Esercizio urti 38

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 38  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo un punto materiale di massa m che cade su un piano inclinato, inclinato di un angolo \alpha rispetto all’orizzontale. Se l’urto contro il piano, situato ad un’altezza h dal punto di impatto, è elastico, si vuole calcolare l’altezza massima che la massa m raggiunge rispetto al livello del punto di impatto, assumendo che il piano inclinato sia immobile.

 

 

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Svolgimento.

Consideriamo \vec{v}_i come la velocità del punto materiale di massa m immediatamente prima dell’impatto con il piano inclinato. Durante l’ascesa, il corpo di massa m subisce esclusivamente l’azione della forza peso; di conseguenza, l’energia meccanica si conserva. Per determinare la velocità \vec{v}_i prima dell’urto, applichiamo il principio di conservazione dell’energia meccanica dal momento iniziale fino a un istante immediatamente precedente l’impatto con il piano:

(1)   \begin{equation*} 		mgh = \frac{1}{2}mv^2_i \quad \Leftrightarrow \quad v_i = \sqrt{2gh}. 	\end{equation*}

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy e descriviamo la posizione del punto materiale m in un istante generico t prima dell’impatto con il piano inclinato, come mostrato in Figura 1.  

 

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  Consideriamo come sistema fisico unicamente la massa m. Durante l’urto, si genera lungo l’asse y una reazione vincolare impulsiva \vec{N}, pertanto non si conserva la quantità di moto in questa direzione. Lungo l’asse x, invece, non agiscono forze esterne di natura impulsiva, quindi la quantità di moto di m si conserva in tale direzione. In Figura 2 è rappresentata la situazione un istante prima dell’urto, dove \vec{v}_{i,x} e \vec{v}_{i,y} indicano rispettivamente le componenti di \vec{v}_i lungo gli assi x e y.  

 

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  Definiamo \hat{x} e \hat{y} come i versori degli assi x e y, rispettivamente. La velocità del corpo immediatamente prima dell’urto, nel sistema di riferimento Oxy, si esprime come:

(2)   \begin{equation*} 	\vec{v}_{i} = v_{i,x}\, \hat{x} + v_{i,y}\,  \hat{y} = v_i \sin(\alpha)\,  \hat{x} - v_i \cos(\alpha) \, \hat{y}. \end{equation*}

Denotiamo con \vec{v}_f la velocità di m un istante dopo l’urto. In Figura 3, mostreremo la posizione della massa immediatamente dopo l’urto, dove \vec{v}_{f,x} e \vec{v}_{f,y} indicano le componenti di \vec{v}_f lungo gli assi x e y. Inoltre, nella Figura 2, è illustrato \alpha', l’angolo che la velocità \vec{v}_f dopo l’urto forma con la normale al piano.  

 

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  La velocità del corpo immediatamente dopo l’urto, nel sistema di riferimento Oxy, è data da:

(3)   \begin{equation*} 	\vec{v}_{f} = v_{f,x} \,\hat{x} + v_{f,y}\, \hat{y} = v_i \sin(\alpha')\, \hat{x} + v_i \cos(\alpha') \,\hat{y}. \end{equation*}

Per imporre la conservazione della quantità di moto, utilizziamo le equazioni sopra riportate:

(4)   \begin{equation*} 	mv_{i,x} = mv_{f,x} \quad \Leftrightarrow \quad v_i \sin(\alpha) = v_f \sin(\alpha'). \end{equation*}

Dato che l’urto è elastico, si conserva anche l’energia meccanica per la massa m, quindi:

(5)   \begin{equation*} 	\frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} m v_f^2 \quad \Leftrightarrow \quad v_i = v_f. \end{equation*}

Dal risultato dell’equazione (4) e dalla precedente equazione, deduciamo che \alpha = \alpha'.

Dopo l’urto, la massa m segue un moto parabolico. Di seguito, in Figura 4, ne illustreremo l’andamento.  

 

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  Adottiamo un nuovo sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy, illustrato in Figura 5. Definiamo \gamma come l’angolo formato dalla velocità finale con l’asse delle x. Inoltre, nella Figura 5 è rappresentato il versore normale \hat{n} al piano inclinato.  

 

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  Dalla Figura 5 si osserva che la velocità finale \vec{v}_f forma un angolo \alpha con il versore normale \hat{n}, e il versore \hat{n} un angolo equivalente rispetto all’asse delle y, come si può dedurre attraverso considerazioni geometriche semplici. Pertanto, la geometria del problema stabilisce che:

(6)   \begin{equation*} 	\gamma = \frac{\pi}{2} - 2\alpha \quad \Rightarrow \quad \gamma = \frac{\pi}{2} - 2\alpha. \end{equation*}

Questa equazione correla l’angolo \gamma con l’angolo \alpha, che è noto. Applicando la formula per l’altezza massima in un moto parabolico (\href{https://quisirisolve.com/fisica/meccanica-classica/cinematica-del-punto-materiale-nella-meccanica-classica/moto-parabolico/moto-parabolico-o-moto-del-proiettile-file-di-teoria/}{clicca qui per vedere la formula dell’altezza massima e la dimostrazione})), otteniamo:

(7)   \begin{equation*} 	\begin{aligned} 		h_{\max} &= \frac{v_{f,y}^2}{2g} \\ 		&= \frac{v_f^2 \sin^2(\gamma)}{2g} \\ 		&= \frac{v_i^2 \sin^2(\gamma)}{2g} \\ 		&= \frac{(v_i \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha))^2}{2g} \\ 		&= \frac{v_i^2 \cos^2(2\alpha)}{2g} \\ 		&= \frac{2gh \cos^2(2\alpha)}{2g} \\ 		&= h \cos^2(2\alpha). 	\end{aligned} \end{equation*}

Si osservi che:

  1. nel secondo passaggio abbiamo sostituito v_{f,y} = v_f \sin(\gamma), la componente verticale della velocità dopo l’urto;
  2. nel terzo passaggio abbiamo usato v_f = v_i, come determinato dall’equazione (5);
  3. nel quarto passaggio abbiamo inserito \gamma = \frac{\pi}{2} - 2\alpha, come da (6);
  4. nel quinto passaggio abbiamo convertito \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) in \cos(2\alpha) usando le note formule degli archi associati;
  5. nel sesto passaggio abbiamo sostituito v_i = \sqrt{2gh}, come stabilito dall’equazione (1).

Concludiamo dunque che l’altezza massima cercata è

    \[\boxcolorato{fisica}{h_{\max}=h\cos^2\left( 2\alpha\right).}\]