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Funzioni integrali – Teoria

Teoria Funzioni integrali (Approfondimento)

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Le funzioni integrali nascono dalla teoria degli integrali definiti: esse sono funzioni date dall’integrale di un’altra funzione, in cui la variabile compare in uno o entrambi gli estremi di integrazione. Alcune proprietà di tali funzioni sono fornite dal teorema fondamentale del calcolo integrale (pagina 21). Talvolta è però necessario uno studio più approfondito e quindi è utile sviluppare strumenti volti a determinarne le caratteristiche.

In questa dispensa ci concentriamo su questo tema di notevole importanza, trattandone i seguenti aspetti:

La dispensa si propone di studiare queste domande, affiancando le spiegazioni teoriche a esercizi svolti per una preparazione completa; inizia quindi ad esplorare questo affascinante argomento, connubio tra i vari campi dell’Analisi Matematica!

Segnaliamo le raccolte di Esercizi sullo studio di funzioni integrali e di esercizi sui limiti di funzioni integrali, oltre al materiale di teoria correlato:

 

Funzioni integrali: autori e revisori

Leggi...

Autori: Maicol Caponi

Revisori: Valerio Brunetti, Matteo Talluri.


 
 

Funzioni integrali

Definizione e proprietà.

Sia I\subseteq\mathbb R un intervallo (non necessariamente aperto o chiuso) e sia f\colon I\to\mathbb R una funzione localmente integrabile su I. Fissato x_0\in I è possibile definire la funzione

\[F(x):=\int_{x_0}^xf(t)\,dt\quad\text{per $x\in I$},\]

con le seguenti convenzioni

\[F(x_0)=\int_{x_0}^{x_0}f(t)\,dt=0,\qquad F(x)=\int_{x_0}^x f(t)\,dt=-\int_x^{x_0}f(t)\,dt\quad\text{per $x<x_0$}.\]

La funzione F si chiama funzione integrale di f su I di punto iniziale x_0. Dalla teoria dell’integrale di Riemann, sappiamo che la funzione F è ben definita per ogni x\in I ed è continua su I. Inoltre, se f risulta integrabile in senso generalizzato su \overline I (la chiusura di I), allora è possibile definire F anche su \overline I dove risulta essere ancora continua. Infatti, dalla definizione di integrale generalizzato abbiamo

\[F(x)=\int_{x_0}^xf(t)\,dt=\lim_{y\to x}\int_{x_0}^yf(t)\,dt=\lim_{y\to x}F(y)\quad\text{per ogni $x\in\overline I$}.\]

Più in generale sia I\subseteq\mathbb R un intervallo, sia N un sottoinsieme finito di I e sia f\colon I\setminus N\to \mathbb R una funzione localmente integrabile su I\setminus N. Fissato x_0\in\overline I vogliamo definire ancora la funzione

\[F(x):=\int_{x_0}^xf(t)\,dt\]

per degli opportuni x\in\overline I. Per prima cosa dobbiamo determinare quale è l’insieme dei punti x\in\overline I per cui tale funzione risulta ben definita. Sicuramente x_0 appartiene a questo insieme visto che per definizione F(x_0)=0. Inoltre, bisogna considerare tutti i punti x\in\overline I per cui la funzione f risulta integrabile secondo Riemann o in senso generalizzato tra x_0 e x. Pertanto diamo la seguente definizione.

\[\quad\]

Definizione 1. Sia I\subseteq\mathbb R un intervallo, sia N un sottoinsieme finito di I e sia f\colon I\setminus N\to \mathbb R una funzione localmente integrabile su I\setminus N. Fissato x_0\in \overline I si definisce la funzione integrale F di f di punto iniziale x_0 come

\[F(x):=\int_{x_0}^xf(t)\,dt\quad\text{per $x\in \mathrm{dom}(F)$},\]

dove \mathrm{dom}(F)\subseteq\overline I (dominio di F) è l’insieme

\[\mathrm{dom}(F):=\{x_0\}\cup\{x\in\overline I\,:\,\text{$f$ è integrabile (secondo Riemann o in senso generalizzato) tra $x_0$ e $x$}\}.\]

\[\quad\]

\[\quad\]

Teorema 1. Sia I\subseteq\mathbb R un intervallo, sia N un sottoinsieme finito di I e sia f\colon I\setminus N\to\mathbb R una funzione localmente integrabile su I\setminus N. Fissato x_0\in\overline I, l’insieme \mathrm{dom}(F)\subseteq\overline I è un intervallo (al più coincidente con il solo punto \{x_0\}). Inoltre la funzione F è continua su \mathrm{dom}(F).

\[\quad\]

Dimostrazione. Dimostriamo intanto che \mathrm{dom}(F)\subseteq\overline I è un intervallo. Siano x,y\in\mathrm{dom}(F) con x\le y, allora la funzione f è integrabile (secondo Riemann o in senso generalizzato) tra x_0 e x e tra x_0 e y. Ne consegue che per ogni z\in[x,y] la funzione f è integrabile tra x_0 e z. Dunque z\in\mathrm{dom}(F), cioè \mathrm{dom}(F) è un intervallo.

Dimostriamo ora che F è continua su \mathrm{dom}(F). Supponiamo intanto che f sia definita su I:=(a,b] e dividiamo la dimostrazione nei seguenti casi.  

  • Sia x_0>a. Allora per ogni x\in\mathrm{dom}(F) la funzione f è integrabile tra x_0 e x (secondo Riemann se x>a o in senso generalizzato se x=a), e dunque F è continua in x per quanto osservato all’inizio di questa sezione.

    •  

  • Sia x_0=a. Se \mathrm{dom}(F)=\{a\} allora per definizione F è continua sul suo dominio. Sia dunque \mathrm{dom}(F)\neq\{a\} e consideriamo x\in\mathrm{dom}(F). Abbiamo i seguenti sottocasi.

    •  

    1. Sia x>a. Allora f è integrabile in senso generalizzato su [a,x] e fissato c\in (a,x) abbiamo che

      \[F(x)=\int_a^xf(t)\,dt=\int_a^cf(t)\,dt+\int_c^xf(t)\,dt.\]

      Dunque F è continua in x essendo f integrabile secondo Riemann su [c,x].

      2.  

    2. Sia x=a=x_0. Dobbiamo far vedere che F è continua in a, cioè

      \[\lim_{y\to a}F(y)=F(a)=0.\]

      Poiché \mathrm{dom}(F)\neq \{a\}, allora esiste c\in \mathrm{dom}(F) con c>a. In particolare, f è integrabile in senso generalizzato su [a,c] e dunque

      \[F(c)=\int_a^cf(t)\,dt=\lim_{y\to a}\int_y^cf(t)\,dt.\]

      Quindi

      \[0=\int_a^cf(t)\,dt-\lim_{y\to a}\int_y^cf(t)\,dt=\lim_{y\to a}\left(\int_a^cf(t)\,dt-\int_y^cf(t)\,dt\right)=\lim_{y\to a}\int_a^yf(t)\,dt.\]

Analogamente, la funzione F è continua su \mathrm{dom}(F) anche nel caso in cui f sia definita su I:=[a,b) oppure I:=(a,b). Infine, nel caso più generale in cui f\colon I\setminus N\to\mathbb R, basta decomporre I\setminus N=\bigcup_{j=1}^nI_j con I_j intervalli a due a due disgiunti per j=1,\dots,n, e ragionare su ogni I_j utilizzando la proprietà di additività dell’integrale.

Esempio 1. Consideriamo la funzione integrale F definita da

\[F(x):=\int_0^x\frac{t^2+\sqrt{|t|}}{1-\sqrt{1-t}}\,dt,\]

e andiamo a determinare \mathrm{dom}(F). Per prima cosa determiniamo il dominio della funzione integranda

\[f(x):=\frac{x^2+\sqrt{|x|}}{1-\sqrt{1-x}},\]

e abbiamo che f è ben definita se

\[\begin{cases} |x|\ge 0,\\ 1-x\ge 0,\\ 1-\sqrt{1-x}\neq 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow \quad x\in (-\infty,1]\setminus\{0\}.\]

Quindi f risulta ben definita sull’insieme I:=(-\infty,1]\setminus\{0\}, perciò il dominio di F sarà l’insieme dei punti x\in\overline I=(-\infty,1] per cui f risulta integrabile in senso generalizzato tra 0 e x (poiché la funzione f è illimitata in un intorno di 0, possiamo parlare solo di integrale generalizzato).

Iniziamo controllando se f sia integrabile in senso generalizzato su [0,1]. Abbiamo che

\[f(x)\ge 0 \quad\text{per ogni $x\in(0,1]$},\qquad f(x)\sim \frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\quad\text{per $x\to 0^+$},\]

essendo 1-\sqrt{1-x}\sim x per x\to 0^+, in quanto

\[\lim_{x\to 0^+}\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x(1+\sqrt{1-x})}=\frac{1}{2}\in\mathbb R\setminus\{0\}.\]

Dunque per il criterio del confronto asintotico f è integrabile in senso generalizzato su [0,1]. Fissiamo ora c\in(-\infty,0) e controlliamo se f sia integrabile in senso generalizzato su [c,0]. Poiché

\[f(x)\le 0\quad\text{per ogni $x\in[c,0)$},\qquad f(x)\sim \frac{\sqrt{-x}}{x}=-\frac{1}{\sqrt{-x}}\quad\text{per $x\to 0^-$},\]

dal criterio del confronto asintotico (applicato a -f) possiamo dedurre che f è integrabile in senso generalizzato su [c,0]. Dunque

\[\mathrm{dom}(F)=(-\infty,1].\]

Osservazione 1. Si noti che se f è integrabile su [x_0,x], allora [x_0,x]\subseteq\mathrm{dom}(F). Inoltre, ai fini di determinare il dominio di F non è necessario studiare l’integrabilità generalizzata di f in un intorno di \pm \infty.

Esempio 2. Consideriamo la funzione integrale F definita da

\[F(x):=\int_0^x\frac{\ln t}{\sin \sqrt{t}}\,dt\]

e andiamo a determinare \mathrm{dom}(F). Per prima cosa determiniamo il dominio della funzione integranda

\[f(x):=\frac{\ln x}{\sin \sqrt{x}}\]

e abbiamo che f è ben definita se

\[\begin{cases} x>0,\\ x\ge 0,\\ \sin\sqrt{x}\neq 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow \quad x\in (0,+\infty)\setminus\{k^2\pi^2: k\in\mathbb N\}.\]

Quindi f risulta ben definita sull’insieme I:=(0,+\infty)\setminus\{k^2\pi^2: k\in\mathbb N\}, perciò il dominio di F andrà cercato tra i punti x\in\overline I=[0,+\infty) per cui f risulta integrabile in senso generalizzato tra 0 e x. Si noti che f non è definita su un insieme numerabile di punti, ma è comunque possibile considerare la funzione F e studiarne il dominio sull’intervallo [0,+\infty). Infatti, se ci restringiamo all’intervallo limitato [0,M] con M>0, allora la funzione f risulta non definita solo su un numero finito di punti, e dunque possiamo introdurre la funzione F e studiarne il dominio su [0,M]. Poiché ciò può essere fatto per ogni M>0, allora ha senso determinare il dominio di F tra i punti x\in[0,+\infty).

Iniziamo controllando se f è integrabile in senso generalizzato in un intorno destro di 0. Abbiamo che1

\[f(x)\le 0 \quad\text{per ogni $x\in(0,1]$},\qquad f(x)\sim \frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{x^\frac{1}{2}(\ln x)^{-1}}\quad\text{per $x\to 0^+$}.\]

Per il criterio del confronto asintotico otteniamo che f è integrabile in senso generalizzato su [0,1]. In particolare, poiché f è continua su (0,\pi^2), ne segue che f è integrabile in senso generalizzato su [0,c] per ogni c\in(0,\pi^2). Vediamo ora se f è integrabile in un intorno sinistro di \pi^2. Poiché

\[f(x)\ge 0\quad\text{per ogni $x\in[1,\pi^2)$},\qquad f(x)\sim \frac{1}{\pi^2-x}\quad\text{per $x\to (\pi^2)^-$},\]

essendo

\[\lim_{x\to(\pi^2)^-}\frac{\sin\sqrt{x}}{\pi^2-x}=\lim_{y\to \pi^-}\frac{\sin y}{\pi^2-y^2}=\lim_{z\to 0^+}\frac{\sin(\pi-z)}{z(2\pi-z)}=\lim_{z\to 0^+}\frac{\sin z}{z(2\pi-z)}=\frac{1}{2\pi}\in\mathbb R\setminus\{0\},\]

dal criterio del confronto asintotico possiamo dedurre che f non è integrabile in senso generalizzato su [1,\pi^2]. In particolare, f non è integrabile in senso generalizzato su [0,c] per ogni c\ge \pi^2. Dunque

\[\mathrm{dom}(F)=[0,\pi^2).\]

  1. Ricordiamo che \displaystyle \lim_{y\to 0}\frac{\sin y}{y}=1. ↩

Esempio 3. Data la funzione f definita da

\[f(x):= \begin{cases} \dfrac{\arctan x}{\sqrt{x}}&\text{per $x\in(0,+\infty)$},\\ \dfrac{1}{\sqrt{-x-x^2}}&\text{per $x\in(-1,0)$}, \end{cases}\]

consideriamo la funzione integrale

\[F(x)=\int_1^xf(t)\,dt\]

e andiamo a determinare \mathrm{dom}(F). Per prima cosa abbiamo che f è ben definita su I:=(-1,+\infty)\setminus\{0\}, perciò il dominio di F andrà cercato tra i punti x\in\overline I=[-1,+\infty) per cui f risulta integrabile tra 1 e x.

Poiché la funzione f è continua su (0,+\infty), ne consegue che è integrabile secondo Riemann tra 1 e x per ogni x\in(0,+\infty). Inoltre

\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{\sqrt{x}}=0,\]

dunque f è integrabile in senso generalizzato su [0,1] in quanto è prolungabile con continuità a destra in x=0. Perciò [0,+\infty)\subseteq\mathrm{dom}(F).

Vediamo ora se f è integrabile in senso generalizzato su un intorno sinistro di 0. Fissato c\in(-1,0) abbiamo che

\[f(x)\ge 0 \quad\text{per ogni $x\in[c,0)$},\qquad f(x)\sim \frac{1}{\sqrt{-x}}\quad\text{per $x\to 0^-$}.\]

Per il criterio del confronto asintotico otteniamo che f è integrabile in senso generalizzato su [c,0]. In particolare, f è integrabile in senso generalizzato su [c,1]. Rimane da vedere se f è integrabile in senso generalizzato su un intorno destro di -1. Fissato c\in (-1,0) abbiamo

\[f(x)\ge 0\quad\text{per ogni $x\in(-1,c]$},\qquad f(x)\sim \frac{1}{\sqrt{1+x}}\quad\text{per $x\to -1^-$},\]

quindi dal criterio del confronto asintotico possiamo dedurre che f è integrabile in senso generalizzato su [-1,c]. In particolare, f è integrabile in senso generalizzato su [-1,1]. Dunque

\[\mathrm{dom}(F)=[-1,+\infty).\]

In generale, data una funzione f\colon I\setminus N\to \mathbb R non è sempre possibile determinarne una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari, e di conseguenza una espressione per F. Nonostante ciò la funzione F può essere studiata a partire dalle proprietà di f. Abbiamo già visto che F è sempre definita su un intervallo, dove è continua. Inoltre, se f è più regolare, anche la funzione F risulta avere maggiore regolarità.

Teorema 2. Sia I\subseteq\mathbb R un intervallo, sia N un sottoinsieme finito di I e sia f\colon I\setminus N\to\mathbb R una funzione localmente integrabile su I\setminus N. Fissato x_0\in\overline I sia

\[F(x):=\int_{x_0}^xf(t)\,dt\quad\text{per $x\in \mathrm{dom}(F)$}.\]

Sia c\in\mathrm{dom}(F). Se esiste finito il limite

\[\lim_{x\to c^+}f(x)=L\in\mathbb R\]

e la funzione F è definita in un intorno destro di c, allora esiste la derivata destra F'(c^+) di F in c e

\[F'(c^+):=\lim_{h\to 0^+}\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=L.\]

Se esiste finito il limite

\[\lim_{x\to c^-}f(x)=M\in\mathbb R\]

e la funzione F è definita in un intorno sinistro di c, allora esiste la derivata sinistra F'(c^-) di F in c e

\[F'(c^-):=\lim_{h\to 0^-}\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=M.\]

In particolare, se f è continua in c e F è definita in un intorno di c, allora F è derivabile in c e

\[F'(c)=f(c).\]

\[\quad\]

Dimostrazione. Dimostriamo il primo punto (gli altri punti sono analoghi). Se esiste finito il limite

\[\lim_{x\to c^+}f(x)=L\in\mathbb R,\]

allora per ogni \varepsilon>0 possiamo trovare \delta>0 tale che

\[|f(x)-L|<\varepsilon\quad\text{per ogni $x\in (c,c+\delta)$}\]

(poiché f è definita su I tranne un insieme finito di punti, possiamo trovare \delta>0 sufficientemente piccolo per cui f è definita per ogni x\in (c,c+\delta)). Inoltre possiamo scegliere \delta>0 sufficiente piccolo per cui F risulta ben definita in c+h per ogni h\in (0,\delta). Allora

\[\begin{aligned} \left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-L\right| &= \left|\frac{\int_{x_0}^{c+h}f(t)\,dt-\int_{x_0}^cf(t)\,dt}{h}-L\right| \\ &= \left|\frac{\int_c^{c+h}f(t)\,dt}{h}-L\right| \\ &= \left|\frac{\int_c^{c+h}(f(t)-L)\,dt}{h}\right|. \end{aligned}\]

La funzione x\mapsto |f(x)-L| è localmente integrabile su (c,c+h) ed è limitata su tale insieme, dunque è integrabile su [c,c+h]2. In particolare

\[\begin{aligned} \left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-L\right|=\left|\frac{\int_c^{c+h}(f(t)-L)\,dt}{h}\right|\le \frac{\int_c^{c+h}|f(t)-L|\,dt}{h}=\varepsilon\quad\text{per ogni $h\in (0,\delta)$}. \end{aligned}\]

Quindi esiste la derivata destra F'(c^+) di F in c e

\[F'(c^+):=\lim_{h\to 0^+}\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=L.\]

  1. Vedi teorema 1 in “teoria sugli integrali impropri“. ↩

Osservazione 2. Più in generale, se f\in C^m((a,b)), allora F\in C^{m+1}((a,b)) e F^{(m+1)}(x)=f^{(m)}(x) per ogni x\in(a,b).

Si osservi che spesso il segno di F può essere ricavato a partire da quello di f. Per esempio se x\in\mathrm{dom}(F) con x>x_0 e f è continua in (x_0,x) con f\ge 0 in (x_0,x), allora F(x)\ge 0 per il criterio del confronto. Inoltre, se f non è identicamente nulla, allora F(x)>0. Infatti, dalla continuità di f possiamo trovare un intervallo chiuso e limitato [a,b]\subset(x_0,x) e m>0 tale che f(t)\ge m per ogni t\in [a,b]. Quindi, dall’additività dell’integrale

\[\int_{x_0}^xf(t)\,dt=\int_{x_0}^af(t)\,dt+\int_a^bf(t)\,dt+\int_b^xf(t)\,dt\ge \int_a^b f(t)\,dt\ge m(b-a)>0.\]

Infine, se f è definita su un dominio illimitato, allora lo studio dell’integrabilità in un intorno di \pm \infty ci può dare informazioni aggiuntive per determinare il grafico di F. Per esempio, se f \colon [a,+\infty)\to\mathbb R è integrabile in senso generalizzato su [a,+\infty), allora la funzione

\[F(x)=\int_a^xf(t)\,dt\]

è ben definita e continua su [a,+\infty). Inoltre F risulta limitata in [a,+\infty) e y=\int_a^{+\infty}f(t)\,dt è un asintoto orizzontale per F per x\to+\infty.

Esempio 4. Consideriamo la funzione integrale dell’esempio 1 definita da

\[F(x):=\int_0^x\frac{t^2+\sqrt{|t|}}{1-\sqrt{1-t}}\,dt\quad\text{per $x\in(-\infty,1]$}.\]

Abbiamo già visto che F è ben definita su (-\infty,1], dove è continua, e per definizione

\[F(0)=0.\]

Osserviamo ora che la funzione

\[f(x):=\frac{x^2+\sqrt{|x|}}{1-\sqrt{1-x}}\quad\text{per $x\in (-\infty,1]\setminus\{0\}$}\]

è continua e strettamente positiva su (0,1], mentre è continua e strettamente negativa su (-\infty,0). Quindi

\[F(x)=\int_0^xf(t)\,dt>0\quad\text{per ogni $x\in (0,1]$},\qquad F(x)=-\int_x^0f(t)\,dt>0\quad\text{per ogni $x\in (-\infty,0)$}.\]

Dal teorema 2 abbiamo inoltre che F è derivabile in (-\infty,1)\setminus\{0\} e

\[F'(x)=f(x)\quad\text{per ogni $x\in (-\infty,1)\setminus\{0\}$}.\]

Quindi F è decrescente su (-\infty,0) e crescente su (0,1]. Inoltre

\[F'(1^-)=\lim_{x\to 1^-}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to 0^-}F'(x)=-\infty,\qquad\lim_{x\to 0^+}F'(x)=+\infty,\]

da cui deduciamo che F ha una cuspide in x=0 e tangente orizzontale in x=1. Infine, osserviamo che l’integrale di f diverge su (-\infty,0) in quanto \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty3. Dunque

\[\lim_{x\to -\infty}F(x)=-\lim_{x\to -\infty}\int_x^0 f(t)\,dt=+\infty.\]

\[\quad\]

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 1: Grafico qualitativo di F su (-\infty,1].

Funzioni integrali: primo grafico

\[\quad\]

\[\quad\]

  1. Vedi teorema 8 in “teoria sugli integrali impropri”. ↩

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