum_{j=0}^{n-1} M_j(x_{j+1}-x_{j}).

    •  

  • La somma integrale inferiore di f rispetto alla partizione P è

    \displaystyle s (P,f):=\sum_{j=0}^{n-1} m_j(x_{j+1}-x_{j}).

\[\quad\]

\[\quad\]

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\[\quad\]

\[\quad\]

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\[\quad\]

\[\quad\]

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\[\quad\]

\[\quad\]

Le somme integrali superiori e inferiori misurano le aree delle regioni formate dai rettangoli in figura e quindi rappresentano una stima inferiore e superiore di ordine n dell’area da calcolare.

Osservazione 2. Fissata una partizione P dell’intervallo [a,b], dato che m_j\leq M_j da cui

\[m_j(x_{j+1}-x_j)\leq M_j (x_{j+1}-x_j)\qquad\forall\,j=0,...,n-1\]

allora

\displaystyle s(P,f)=\sum_{j=0}^{n-1} m_j(x_{j+1}-x_{j})\leq\sum_{j=0}^{n-1} M_j\left(x_{j+1}-x_{j}\right)=S\left(P,f\right).

Possiamo dimostrare un risultato più generale

Proposizione 1. Siano P_1 e P_2 due partizioni di uno stesso intervallo [a,b] con P_1 più fine di P_2 (P_2\subseteq P_1), allora

\begin{equation*} s(P_2,f)\leq s(P_1,f)\leq S(P_1,f)\leq S(P_2,f) \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Dimostriamo l’affermazione nel caso in cui la partizione più fine abbia un solo punto in più rispetto alla partizione meno fine; la dimostrazione nel caso generale è analoga.

Sia P_2=\{x_0,x_1,...,x_n\} e P_1=P_2\cup \{y\} con y\in (a,b)\setminus P_2. Allora esiste j\in\{0,...,n-1\} tale che y\in (x_{j},\,x_{j+1}). Quindi

\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle s(P_2,f)&=\sum_{i=0}^{n-1}m_i(x_{i+1}-x_{i})=\\&= \sum_{i=0}^{j-1}m_i(x_{i+1}-x_{i})+m_{j}(x_{j+1}-x_{j})+\sum_{i=j+1}^{n-1}m_i(x_{i+1}-x_{i})=\\&=\sum_{i=0}^{j-1}m_i(x_{i+1}-x_{i})+m_{j}(x_{j+1}-y+y-x_{j})+\sum_{i=j+1}^{n-1}m_i(x_{i+1}-x_{i})=\\ & = \sum_{i=1}^{j-1}m_i(x_{i+1}-x_{i})+m_{j}(x_{j+1}-y)+m_{j}(y-x_{j})+\sum_{i=j+1}^{n-1}m_i(x_{i+1}-x_{i}) \end{split} \end{equation*}

Quindi se consideriamo \displaystyle m_{j_1}:=\inf_{(x_{j},y)} f e \displaystyle m_{j_2}:=\inf_{(y,x_{j+1})} f allora avremo che m_{j_1}\geq m_j e m_{j_2}\geq m_j per le proprietà di monotonia dell’estremo inferiore di una funzione1. Allora

(1) \begin{equation*} \begin{split} s(P_2,f)&\leq\sum_{i=0}^{j-1}m_i(x_{i+1}-x_{i})+m_{j_1}(y-x_{j})+m_{j_2}(x_{j+1}-y)+\\&+\sum_{i=j+1}^{n-1}m_i(x_{i+1}-x_{i})=s(P_1,f). \end{split} \end{equation*}

Analogamente possiamo definire \displaystyle M_{j_1}:=\sup_{(x_{j},y)}f e \displaystyle M_{j_2}:=\sup_{(y,x_{j+1})}f e osservare che

(2) \begin{equation*} \begin{split} \displaystyle S(P_2,f)&=\sum_{i=0}^{j-1}M_i(x_{i+1}-x_{i})+M_{j}(x_{j+1}-y+y-x_{j})+\sum_{i=j+1}^{n-1}M_i(x_{i+1}-x_{i})\\&\geq\sum_{i=0}^{j-1}M_i(x_{i+1}-x_{i})+M_{j_1}(y-x_{j})+M_{j_2}(x_{j+1}-y)+\\&\sum_{i=j+1}^{n-1}M_i(x_{i+1}-x_{i})=S(P_1,f). \end{split} \end{equation*}

Quindi

\begin{equation*} s(P_2,f)\stackrel{(1)}\leq s(P_1,f)\leq S(P_1,f)\stackrel{(2)}{\leq}S(P_2,f). \end{equation*}

Possiamo ottenere un risultato analogo anche nel caso di partizioni qualsiasi non confrontabili.

Proposizione 2. Per ogni coppia di partizioni P_1 e P_2

\begin{equation*} s(P_1,f)\leq S(P_2,f). \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Consideriamo la partizione P_3=P_1\cup P_2 più fine di entrambe. Allora per il risultato precedente

\begin{equation*} s(P_1,f)\leq s(P_3,f)\leq S(P_3,f)\leq S(P_2,f). \end{equation*}

\[\quad\]

Indichiamo ora con

\[\begin{aligned} &A=\{s(D,f)|\text{ $D$ è una partizione dell'intervallo $[a,b]$}\}\\\\ &B=\{S(D,f)| \text{ $D$ è una partizione dell'intervallo $[a,b]$}\} \end{aligned}\]

dalla dimostrazione precedente segue che gli insiemi appena definiti delle somme integrali superiori e inferiori risultano separati e quindi per l’assioma di completezza2 esiste almeno un elemento di separazione c\in\mathbb{R} maggiore o uguale a tutti gli elementi di A e minore o uguale a tutti gli elementi di B. In altri termini l’insieme dei valori delle somme superiori è limitato inferiormente da un qualsiasi valore della somma inferiore, e l’insieme dei valori delle somme inferiori è limitato superiormente da un qualsiasi valore della somma superiore. Quindi esistono

\begin{equation*} s(f):=\sup_PA\qquad S(f):=\inf_PB \end{equation*}

Definizione 3. Una funzione limitata f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] se l’elemento di separazione tra l’insieme delle somme integrali superiori e inferiori è unico. Questo elemento, detto integrale di f su [a,b] si indica con

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx.

Chiameremo f funzione integranda e l’insieme [a,b] dominio di integrazione.

\[\quad\]

Se una funzione f è integrabile, allora l’elemento di separazione che esiste sempre per l’assioma di completezza è unico, quindi

\[s(f)=S(f)=\int_{a}^{b}f(x)dx.\]

Osservazione 3. Spesso per dire che una funzione f è integrabile secondo Riemann si usa la notazione f \in \mathcal{R}[a,b].

Esempio 1. Funzione integrabile

Consideriamo la funzione costante f(x)=k su [a,b] allora questa è integrabile, infatti presa una partizione P dell’intervallo [a,b] consideriamo

\begin{equation*} m_j=\inf_{[x_{j},x_{j+1}]} f=k\qquad\qquad M_j=\sup_{[x_{j},x_{j+1}]} f=k \end{equation*}

e quindi

\begin{equation*} s(P,f)=\sum_{j=0}^{n-1}m_j(x_{j+1}-x_{j})=k\sum_{j=0}^{n-1}(x_{j+1}-x_{j})=k(b-a). \end{equation*}

Analogamente possiamo concludere che S(P,f)=k(b-a) e osservare che le somme inferiori e superiori non dipendono dalla partizione scelta. Allora

\begin{equation*} \sup A=\sup \{k(b-a)\}=k(b-a)\qquad\qquad\inf A=\sup \{k(b-a)\}=k(b-a) \end{equation*}

I due valori coincidono quindi, per definizione, la funzione è integrabile secondo Riemann e

\begin{equation*} \int_{a}^{b}kdx=k(b-a) \end{equation*}

Esempio 2. Funzione limitata non integrabile

Sia la funzione di Dirichlet ristretta nell’intervallo [0,1]:

\begin{equation*} f(x)=\begin{cases} 1&x\in\mathbb{Q}\cap[0,1]\\ 0&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \cap[0,1] \end{cases}. \end{equation*}

Consideriamo P una partizione dell’intervallo [0,1], allora M_j=1 per ogni j=0,...,n-1 per la densità di \mathbb{Q} in \mathbb{R} e m_j=0 per la densità dei numeri irrazionali in \mathbb{R}; infatti per ogni x_{j},x_{j+1}\in\mathbb{R} con x_{j}<x_{j+1} esiste x\in\mathbb{Q} tale che x_{j}<x<x_{j+1}. Quindi in ogni intervallo [x_{j},x_{j+1}] esiste un punto razionale dove la funzione vale uno che rappresenta ovviamente il massimo della funzione. Inoltre per ogni x_{j},x_{j+1}\in\mathbb{R} con x_{j}<x_{j+1} esiste x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} tale che x_{j}<x<x_{j+1} per la densità dei numeri irrazionali in \mathbb{R} e quindi la funzione in questo punto assume valore 0 che è il minimo.

Possiamo calcolare il valore della somma integrale superiore e inferiore che, anche in questo caso, non dipende dalla partizione scelta

\begin{equation*} s(P,f)=\sum_{j=0}^{n-1}m_j(x_{j+1}-x_{j})=0 \end{equation*}

e

\begin{equation*} S(P,f)=\sum_{j=0}^{n-1}M_j(x_{j+1}-x_{j})=1\cdot\sum_{j=0}^{n-1}(x_{j+1}-x_{j})=1. \end{equation*}

Allora \sup A=0 e \inf B=1 e la funzione seppur limitata non è integrabile secondo Riemann.

   

  1. L’estremo inferiore cresce e l’estremo superiore diminuiscono se si riduce l’insieme di numeri reali in oggetto. Infatti presi due insiemi A e B tale che A\subset B allora vale quanto segue

    \[\inf_Af\geq\inf_Bf\]

    e

    \[\,\,\,\,\,\,\sup_Af\leq\sup_Bf.\]

    ↩

    2.  

    1. Assioma di completezza: siano A e B due insiemi non vuoti di numeri reali con la proprietà che a\leq b comunque si scelgano a\in A e b\in B. Allora esiste almeno un numero reale c tale che a\leq c\leq b per ogni a\in A e b\in B. Tale elemento c è detto elemento di separazione di A e B. ↩

 
 

Funzioni integrabili

Introduzione.

Enunciamo in questa sezione alcuni criteri di integrabilità che permettono di delineare con maggiore semplicità intere classi di funzioni integrabili, senza calcolare esplicitamente le somme integrali superiori e inferiori come negli esempi precedenti.

Teorema 1. Sia f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} una funzione limitata. Allora f è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] se e solo se \forall\,\varepsilon>0 esiste una partizione P_\varepsilon di [a,b] tale che

\begin{equation*} S(P_\varepsilon,f)-s(P_\varepsilon,f)<\varepsilon. \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. (\Rightarrow) Se f è integrabile secondo Riemann in [a,b] allora s(f)=S(f). Per definizione di estremo superiore e inferiore, \forall\varepsilon>0 esistono P e Q partizioni dell’intervallo [a,b] tale che

\begin{equation*} s(f)-\frac{\varepsilon}{2}<s(P,f) \end{equation*}

e

\begin{equation*} S(f)+\frac{\varepsilon}{2}>S(Q,f). \end{equation*}

Considerando la partizione R=P\cup Q e sfruttando i risultati della proposizione 1 e 2

\begin{equation*} \begin{split} &S(R,f)\leq S(Q,f)<S(f)+\frac{\varepsilon}{2}\Rightarrow S(R,f)< S(f)+\frac{\varepsilon}{2},\\\\ &s(R,f)\geq s(P,f)>s(f)-\frac{\varepsilon}{2}\Rightarrow -s(R,f)<-s(f)+\frac{\varepsilon}{2}. \end{split} \end{equation*}

Poiché s(f)=S(f) per l’ipotesi di integrabilità di f si ha che

\begin{equation*} S(R,f)-s(R,f)<S(f)+\frac{\varepsilon}{2}-s(f)+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{equation*}

(\Leftarrow) Se \forall\varepsilon>0 esiste una partizione P_\varepsilon partizione dell’intervallo [a,b] tale che S(P_\varepsilon,f)-s(P_\varepsilon,f)<\varepsilon, essendo S(f)\leq S(P_\varepsilon,f) e s(f)\geq s(P_\varepsilon,f) allora

\begin{equation*} 0\leq S(f)-s(f)\leq S(P_\varepsilon,f)-s(P_\varepsilon,f)<\varepsilon \end{equation*}

per l’arbitrarietà di \varepsilon otteniamo3 che s(f)=S(f) quindi la funzione è integrabile secondo Riemann.

Osservazione 4. Se f\colon [a,b]\to\mathbb{R} è una funzione Riemann integrabile e \varepsilon>0, per il teorema 1 esiste una partizione P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} dell’intervallo [a,b] tale che

(2) \begin{equation*} s(P,f) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq S(P,f) < s(P,f) + \varepsilon, \end{equation*}

dove la disuguaglianza più significativa è l’ultima, ovvero che la somma superiore della funzione sulla partizione P dista meno di \varepsilon dalla relativa somma inferiore.

Poiché le somme inferiore e superiore sono calcolate tenendo conto di \inf_{[x_i,x_{i+1}]}f e \sup_{[x_i,x_{i+1}]}f, scegliendo dei punti t_i \in [x_i,x_{i+1}] si ha ovviamente

(3) \begin{equation*} s(P,f) = \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) \inf_{[x_i,x_{i+1}]}f \leq \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) f(t_i) \leq \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) \sup_{[x_i,x_{i+1}]}f = S(P,f). \end{equation*}

Da (2) e (3) segue che \int_a^b f(x) \, dx e \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) f(t_i) appartengono all’intervallo [s(P,f),s(P,f)+\varepsilon) di ampiezza \varepsilon e quindi si ha

(4) \begin{equation*} \left| \int_a^b f(x) \, dx - \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) f(t_i) \right| < \varepsilon. \end{equation*}

La quantità \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) f(t_i) è detta una somma di Cauchy di f relativa alla partizione P e, per quanto visto, approssima il valore dell’integrale \int_a^b f(x) \, dx a meno di \varepsilon.

Intuitivamente, considerando delle partizioni dell’intervallo [a,b] via via più fitte, ci si aspetta che le relative somme di Cauchy approssimino sempre meglio il valore dell’integrale di f. Tale intuizione è confermata dal prossimo risultato, dove si considerano le partizioni P_n = \left\{ a, a+ \dfrac{b-a}{n}, a+ 2\dfrac{b-a}{n},\dots, a+ (n-1)\dfrac{b-a}{n}, b \right\} costituite suddividendo [a,b] in n intervalli della stessa lunghezza, e delle somme di Cauchy ad esse relative.

Proposizione 3. Sia f \colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione limitata e integrabile secondo Riemann. Allora si ha

(5) \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{b-a}{n}\right)f \left( \frac{i(b-a)}{n} \right) = \int_a^b f(x) \, dx. \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Senza ledere la generalità possiamo assumere [a,b]=[0,1], in quanto l’argomento è lo stesso anche negli altri casi.

Come nell’osservazione 4, poiché f è integrabile, per il teorema 1, per ogni \varepsilon>0 esiste una partizione P=\{x_0,x_1,\dots,x_N\} dell’intervallo [0,1] tale che

(6) \begin{equation*} s(P,f) \leq \int_0^1 f(x) \, dx \leq S(P,f) < s(P,f) + \varepsilon. \end{equation*}

Vogliamo dimostrare che, se scegliamo n sufficientemente grande, le somme inferiore e superiore relative alla partizione P_n = \left\{ 0, \dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n},\dots, \dfrac{n-1}{n}, 1 \right\} soddisfano una disuguaglianza simile. A tal fine, consideriamo M= \sup_{[0,1]} |f| e fissiamo n \in \mathbb{N} tale che

(7) \begin{equation*} \frac{6M N}{n}< \varepsilon. \end{equation*}

Consideriamo ora la partizione Q ottenuta unendo P e P_n= \left\{ 0, \dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n},\dots, \dfrac{n-1}{n}, 1 \right\}. Poiché essa è più fine di P, per la proposizione 1 si ha

(8) \begin{equation*} S(Q,f) - s(Q,f) < \varepsilon. \end{equation*}

Osserviamo che la partizione Q differisce da P_n solo negli intervalli \left [ \dfrac{i}{n},\dfrac{i+1}{n} \right] in cui capitano dei punti x_j della partizione P. Tali intervalli sono in quantità al più pari a 3N (contando sia quelli in P_n che in Q, poiché il numero di ulteriori suddivisioni è pari al numero di punti di P da inserire in P_n) e di ampiezza al più pari a \dfrac{1}{n} (dato che si tratta di sottointervalli di P_n). Inoltre, su ciascuno di tali intervalli, gli estremi inferiori di f sono distanti al più 2M (per la limitatezza di f). Pertanto possiamo stimare la differenza s(Q,f)-s(P_n,f) come segue:

(9) \begin{equation*} 0 \leq s(Q,f)-s(P_n,f) \leq \frac{6 M N}{n} \overset{(7)}{<} \varepsilon. \end{equation*}

dove la prima disuguaglianza segue dalla proposizione 1 dato che Q è più fine di P_n. Analogamente si ha anche

(10) \begin{equation*} 0\leq S(P_n,f)- S(Q,f) < \varepsilon. \end{equation*}

Unendo queste informazioni otteniamo

(11) \begin{equation*} \begin{split} \int_0^1 f(x)\,dx - 2\varepsilon & \overset{(6)}{<} s(Q,f)-\varepsilon \\ & \overset{(9)}{<} s(P_n,f) \\ & \leq \sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{b-a}{n}\right)f \left( \frac{i(b-a)}{n} \right) \\ & \leq S(P_n,f) \\ & \overset{(10)}{<} S(Q,f)+\varepsilon \\ & \overset{(6)}{<} \int_0^1 f(x)\,dx + 2\varepsilon, \end{split} \end{equation*}

che implica immediatamente

(12) \begin{equation*} \left| \int_0^1 f(x)\,dx - \sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{b-a}{n}\right)f \left( \frac{i(b-a)}{n} \right)\right | < 2\varepsilon. \end{equation*}

Tale stima continua ad essere valida per ogni m\geq n. Dunque, per l’arbitrarietà di \varepsilon e per definizione di limite, si ha la tesi.

Esempio 3. Calcolare il seguente integrale \int_{0}^{1}x^3\,dx. Dalla proposizione 3

\[\int_{0}^{1}x^3\,dx=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}\left(\dfrac{i}{n}\right)^3=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^4}\sum_{i=0}^{n}i^3\overset{\clubsuit}{=}\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^3}\left(\dfrac{1}{4}n^2\right)\left(n+1\right)^2=\dfrac{1}{4}\]

dove in \clubsuit abbiamo usato \displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4} facilmente dimostrabile tramite il principio di induzione o calcolo diretto usando la seguente formula notevole \displaystyle\sum_{n=0}^{N}x^n=\dfrac{x^{N+1}-1}{x-1}.

Teorema 2. Sia f una funzione continua in [a,b]. Allora f è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b].

\[\quad\]

Dimostrazione. Per prima cosa osserviamo che f è una funzione continua in un compatto [a,b] pertanto per il teorema di Weierstrass è limitata e quindi ha senso indagare se sia integrabile; inoltre per il teorema di Heine-Cantor f è uniformemente continua in [a,b]: preso un valore \varepsilon>0 esiste \delta_\varepsilon>0: \space\forall x,x'\in [a,b]\space : |x-x'|<\delta_\varepsilon si ha che4

\[|f(x)-f(x')|<\frac{\varepsilon}{(b-a)}.\]

Consideriamo5 P_\varepsilon=\{a=x_0,x_1,...,x_n=b\} una partizione dell’intervallo [a,b] scelta in modo tale che x_j-x_{j-1}<\delta_\varepsilon\,\,\forall j\in \{1,\dots, n\}. Siano inoltre \displaystyle m_j=\inf_{[x_{j-1},x_j]}f e \displaystyle M_j=\sup_{[x_{j-1},x_j]}f allora per il teorema di Weierstrass esistono x_j'\in[x_{j-1},x_j] tale che f(x_j')=m_j e x_j''\in[x_{j-1},x_j] tale che f(x_j'')=M_j per ogni j=1,...,n. Allora

\[M_j-m_j=f(x_j'')-f(x_j')<\frac{\varepsilon}{(b-a)}.\]

Quindi

\begin{equation*} \begin{split} S(P_\varepsilon,f)-s(P_\varepsilon,f)=\sum_{j=1}^{n}(M_j-m_j)(x_{j}-x_{j-1})\leq\frac{\varepsilon}{(b-a)}\sum_{j=1}^{n}(x_j-x_{j-1})=\frac{\varepsilon}{(b-a)}(b-a)=\varepsilon. \end{split} \end{equation*}

Cioè f è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] per il teorema 1.

Teorema 3. Sia f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} una funzione limitata in [a,b] e continua in [a,b]\setminus N dove N è un sottoinsieme finito di punti di [a,b] allora f è integrabile secondo Riemann in [a,b].

\[\quad\]

Dimostrazione. Sia P=\{a=x_0<x_1<...<x_n=b\} una partizione dell’intervallo [a,b] tale che \forall i\in\{1,...,n-1\}, x_i è un punto di discontinuità. Sia inoltre

\[M=\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f.\]

Fissato \varepsilon>0 è possibile costruire una partizione più fine di P così definita P'=\{a=x_0<y_1<z_1<x_1<y_2<z_2<x_2<...<y_n<z_n<x_n=b\}

\[\quad\]

\[\quad\]

Figura 4: rappresentazione partizione P^\prime

\[\quad\]

\[\quad\]

Figura 5

\[\quad\]

\[\quad\]

con y_i=x_{i-1}+\varepsilon e z_i=x_i-\varepsilon,\,\,\forall i \in\{1,...,n\}.

Osserviamo che la restrizione f|_{[y_i,z_i]}\,\,\forall i \in \{1,\dots ,n\} risulterà continua nel compatto [y_i,z_i] perché tale intervallo non contiene alcun punto di discontinuità e allora per il teorema 2 la funzione f|_{[y_i,z_i]} risulta integrabile in [y_i, z_i] da cui per il teorema 1 è possibile scegliere una partizione P_\varepsilon^{(i)} di [y_i, z_i] tale che

\begin{equation*} S(P_\varepsilon^{(i)},f|_{[y_i,z_i]})-s(P_\varepsilon^{(i)},f|_{[y_i,z_i]})<\varepsilon. \end{equation*}

Consideriamo allora la seguente partizione di [a,b] P_\varepsilon=P'\cup P_\varepsilon^{(1)}\cup...\cup P_\varepsilon^{(n)} e abbiamo

\[\begin{aligned} S(P_\varepsilon,f)=\sum_{i=1}^{n}\sup_{[x_{i-1},y_i]} f\,\,\left(y_i-x_{i-1}\right)+\sum_{i=1}^{n}\sup_{[y_i,z_i]}f\,\,\left(z_i-y_i\right)+\sum_{i=1}^{n}S\left(P^{(i)}_\varepsilon,\,f\vert_{[y_i,z_i]}\right) \end{aligned}\]

e

\[s(P_\varepsilon,f)=\sum_{i=1}^{n}\inf_{[x_{i-1},y_i]} f\,\,\left(y_i-x_{i-1}\right)+\sum_{i=1}^{n}\inf_{[y_i,z_i]}f\,\,\left(z_i-y_i\right)+\sum_{i=1}^{n}s\left(P^{(i)}_\varepsilon,\,f\vert_{[y_i,z_i]}\right)\]

da cui

\[\begin{aligned} &S(P_\varepsilon,f)-s(P_\varepsilon,f)=\\ &{\sum_{i=1}^{n}\big(\sup_{[x_{i-1},y_i]}f-\inf_{[x_{i-1},y_i]}f\big)(y_i-x_{i-1})}+\sum_{i=1}^{n}\big(\sup_{[z_{i},x_i]}f-\inf_{[z_{i},x_i]}f\big)(x_{i}-z_i)+\\ &+ \sum_{i=1}^{n}\big(S(P_\varepsilon^{(i)},f|_{[y_i,z_i]})-s(P_\varepsilon^{(i)},f|_{[y_i,z_i]})\big). \end{aligned}\]

Per le proprietà di monotonia dell’estremo superiore e inferiore sappiamo che

\[\sup_{[a,b]}f>\sup_{[x_{i-1},y_i]}f,\quad \quad \sup_{[a,b]}f>\sup_{[z_{i},x_i]}f\quad \forall i \in\{1,\dots,n\}\]

e

\[\quad\quad \inf_{[a,b]}f<\inf_{[x_{i-1},y_i]}f,\quad \quad \inf_{[a,b]}f<\inf_{[z_{i},x_i]}f\quad \forall i \in\{1,\dots,n\}\]

pertanto

\[\begin{aligned} &{\sum_{i=1}^{n}\left(\sup_{[x_{i-1},y_i]}f-\inf_{[x_{i-1},y_i]}f\right)\left(y_i-x_{i-1}\right)}<\sum_{i=1}^{n}\left(\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f\right)\left(y_i-x_{i-1}\right)=\\ &=\left(\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f\right)\sum_{i=1}^{n}\left(y_i-x_{i-1}\right)=\left(\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f\right)\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i-1}+\varepsilon-x_{i-1}\right)=\\ &=\left(\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f\right)\sum_{i=1}^{n}\varepsilon=\left(\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f\right)n\varepsilon=Mn\varepsilon, \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &{\sum_{i=1}^{n}\left(\sup_{[z_i,x_i]}f-\inf_{[z_i,x_i]}f\right)(x_i-z_{i})}<\sum_{i=1}^{n}\left(\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f\right)\left(x_i-z_{i}\right)=\\ &=\left(\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f\right)\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-z_{i}\right)=\left(\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f\right)\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-x_i+\varepsilon\right)=\\ &=\left(\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f\right)\sum_{i=1}^{n}\varepsilon=\left(\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f\right)n\varepsilon=Mn\varepsilon \end{aligned}\]

e

\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n}\big(S(P_\varepsilon^{(i)},f|_{[y_i,z_i]})-s(P_\varepsilon^{(i)},f|_{[y_i,z_i]})\big)=\\ &=\underbrace{\underbrace{\big(S(P_\varepsilon^{(1)},f|_{[y_1,z_1]})-s(P_\varepsilon^{(1)},f|_{[y_1,z_1]})\big)}_{<\varepsilon}+\dots+\underbrace{\big(S(P_\varepsilon^{(n)},f|_{[y_n,z_n]})-s(P_\varepsilon^{(n)},f|_{[y_n,z_n]})\big)}_{<\varepsilon}}_{n\,\,\text{elementi}}<n\varepsilon \end{aligned}\]

cioè

\[S(P_\varepsilon,f)-s(P_\varepsilon,f) < 2n\varepsilon\left(\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f\right)+n\varepsilon=n(2M+1)\varepsilon.\]

Per l’arbitrarietà di \varepsilon applicando il teorema 1 si ha la tesi.

Osservazione 5. Il teorema 3 si può estendere a funzioni limitate con una infinità numerabile di punti di discontinuità.

Esempio 4. Sia f:[0,3]\to\mathbb{R} tale che

\[f(x)=\begin{cases} 2x\quad& \text{per}\,\,x\in [0,1]\\ 3x^2&\text{per} \,\,(1,2]\\ \cos\left(x-2\right)&\text{per} \,\,x\in (2,3] \end{cases}.\]

Dimostrare che è integrabile in [0,3].

Dimostrazione. La funzione f è limitata in [0,3] e ha due punti di discontinuità in x=1 e x=2; pertanto per il teorema 3 f risulta integrabile in [0,3] e questo conclude la dimostrazione.

Esempio 5. Sia f:[0,1]\to\mathbb{R} tale che

\[f(x)=\begin{cases} 2\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\quad& \text{per}\,\,x\in (0,1]\\ 1&\text{per} \,\,x=0 \end{cases}.\]

Dimostrare che è integrabile in [0,1].

Dimostrazione. Osserviamo che f è limitata in [0,1] e che in x=0 un punto di discontinuità di seconda specie. Pertanto per il teorema 3 f risulta integrabile in [0,1] e questo conclude la dimostrazione.

Teorema 4. Sia f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} una funzione monotona in [a,b]. Allora f è integrabile secondo Riemann in [a,b].

\[\quad\]

Dimostrazione. Supponiamo che la funzione sia monotona crescente; la dimostrazione nel caso decrescente è analoga. Poiché f è limitata allora \min_{[a,b]}f=f(a)\leq f(x)\leq f(b)=\max_{[a,b]} f,\,\,\,\forall x \in (a,b). Nel caso in cui la funzione f è costante per l’esempio 1 si conclude subito che è integrabile. Supponiamo che f non sia costante in [a,b] allora dato \varepsilon>0 si consideri una partizione dell’intervallo [a,b] tale che

\begin{equation*} |P|:=\max_i{|x_{i}-x_{i-1}|}<\frac{\varepsilon}{\left \vert f(b)-f(a)\right \vert }. \end{equation*}

Osserviamo che la funzione essendo monotona crescente \left \vert f(b)-f(a)\right \vert=f(b)-f(a)>0; inoltre per la monotonia di f, abbiamo che m_i=f(x_{i-1}) e M_i=f(x_i) e quindi

\begin{equation*} \begin{split} S(P,f)-s(P,f)=&\sum_{i=1}^{n}(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\leq\\&\leq\sum_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))(x_{i}-x_{i-1})\leq\\&\leq|P|\sum_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))=\\ &=|P|\left(f(x_1)-f(x_0)+f(x_2)-f(x_1)+f(x_3)-f(x_2)+\dots+f(x_n)-f(x_{n-1})\right)=\\ &=\left \vert P\right \vert \left(f(x_n)-f(x_0)\right)=|P|(f(b)-f(a))<\\ &<(f(b)-f(a))\cdot \dfrac{\varepsilon}{(f(b)-f(a))}=\varepsilon \end{split} \end{equation*}

da cui per il teorema 1 si ha la tesi.

Teorema 5. Sia

\[f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\]

una funzione integrabile e poniamo

\[m:= \inf_{[a,b]}f \quad \quad M:=\sup_{[a,b]} f.\]

Allora, per ogni funzione continua

\[g:\left[m,M\right]\to\mathbb{R},\]

la funzione

\[h:=g\circ f:[a,b]\to\mathbb{R }\]

risulta integrabile in [a,b].

\[\quad\]

Dimostrazione. Osserviamo che per il teorema di Heine-Cantor la funzione g risulta uniformemente continua nel proprio dominio, ovvero

\[\forall \varepsilon>0 \; \exists \delta>0: \; x,y \in [m,M], \;|x-y| < \delta \Rightarrow |g(x)-g(y)|<\varepsilon.\]

Fissato \varepsilon >0, scegliamo \delta in modo tale che \delta < \varepsilon. Inoltre osserviamo che, essendo f integrabile nel proprio dominio, per il teorema 1 si può scegliere una partizione P=\{ x_0,\dots, x_n \} di [a,b] tale che:

\[S(P,f)-s(P,f)<\delta^2.\]

Siano

\[m_i:= \inf_{[x_{i-1},x_i]}f, \quad \quad M_i:=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f, \quad \text{ per }i\in \{1,\dots,n\}.\]

Ora dividiamo l’insieme degli indici i \in \{1,\dots,n\} in due sottoinsiemi A e B tale che

\[\quad\]

  • A\cup B=\{1,\dots,n\};

    •  

  • M_i-m_i<\delta,\quad \forall i \in A;

    •  

  • M_i-m_i\geq \delta,\quad \forall i \in B.

Siano ora

\[\tilde{m}_i:= \inf_{[x_{i-1},x_i]}h, \quad \quad \tilde{M}_i:=\sup_{[x_{i-1},x_i]}h, \quad \text{ per }i\in \{1,\dots,n\},\]

e siano y_i^1,y_i^2\in [ m_i,M_i] tali che

\[g(y_i^1)=\inf_{[m_i,M_i]}g \quad \quad g(y_i^2)=\sup_{[m_i,M_i]}g.\]

Preso i \in A, abbiamo |y_i^2- y_i^1| \leq M_i-m_i <\delta e dunque per l’uniforme continuità di g otteniamo

\[\tilde{M}_i-\tilde{m}_i\leq \sup_{[m_i,M_i]}g-\inf_{[m_i,M_i]}g= g(y_i^2)-g(y_i^1) <\varepsilon.\]

Preso i \in B, possiamo stimare \tilde{M}_i-\tilde{m}_i come segue:

\[\tilde{M}_i-\tilde{m}_i\leq |\tilde{M}_i|+|\tilde{m}_i|\leq2\max\{|\tilde{M}_i|,|\tilde{m}_i|\}\leq 2 \sup_{[m_i,M_i]}|g|\leq 2 \sup_{[m,M]}|g|.\]

Osserviamo che per i\in B si ha \dfrac{M_i-m_i }{\delta}\geq 1, dunque

\[\sum_{i\in B} (x_i-x_{i-1})\leq \dfrac{1}{\delta}\sum_{i\in B} (M_i-m_i )(x_i-x_{i-1})\leq \dfrac{1}{\delta} (S(P,f)-s(P,f))<\dfrac{1}{\delta}\cdot \delta^2=\delta.\]

Infine,

\begin{equation*} \begin{aligned} S(P,h)-s(P,h)&= \sum_{i\in A} (\tilde{M}_i-\tilde{m}_i )(x_i-x_{i-1})+ \sum_{i\in B} (\tilde{M}_i-\tilde{m}_i)(x_i-x_{i-1}) \leq \\ & \leq \varepsilon(b-a)+ 2\sup_{[m,M]}|g| \delta< \varepsilon((b-a)+2\sup_{[m,M]}|g|). \end{aligned} \end{equation*}

Per l’arbitrarietà di \varepsilon otteniamo che h è integrabile.    

  1. Osservazione:

    \[x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \vert x \vert < \varepsilon,\quad \forall \varepsilon >0\]

    ↩

    2.  

    1. Dividere per b-a è perfettamente ammissibile per l’arbitrarietà di \varepsilon. ↩

      2.  

      1. Scegliamo una partizione così fine da avere x_j-x_{j-1}<\delta_\varepsilon\,\,\forall j. ↩

Proprietà delle funzioni integrabili..

Nel seguente teorema verranno dimostrate le principali proprietà delle funzioni integrabili secondo Riemann che risulteranno utili per le prime regole di integrazione.

Teorema 6. Siano f e g due funzioni integrabili secondo Riemann in [a,b] e k\in\mathbb{R}. Allora valgono le seguenti proprietà:

\[\quad\]

  1. la funzione f+g è integrabile e

    \begin{equation*} \int_{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int_{a}^{b} f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx. \end{equation*}

    2.  

  2. La funzione k\cdot g è integrabile e

    \begin{equation*} \int_{a}^{b}k\cdot f(x)dx=k\cdot\int_{a}^{b} f(x)dx. \end{equation*}

    3.  

  3. Proprietà di linearità \alpha f+\beta g è integrabile e

    \[\int_{a}^{b}\left(\alpha\, f(x)+\beta\, g(x)\right)\,dx=\alpha\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int_{a}^{b}g(x)\,dx.\]

    4.  

  4. Proprietà di monotonia Se f(x)\geq g(x) per ogni x\in [a,b] allora

    \begin{equation*} \int_{a}^{b} f(x)dx\geq\int_{a}^{b} g(x)dx. \end{equation*}

    5.  

  5. |f| è integrabile e

    \begin{equation*} \Big|\int_{a}^{b} f(x)dx\Big|\leq\int_{a}^{b} |f(x)|dx. \end{equation*}

\[\quad\]

Prima di procedere alle dimostrazioni ricordiamo le seguenti proprietà degli estremi superiori ed inferiori

\[\begin{aligned} &\sup_X(f+g)\leq \sup_Xf+\sup_Xg,\\ &\inf_X(f+g)\geq\inf_Xf+\inf_Xg,\\ &\text{se}\,\,\alpha>0:\,\sup_X\left(\alpha f\right)=\alpha\sup_Xf,\\ &\text{se}\,\,\alpha<0:\sup_X(\alpha f)=\alpha\inf_X(f),\\ &\text{se}\,\,\alpha>0:\inf_X(\alpha f)=\alpha\inf_X(f),\\ &\text{se}\,\,\alpha<0:\inf_X(\alpha f)=\alpha\sup_X(f). \end{aligned}\]

Osservazione 6. Immaginiamo di voler applicare \sup_X(f+g)\leq \sup_Xf+\sup_Xg alle somme superiori. Allora si avrebbe:

\[\begin{aligned} S(P,f+g)&=\sum_{i=1}^{n}M_i\left(P,f+g\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)=\sum_{i=1}^{n}\sup_{[x_{i-1},x_i]}\left(P,f+g\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)\leq\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}\left(\sup_{[x_{i-1},x_i]}\left(P,f\right)+\sup_{[x_{i-1},x_i]}\left(P,g\right)\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)=\\ &=\sum_{i=1}^{n}\sup_{[x_{i-1},x_i]}\left(P,f\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)+\sum_{i=1}^{n}\sup_{[x_{i-1},x_i]}\left(P,f\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)=\\ &=S(P,f)+S(P,g) \end{aligned}\]

dove P è una partizione di [a,b]. Le altre proprietà si applicano in modo analogo.

Dimostrazione.

  1. Per prima cosa dimostriamo che se f e g sono integrabili in [a,b] allora la funzione f+g è integrabile in [a,b]. Per l’ipotesi di integrabilità delle due funzioni si ha che per il teorema 1 scelta una quantità \varepsilon>0 esistono due partizioni distinte P e Q relative all’intervallo [a,b] tali che

    \begin{equation*} S(P,f)-s(P,f)<\frac{\varepsilon}{2},\qquad\text{ e }\qquad S(Q,g)-s(Q,g)<\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation*}

    Indichiamo con R=P\cup Q una partizione di [a,b] che risulta ovviamente più fine di P e Q. Allora quanto affermato per le partizioni P e Q continuerà ad essere valido per la partizione R (vedi proposizione 1)

    \begin{equation*} S(P,f)-s(P,f)\leq S(R,f)-s(R,f)<\frac{\varepsilon}{2}\qquad\text{ e }\qquad S(Q,g)-s(Q,g)\leq S(R,g)-s(R,g)<\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation*}

    Dalle proprietà dell’estremo inferiore e superiore \sup_X(f+g)\leq\sup_Xf+\sup_Xg e \inf_X(f+g)\geq\inf_Xf+\inf_Xg otteniamo

    \begin{equation*} s(R,f)+s(R,g)\leq s(R,f+g)\leq S(R,f+g)\leq S(R,f)+S(R,g) \end{equation*}

    da cui

    \[\begin{cases} s(R,f)+s(R,g)\leq s(R,f+g)\\ S(R,f+g)\leq S(R,f)+S(R,g) \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -s(R,f+g)\leq -s(R,f)-s(R,g)\\ S(R,f+g)\leq S(R,f)+S(R,g) \end{cases}\]

    cioè

    \[S(R,f+g)-s(R,f+g)\leq S(R,f)+S(R,g)-s(R,f)-s(R,g)=S(R,f)-s(R,f)+S(R,g)-s(R,g)\]

    quindi

    \begin{equation*} S(R,f+g)-s(R,f+g)\leq S(R,f)-s(R,f)+S(R,g)-s(R,g)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{equation*}

    pertanto la funzione f+g è integrabile.

    Ora dobbiamo dimostrare che

    \[\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx=\int_{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)\,dx.\]

    Osserviamo quanto segue

    \begin{equation*} s(R,f)+s(R,g)\leq s(R,f+g)\leq \int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx\leq S\left(R,f+g\right)\leq S\left(R,f\right)+S\left(R,g\right) \end{equation*}

    e

    \begin{equation*} s(R,f)+s(R,g)\leq \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx\leq S(R,f)+S(R,g) \end{equation*}

    da cui

    \begin{equation*} \begin{aligned} & \left| \int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx-\Big(\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)\Big)dx\right|\leq \left \vert S\left(R,f\right)+S\left(R,g\right)-s\left(R,f\right)-s\left(R,g\right) \right \vert=\\ &=\left \vert S\left(R,f\right) - s\left(R,f\right)+S\left(R,g\right)-s\left(R,g\right)\right \vert <\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{aligned} \end{equation*}

    Per l’arbitrarietà di \varepsilon

    \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx.\]

    2.  

  2. Supponiamo k>0. Per l’ipotesi di integrabilità di f nell’intervallo [a,b] per il teorema 3 preso \varepsilon>0 esiste una partizione P dell’intervallo [a,b] tale che

    \begin{equation*} S(P,f)-s(P,f)<\frac{\varepsilon}{k}. \end{equation*}

    Quindi

    \begin{equation*} S(P,k\cdot f)-s(P,k\cdot f)=k S(P,f)-k s(P,f)=k\left( S(P,f)- s(P,f)\right)<k\cdot \dfrac{\varepsilon}{k}=\varepsilon \end{equation*}

    dove abbiamo usato \,\sup_X\left(k f\right)=k\sup_Xf e quindi kf è integrabile. Inoltre

    \begin{equation*} k\cdot s(P,f)=s(P,k\cdot f)\leq\int_{a}^{b}k\cdot f(x)dx\leq S(P,k\cdot f)=k\cdot S(P,f) \end{equation*}

    allora stesso modo vale che

    \begin{equation*} \begin{cases} k\cdot\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx\leq k\cdot S(P,f)\\\\ \displaystyle\int_{a}^{b}kf(x)\,dx\geq k\cdot s(P,f) \end{cases} \end{equation*}

    quindi

    \begin{equation*} \left|\int_{a}^{b}k\cdot f(x)dx- k\cdot\int_{a}^{b} f(x)dx\right|\leq k|S(P,f)-s(P,f)|<\varepsilon \end{equation*}

    da cui

    \[\int_{a}^{b}k\cdot f(x)dx=k\cdot\int_{a}^{b} f(x)dx\]

    cioè la tesi.

    Nel caso in cui k=0 è ovvio. Se invece k<0 iniziamo a dimostrare che se f è integrabile in [a,b] allora anche -f è integrabile in [a,b]. Sia P=\{x_0,x_1,...,x_n\} la partizione tale che

    \begin{equation*} S(P,f)-s(P,f)<\varepsilon. \end{equation*}

    Allora dalle proprietà dell’estremo inferiore e superiore si ha

    \begin{equation*} S(P,-f)=\sum_{j=1}^{n}\sup_{[x_{j-1},x_j]}(-f)(x_j-x_{j-1})=-\sum_{j=1}^{n}\inf_{[x_{j-1},x_j]}f\cdot(x_j-x_{j-1})=-s(P,f) \end{equation*}

    \begin{equation*} s(P,-f)=\sum_{j=1}^{n}\inf_{[x_{j-1},x_j]}(-f)(x_j-x_{j-1})=-\sum_{j=1}^{n}\sup_{[x_{j-1},x_j]}f\cdot (x_j-x_{j-1})=-S(P,f) \end{equation*}

    allora

    \begin{equation*} S(P,-f)-s(P,-f)=-s(P,f)+S(P,f)<\varepsilon \end{equation*}

    e possiamo affermare che -f è integrabile. Per concludere la dimostrazione è sufficiente osservare che k\cdot f=|k|(-f) e sfruttare il risultato appena dimostrato per coefficienti positivi.

    3.  

  3. La dimostrazione risulta immediata basta applicare i punti 1 e 2 dimostrati in precedenza.

    4.  

  4. Per i punti precedenti se f e g sono due funzioni integrabili in [a,b] anche la funzione h(x):=f(x)-g(x) risulterà integrabile in [a,b]. Risulta chiaro che se f(x)\geq g(x)\,\,\forall x \in[a,b] si ha che h(x)\geq0 \,\,\forall x \in [a,b] e quindi \displaystyle\int_{a}^{b}h(x)dx\geq 0.

    Abbiamo dunque

    \[\int_{a}^{b}h(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)-g(x)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx-\int_{a}^{b}g (x)\,dx\geq 0\quad \Leftrightarrow\quad \int_{a}^{b}f(x)\,dx\geq \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

    da cui la tesi.

    5.  

  5. Consideriamo le funzioni

    \[g^+(x)=\begin{cases} x\quad &\text{per}\,\,x\geq 0\\ 0&\text{altrimenti} \end{cases}\]

    e

    \[g^-(x)=\begin{cases} -x\quad &\text{per}\,\,x< 0\\ 0&\text{altrimenti} \end{cases}\]

    entrambe continue nel proprio dominio; da cui

    \begin{equation*} g^+(f(x))= f^+(x)=\max\{f(x),0\}=\begin{cases} f(x)&\text{se }f(x)\geq0\\0&\text{altrimenti} \end{cases} \end{equation*}

    e

    \begin{equation*} g^-(f(x))=f^-(x)=-\min\{f(x),0\}=\begin{cases} -f(x)&\text{se }f(x)<0\\0&\text{altrimenti} \end{cases}. \end{equation*}

    le quali risultano entrambi integrabili per il teorema 5. Osserviamo che \left \vert f \right \vert può essere riscritto come |f|=f^++f^- quindi anche |f| risulterà integrabile per il caso 1 del teorema 6. Inoltre

    (13) \begin{equation*} -\left\vert f(x)\right \vert\leq f(x)\leq \left \vert f(x)\right \vert . \end{equation*}

    Quindi applicando il risultato del caso 2 e 4 ad (13) si ha che

    \begin{equation*} -\int_{a}^{b}\left \vert f(x)\right \vert \leq\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq\int_{a}^{b}\left \vert f(x)\right \vert \quad \Leftrightarrow\quad \left|\int_{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq\int_{a}^{b}\left \vert f(x)\right \vert \,dx. \end{equation*}

Proposizione 4. Siano f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} due funzioni integrabili. Allora h:[a,b]\to\mathbb{R},\,h(x)=f(x) g(x) risulta integrabile in [a,b].

\[\quad\]

Dimostrazione. Riscriviamo f(x)\cdot g(x) come segue

\[f(x)\cdot g(x)=\dfrac{1}{4}\left(f(x)+g(x)\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(f(x)-g(x)\right)^2.\]

Osserviamo che f(x)+g(x) risulta integrabile per il caso 1 del teorema 6. Considerando le funzioni t:[a,b]\to\mathbb{R},\,t(x)=\dfrac{1}{4}x^2 e n:[a,b]\to\mathbb{R},\,n(x)=-\dfrac{1}{4}x^2 che sono continue nel proprio dominio e pertanto la funzione z:[a,b]\to\mathbb{R} ,\,z(x)=t(f(x)+g(x))+n(f(x)-g(x)) risulta integrabile per il teorema 5 e il caso 1 del teorema 6, da cui la tesi.

Teorema 7. (proprietà additiva). Siano f:[a,b]\to\mathbb{R} una funzione limitata e c\in (a,b). Allora f è integrabile in [a,b] se e solo se risulta integrabile in [a,c] e [c,b]. Inoltre, in qualunque dei due casi, si ha

\begin{equation*} \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx. \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Iniziamo con il dimostrare che se f è integrabile in in [a,c] e [c,b] allora f è integrabile in [a,b].

(\Leftarrow)Sia P=\{x_0,x_1,...,x_n\} una partizione formata da n+1 punti dell’intervallo [a,c] e Q=\{y_0,y_1,...,y_m\} partizione dell’intervallo [c,b] formata da m+1 punti, allora R:=P\cup Q è una partizione di n+m+1 punti dell’intervallo [a,b]6 e risulta

\begin{equation*} \begin{split} s(R,f)&=\sum_{j=1}^{n+m}\inf_{[z_{j-1},z_j]}f\cdot(z_j-z_{j-1})=\\ &=\sum_{i=1}^{n}\inf_{[x_{i-1},x_i]}f\cdot(x_i-x_{i-1})+\sum_{k=1}^{m}\inf_{[y_{k-1},y_k]}f\cdot(y_k-y_{k-1})=s(P,f)+s(Q,f). \end{split} \end{equation*}

Analogamente possiamo dimostrare che S(R,f)=S(P,f)+S(Q,f), quindi

\begin{equation*} S(R,f)-s(R,f)=S(P,f)+S(Q,f)-s(P,f)-s(Q,f). \end{equation*}

Per l’ipotesi di integrabilità di f in [a,c] e in [c,b] allora scelto un valora \varepsilon>0 esistono due partizioni P_\varepsilon e Q_\varepsilon rispettivamente di [a,c] e [c,b] tali che

\begin{equation*} S(P_\varepsilon,f)-s(P_\varepsilon, f)<\frac{\varepsilon}{2}\qquad\text{e}\qquad S(Q_\varepsilon,f)-s(Q_\varepsilon, f)<\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation*}

Quindi

\begin{equation*} S(R_\varepsilon,f)-s(R_\varepsilon,f)= S(P_\varepsilon,f)-s(P_\varepsilon, f)+S(Q_\varepsilon,f)-s(Q_\varepsilon, f)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{equation*}

da cui segue che f è integrabile in [a,b].

(\Rightarrow) Nel caso in cui f risulti integrabile in [a,b] allora scelto \varepsilon>0 esiste una partizione R_\varepsilon dell’intervallo [a,b] tale che S(R_\varepsilon,f)-s(R_\varepsilon,f)<\varepsilon. Allora possiamo distinguere due casi:

\[\quad\]

  • Se c\in R_\varepsilon allora possiamo considerare P_\varepsilon partizione dell’intervallo [a,c] e Q_\varepsilon partizione dell’intervallo [c,b] tali che P_\varepsilon\cup Q_\varepsilon=R_\varepsilon e per la proposizione 1 si ha che

    \begin{equation*} S(P_\varepsilon,f)-s(P_\varepsilon,f)\leq S(R_\varepsilon,f)-s(R_\varepsilon,f)<\varepsilon \end{equation*}

    \begin{equation*} S(Q_\varepsilon,f)-s(Q_\varepsilon,f)\leq S(R_\varepsilon,f)-s(R_\varepsilon,f)<\varepsilon \end{equation*}

    e quindi f è integrabile in [a,c] e in [c,b].

    •  

  • Se c\not\in R_\varepsilon allora consideriamo la partizione T_\varepsilon:=R_\varepsilon\cup R_0 con R_0:=\{c\}. Osserviamo che T_\varepsilon è più fine di R_\varepsilon allora per la proposizione 1 si ha

    \[s\left(T_\varepsilon,f\right)\geq s\left(R_\varepsilon,f\right)\]

    e

    \[S\left(T_\varepsilon,f\right)\leq S\left(R_\varepsilon,f\right)\]

    quindi

    \[\underbrace{S\left(T_\varepsilon,f\right)-S\left(R_\varepsilon,f\right)}_{\leq 0}+\underbrace{s\left(R_\varepsilon,f\right)-s\left(T_\varepsilon,f\right)}_{\leq 0}\leq 0\]

    pertanto

    \begin{equation*} S(T_\varepsilon,f)-s(T_\varepsilon,f)\leq S(R_\varepsilon,f)-s(R_\varepsilon,f)<\varepsilon \end{equation*}

    quindi f è integrabile in [a,c] e in [c,b].

Per dimostrare l’uguaglianza, sia \varepsilon>0 allora esiste una partizione R_\varepsilon tale che, seguendo un ragionamento analogo a quello fatto nella dimostrazione dell’integrabilità, c\in R_\varepsilon. Consideriamo poi le due partizioni P_\varepsilon e Q_\varepsilon rispettivamente di [a,c] e [c,b], allora

\begin{equation*} \begin{split} &\int_{a}^{b}f(x)dx- \int_{a}^{c}f(x)dx-\int_{c}^{b}f(x)dx\leq S(R_\varepsilon,f)-s(P_\varepsilon,f)-s(Q_\varepsilon,f)=S(R_\varepsilon,f)-s(R_\varepsilon,f)<\varepsilon. \end{split} \end{equation*}

Analogamente

\begin{equation*} \begin{split} &\int_{a}^{b}f(x)dx- \int_{a}^{c}f(x)dx-\int_{c}^{b}f(x)dx\geq s(R_\varepsilon,f)-S(P_\varepsilon,f)-S(Q_\varepsilon,f)=S(R_\varepsilon,f)-s(R_\varepsilon,f)>-\varepsilon \end{split} \end{equation*}

Quindi

\begin{equation*} \left| \int_{a}^{b}f(x)dx- \int_{a}^{c}f(x)dx-\int_{c}^{b}f(x)dx\right|<\varepsilon \end{equation*}

da cui per l’arbitrarietà di \varepsilon otteniamo la tesi.

Teorema 8. Sia f:[a,b]\to\mathbb{R} una funzione continua e non negativa. Allora risulta

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx=0\]

se e solo se f\equiv0 in [a,b].

\[\quad\]

Dimostrazione. Se f è identicamente nulla in [a,b] è ovvio. Ipotizziamo per assurdo che f non è identicamente nulla in [a,b]. Sappiamo che f(x)\geq0 per ogni x\in[a,b] e scelto un qualsiasi valore x_0\in(a,b) tale che f(x_0)>0, per il teorema della permanenza del segno la funzione in un intorno di (x_0-\delta,x_0+\delta)\subset(a,b) risulta f(x)>0. Scelto un qualsiasi compatto [\alpha,\beta]\subset(x_0-\delta,x_0+\delta) per il teorema di Weierstrass la funzione ammette minimo assoluto m>0 e pertanto risulta chiaro che

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx>m\left(\beta-\alpha\right)\]

ovvero l’area del rettangolo di base \beta-\alpha>0 e altezza m è minore dell’area sottesa alla curva f in [a,b]; ma questo fatto è assurdo poiché m\left(\beta-\alpha\right)>0 contraddice l’ipotesi \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=0.

Definizione 4. Sia f\colon[a,b]\to\mathbb{R} una funzione integrabile e siano c,\,d\in [a,b] tali che c\leq d. Poniamo per definizione

\begin{equation*} \int_{d}^{c}f(x)\,dx=-\int_{c}^{d}f(x)\,dx. \end{equation*}

\[\quad\]

Osservazione 7. Si noti che, dalla definizione 4 segue che

\begin{equation*} \int_{c}^{c}f(x)\,dx=0. \end{equation*}

per ogni c\in [a,b]. Ciò è coerente con l’idea intuitiva che l’area sottesa al grafico di f su un intervallo di ampiezza nulla sia nulla.    

  1. Verrebbe naturale pensare che ci sono n+m+2 elementi ma x_n\equiv y_0 ↩

Teoremi della media integrale.

Teorema 9. (teorema della media integrale). Sia f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} una funzione integrabile in [a,b]. Allora

\begin{equation*} \inf_{[a,b]}f\leq\dfrac{\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx}{(b-a)}\leq \sup_{[a,b]}f. \end{equation*}

Inoltre se f è continua in [a,b] allora esiste un punto x_0\in[a,b] tale che

\begin{equation*} f(x_0)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx. \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Dalla definizione di funzione integrabile secondo Riemann, per ogni partizione P dell’intervallo [a,b] risulta che

\begin{equation*} s(P,f)\leq\int_{a}^{b} f(x)dx\leq S(P,f). \end{equation*}

Se consideriamo la partizione meno fine di tutte P_0=\{a,b\} costituita dai soli estremi dell’intervallo abbiamo

\begin{equation*} s(P_0,f)=\inf_{[a,b]} f\cdot(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq S(P_0,f)=\sup_{[a,b]}f\cdot (b-a). \end{equation*}

Dividiamo le precedenti disuguaglianze per la quantità b-a>0 e otteniamo

\begin{equation*} \inf_{[a,b]} f\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \sup_{[a,b]}f \end{equation*}

da cui la prima tesi del teorema.

Supponiamo ora che f sia continua in [a,b] allora per il teorema dei valori intermedi esiste un punto x_0\in[a,b] tale che

\begin{equation*} f(x_0)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)dx \end{equation*}

da cui la seconda tesi del teorema.

Osservazione 8. Per dimostrare la prima tesi del teorema 9 è possibile procedere anche nel modo che segue. Sappiamo che f è integrabile in [a,b] quindi è limitata in [a,b] pertanto

\[\inf_{[a,b]}f\leq f(x)\leq \sup_{[a,b]}f \quad \forall x \in[a,b].\]

Integrando si ha

\[\int_{a}^{b}\inf_{[a,b]}f\,dx\leq \int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq\int_{a}^{b} \sup_{[a,b]}f\,dx\]

cioè

\[\inf_{[a,b]}f\int_{a}^{b}1\,dx=\inf_{[a,b]}f\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq\sup_{[a,b]}f\int_{a}^{b} 1\,dx=\sup_{[a,b]}f\left(b-a\right)\]

da cui dividendo per b-a>0 si ottiene nuovamente la tesi.

Osservazione 9. Questo teorema assicura nel caso di funzioni continue l’esistenza di un punto x_0 tale che il rettangolo di base [a,b] e altezza f(x_0) ha area uguale all’area sottesa al grafico di f.

\[\quad\]

\[\quad\]

\[\quad\]

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\[\quad\]

\[\quad\]

Osservazione 10. Il rapporto \displaystyle\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)dx prende il nome di media integrale della funzione f sull’intervallo [a,b]. Tale denominazione è giustificata: consideriamo le partizioni P_n dell’intervallo di integrazione

\begin{equation*} x_i=a+\frac{i}{n}(b-a)\qquad\text{ per } i=0,...,n \end{equation*}

Per l’integrabilità della funzione

\begin{equation*} \begin{split} \int_{a}^{b}f(x)\,dx&=\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i)=\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\frac{b-a}{n}=\\&=(b-a)\lim_{n\to+\infty}\frac{f(x_0)+...+f(x_n)}{n}\\&\Rightarrow\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{n\to+\infty}\frac{f(x_0)+...+f(x_n)}{n}. \end{split} \end{equation*}

Dunque la media integrale si presenta come il limite a cui tende la media aritmetica di n valori della funzione, assunti in n punti distinti, al tendere di n all’infinito.

Teorema 10. (teorema della media ponderata). Siano f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} e g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} due funzioni continue in [a,b] e sia g di segno costante in [a,b]. Allora esiste un punto c\in[a,b] tale che

\begin{equation*} \int_a^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int_a^bg(x)\,dx \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Supponiamo g positiva nell’intervallo [a,b]. Poiché f è una funzione continua nel compatto [a,b] allora per il teorema di Weierstrass esistono m e M rispettivamente il minimo e il massimo di f in [a,b]:

\begin{equation*} mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x) \end{equation*}

Per la proprietà di linearità otteniamo che

\begin{equation*} m\int_a^bg(x)\,dx\leq\int_a^b f(x)g(x)\,dx\leq M\int_{a}^{b}g(x)\,dx. \end{equation*}

Inoltre osseviamo che, poichè g è positiva nell’intervallo [a,b], per il teorema 8 si ha \int_{a}^{b}g(x)\,dx> 0 e quindi possiamo dividere per tale quantità ottenendo

\begin{equation*} m\leq \frac{\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int_a^bg(x)\,dx}\leq M. \end{equation*}

Per il teorema dei valori intermedi esiste un punto c\in[a,b] tale che

\begin{equation*} \frac{\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int_a^bg(x)\,dx}=f(c)\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int_a^bg(x)\,dx \end{equation*}

che è l’asserto.

Osservazione 11. Il teorema della media integrale è conseguenza diretta del teorema della media ponderata per g(x)=1.


 
 

Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo

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