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Esercizio urti 37

Urti in Meccanica classica

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L’Esercizio Urti 37 è il trentasettesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 36. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 38. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 37

Esercizio 37 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo un’asta di massa M e lunghezza L che può ruotare senza attrito intorno a un asse verticale passante per il suo centro O grazie a un perno. L’asta e la massa m si trovano su di un piano orizzontale liscio. Si consideri la massa dell’asta distribuita in modo omogeneo su tutta la sua lunghezza. All’estremo dell’asta è fissata una molla di costante elastica k, inizialmente a riposo, e ancorata a un punto fisso, come rappresentato in figura 1. L’asta viene colpita in modo completamente anelastico all’estremo opposto da un proiettile di massa m e velocità iniziale \vec{v}_0, che rimane conficcato in essa. Immediatamente dopo l’urto, il sistema composto dall’asta e dal proiettile ruota con velocità angolare \vec{\omega} e la molla si allunga raggiungendo un’elongazione massima x_M>0. Siano v_0 e \omega rispettivamente i moduli di \vec{v}_0 e \vec{\omega}.

Le grandezze da determinare sono:

  1. la velocità iniziale v_0 del proiettile in funzione di L, m e \omega;
  2. la costante elastica k della molla in funzione di \omega_0, x_M, L, m e M;
  3. il periodo T delle piccole oscillazioni del sistema in funzione di k, m e M.

 

 

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Cenni teorici.

  1. Conservazione del momento angolare: dato un sistema fisico in esame, se la somma dei momenti esterni rispetto a un polo fisso è nulla, il momento angolare totale del sistema si conserva.
  2. Momento angolare di un punto materiale: il momento angolare di un punto materiale di massa m rispetto a un polo O è dato da \vec{L} = m \vec{r} \wedge \vec{v}, dove \vec{r} è il vettore posizione che collega il polo O con il punto materiale, e \vec{v} è la velocità nel riferimento inerziale.
  3. Conservazione dell’energia: se su un punto materiale agiscono esclusivamente forze conservative, la somma dell’energia cinetica K e dell’energia potenziale U resta costante durante il moto. In formule:

    \[ K + U = \text{costante}, \]

    dove K = \frac{1}{2} m v^2 rappresenta l’energia cinetica e U è l’energia potenziale.

  4. Momento angolare di un corpo rigido: quando un corpo rigido ruota intorno a un asse fisso e il momento angolare totale \vec{L} è parallelo alla velocità angolare \vec{\omega}, allora:

    \[ \vec{L} = I \vec{\omega}, \]

    con I momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all’asse di rotazione.

  5. Seconda legge cardinale per corpi rigidi: la somma dei momenti delle forze esterne \sum {\vec{M}_k}^{\text{\tiny ext}} rispetto ad un polo O', meno il prodotto vettoriale della velocità del polo O' e la velocità del centro di massa, è pari alla derivata temporale del momento angolare rispetto a O':

    \[ \sum {\vec{M}_k}^{\text{\tiny ext}} - m \vec{v}_{O'} \wedge \vec{v}_{CM} = \frac{d\vec{L}_{O'}}{dt}. \]

    Se il polo è fisso o corrisponde al centro di massa, il prodotto vettoriale diventa nullo e la legge si semplifica in:

    \[ \sum {\vec{M}_k}^{\text{\tiny ext}} = \frac{d\vec{L}_{O'}}{dt}. \]

    Se inoltre \vec{L} e \vec{\omega} sono paralleli, si può riscrivere la legge come:

    \[ \sum {\vec{M}_k}^{\text{\tiny ext}} = I \vec{\alpha}, \]

    dove \vec{\alpha} rappresenta l’accelerazione angolare.

  6. Il momento d’inerzia I di un punto materiale di massa m che ruota attorno a un asse a una distanza r è dato dalla formula:

    \[ I = mr^2, \]

    dove

    • I è il momento d’inerzia,
    • m è la massa del punto materiale,
    • r è la distanza dal punto materiale all’asse di rotazione.
  7. Il momento d’inerzia I di un’asta omogenea di lunghezza L e massa m, rispetto a un asse perpendicolare all’asta e passante per il suo centro, è dato dalla formula:

    \[ I = \frac{1}{12} m L^2, \]

    dove

    • I è il momento d’inerzia,
    • m è la massa dell’asta,
    • L è la lunghezza dell’asta.

    Se l’asse di rotazione passa per un’estremità dell’asta, il momento d’inerzia diventa:

    \[ I = \frac{1}{3} m L^2. \]

  8. L’energia cinetica rotazionale di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso è una forma di energia associata alla sua rotazione. Per un corpo rigido con momento d’inerzia I rispetto all’asse di rotazione che ruota con una velocità angolare \omega attorno a un asse fisso, l’energia cinetica rotazionale E_{\text{rot}} è data dalla formula:

    \[ E_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2. \]

  9. Introduzione al Moto Armonico. Un corpo rigido si muove di moto armonico semplice (MAS) quando la sua oscillazione può essere descritta da una funzione sinusoidale nel tempo. Le condizioni necessarie per il MAS sono:
    • Una posizione di equilibrio stabile;
    • Una forza restauratrice proporzionale e opposta allo spostamento dalla posizione di equilibrio;
    • Una massa che influisce sull’inerzia del sistema.

    Per un pendolo, il MAS si verifica quando la forza restauratrice è la componente tangenziale della forza di gravità nell’approssimazione di piccole oscillazioni.

  10. Pendolo composto. Un pendolo composto è un corpo rigido che oscilla attorno a un asse orizzontale non passante per il centro di massa. Il momento di inerzia I del pendolo rispetto all’asse di oscillazione e la distanza d tra il punto di sospensione e il centro di massa sono cruciali per il suo comportamento oscillatorio.
    • Piccole oscillazioni. Per piccole oscillazioni, assumiamo che l’angolo \theta sia così piccolo da permettere l’approssimazione \sin(\theta) \approx \theta. Questa approssimazione linearizza il sistema e lo rende analiticamente trattabile. Le equazioni del moto diventano quindi:

      \[ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{mgd}{I} \theta = 0, \]

      dove m è la massa del pendolo e g è l’accelerazione di gravità.

    • Equazione del Periodo. Sotto l’approssimazione di piccole oscillazioni, il periodo T di un pendolo composto è dato da:

      \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}, \]

      Questa formula mostra che il periodo è indipendente dall’ampiezza dell’oscillazione, una caratteristica del MAS.

    • Collegamento con il Pendolo Semplice. Il pendolo semplice è un caso particolare di pendolo composto con tutto il suo peso concentrato in un punto. Se L è la lunghezza del pendolo semplice, il suo momento di inerzia è I = mL^2, e il periodo diventa:

      \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \]

      che è identico al periodo di un pendolo composto quando d = L e I = mL^2. In sintesi, il moto armonico in un pendolo composto è un esempio di un sistema oscillante più generale. L’approssimazione di piccole oscillazioni ci permette di studiare il sistema usando semplici relazioni armoniche e collegare la complessità di un pendolo composto alle espressioni più semplici di un pendolo semplice.

 

 


Svolgimento punto 1.

Definiamo il sistema fisico composto dalla massa m e dall’asta. Adottiamo un sistema di coordinate Oz, in cui l’asse z coincide con l’asse di rotazione. La forza di vincolo è l’unica forza esterna che agisce sul sistema. Considerando il centro di massa dell’asta come polo, che coincide con il punto di applicazione del vincolo, la forza esterna non produce alcun momento. Questo perché agisce direttamente sul centro di massa. Pertanto, il momento angolare rispetto al centro di massa rimane costante, dato che il polo scelto è fisso.

Prima dell’urto, il momento angolare è attribuito unicamente alla massa m, dato che l’asta è in quiete. Il momento angolare iniziale L_i è dato da:

\begin{equation*} L_i = m v_0 \frac{L}{2}. \end{equation*}

Dato che l’urto è completamente anelastico, dopo l’urto, l’asta e il punto materiale m si uniscono in un unico corpo rigido che ruota attorno a un asse passante per il centro di massa dell’asta. Calcoliamo il momento angolare dopo l’urto:

\begin{equation*} L_f = I^\star \omega, \end{equation*}

dove I^\star è il momento d’inerzia del sistema unitario rispetto al centro di massa e \omega è la velocità angolare post-urto.

Il momento d’inerzia totale I^\star, somma dei momenti d’inerzia di m e M rispetto al vincolo, è calcolato come segue:

\begin{equation*} I^\star = m \frac{L^2}{4} + \frac{1}{12} ML^2. \end{equation*}

Applicando la legge di conservazione del momento angolare, sfruttando i precedenti fatti, abbiamo:

\begin{equation*} \begin{aligned} &L_i=L_f \quad \Leftrightarrow \\[10pt] &\Leftrightarrow \quad mv_0\dfrac{L}{2}=\left(\dfrac{L^2}{4}m+\dfrac{1}{12}ML^2\right)\omega \quad \Leftrightarrow \quad\\[10pt] & \Leftrightarrow \quad v_0=\dfrac{\left(\dfrac{L}{4}m+\dfrac{1}{12}ML\right)\omega}{\dfrac{m}{2}}, \end{aligned} \end{equation*}

da cui

\begin{equation*} v_0 =\dfrac{\omega}{m}\left(\dfrac{L}{2}m+\dfrac{1}{6}ML\right)= \dfrac{2L}{m} \left(\dfrac{m}{4}+\dfrac{M}{12}\right)\omega. \end{equation*}

Si conclude che

\[\boxcolorato{fisica}{v_0 = \dfrac{2L}{m} \left(\dfrac{m}{4}+\dfrac{M}{12}\right)\omega.}\]

 


Svolgimento punto 2.

Dopo l’urto, il sistema composto dalla massa m e dall’asta funziona come un unico corpo rigido che ruota attorno a un polo situato nel centro di massa dell’asta. Senza vincoli, il sistema avrebbe ruotato attorno al proprio centro di massa e avrebbe avuto anche una componente traslazionale. Subito dopo l’urto, l’energia cinetica del sistema è esclusivamente rotazionale, calcolata come:

\begin{equation*} E = \frac{1}{2} I^\star \omega^2, \end{equation*}

dove I^\star = m \frac{L^2}{4} + \frac{1}{12} ML^2 rappresenta il momento d’inerzia del sistema e \omega è la velocità angolare immediatamente successiva all’urto.

Poiché la molla è inizialmente a riposo, il contributo energetico in questo istante è solamente quello rotazionale. Dopo l’urto, la molla si estende fino a un allungamento massimo di x_M, momento in cui il sistema si arresta temporaneamente. L’energia in questo punto è puramente potenziale:

\begin{equation*} E = \frac{1}{2} k x_M^2. \end{equation*}

Nell’ultima equazione non sono presenti contributi dall’energia cinetica rotazionale al massimo allungamento, in quanto il sistema è fermo. Non sono presenti attriti, quindi possiamo applicare la conservazione dell’energia meccanica tra l’istante immediatamente successivo all’urto e il punto di massimo allungamento:

\begin{equation*} \frac{1}{2} I^\star \omega_0^2 = \frac{1}{2} k x_M^2 , \end{equation*}

da cui

\[\boxcolorato{fisica}{ k = \left(\dfrac{\omega_0}{x_M}\right)^2 \left(\dfrac{mL^2}{4}+\dfrac{ML^2}{12}\right).}\]

 


Svolgimento punto 3.

Immaginiamo che, dopo l’urto, l’allungamento della molla sia così piccolo da causare solo piccole oscillazioni del sistema attorno alla posizione di equilibrio della molla. Quindi, basandoci sull’ipotesi del problema, deduciamo che il sistema segue un moto armonico. Facendo riferimento alla figura 2, che illustra il sistema in movimento armonico rispetto al punto O, introduciamo due nuove variabili: x, che indica quanto la molla è estesa o compressa rispetto alla posizione di riposo, e \theta, che rappresenta l’angolo formato dall’asta rispetto alla verticale.    

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    Nella configurazione successiva all’urto, le forze esterne che agiscono sul sistema sono principalmente la forza elastica della molla e la forza di vincolo, entrambe complanari e situate nel piano orizzontale in cui il sistema è confinato. Inoltre, sono presenti la forza peso e la reazione vincolare del piano orizzontale, che agiscono lungo l’asse delle z. Tuttavia, queste ultime vengono trascurate nell’analisi della rotazione nel piano orizzontale, a causa dell’assenza di attriti e della restrizione del moto a questo piano.

Applicando la seconda legge del moto per i corpi rigidi, otteniamo:

\begin{equation*} -kx\frac{L}{2}\cos \theta = I^\star \ddot{\theta}, \end{equation*}

dove il polo O è stato scelto per il calcolo dei momenti esterni. È rilevante notare che solo la forza della molla contribuisce al momento esterno totale del sistema, dato che la forza di vincolo essendo applicata proprio in O, non produce momento rispetto a O.

Dopo l’urto, il polo O non coincide più con il centro di massa del sistema, ora costituito dall’asta e dal punto materiale m. Da figura 2, deduciamo che:

\begin{equation*} x = \frac{L}{2} \sin \theta, \end{equation*}

e quindi la precedente equazione diventa

\begin{equation*} -k\frac{L^2}{4} \sin \theta \cos \theta = I^\star \ddot{\theta}. \end{equation*}

Utilizzando l’identità trigonometrica \sin(2 \theta) = 2 \sin \theta \cos \theta, l’equazione si riformula in:

\begin{equation*} -k\frac{L^2}{8} \sin (2 \theta) = I^\star \ddot{\theta}. \end{equation*}

Nel contesto delle piccole oscillazioni, possiamo approssimare \sin(2 \theta) \approx 2 \theta, ottenendo:

\begin{equation*} -k\frac{L^2}{4} \theta = I^\star \ddot{\theta} \quad \Leftrightarrow \quad -k\frac{L^2}{4I^\star} \theta = \ddot{\theta}, \end{equation*}

che è l’equazione di un oscillatore armonico.

Definendo \tilde{\omega} come la pulsazione del moto armonico, dalla precedente equazione, troviamo:

\begin{equation*} \tilde{\omega}^2 = k\frac{L^2}{4I^\star}. \end{equation*}

Il periodo T del moto armonico, legato alla pulsazione dalla relazione \tilde{\omega} = 2\pi / T, ci permette di dedurre che:

\begin{equation*} \begin{aligned} \tilde {\omega}^2=k\dfrac{L^2}{4I^\star} & \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{4\pi^2}{T^2}=k\dfrac{L^2}{4\left(m\dfrac{L^2}{4}+\dfrac{1}{12}ML^2\right)}\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{T^2}{4\pi^2}=\dfrac{4\left(m\dfrac{L^2}{4}+\dfrac{1}{12}ML^2\right)}{kL^2} \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ &\quad \Leftrightarrow \quad T=2\pi\sqrt{\dfrac{3m+M}{3k}}. \end{aligned} \end{equation*}

Si conclude che il periodo delle piccole oscillazioni è

\[\boxcolorato{fisica}{ \begin{aligned} T=2\pi\sqrt{\dfrac{3m+M}{3k}}. \end{aligned}}\]

 

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