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Esercizio moti relativi 37

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio sui moti relativi 37 è il trentasettesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il precedente esercizio è Esercizio sui moti relativi 36. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 37

Esercizio 37 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Intorno ad una carrucola può scorrere senza attrito un filo inestensibile e di massa trascurabile, con attaccate alle proprie estremità due masse m_1 e m_2, come rappresentato in figura 1. La carrucola è sospesa ad un supporto tramite un secondo filo, anch’esso inestensibile e di massa trascurabile. Se il supporto si muove verticalmente con accelerazione costante \vec{A} rispetto ad un sistema di riferimento fisso, determinare:

  1. la tensione nel filo che collega la carrucola al supporto;
  2. il modulo di \vec{A} tale che la massa m_1 non acceleri rispetto ad un osservatore fisso.

Esprimere il primo risultato in funzione di m_1, m_2, A e g, dove A è il modulo dell’accelerazione \vec{A} e g il modulo dell’accelerazione di gravità \vec{g}. Esprimere il secondo risultato in funzione di m_1, m_2 e g.

 

 

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Figura 1: rappresentazione schematica del problema.

 

Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


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