Esercizio urti 39

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Esercizio 39 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Osserviamo dal sistema di riferimento fisso Oxyz rappresentato in figura 1 un’asta rigida di massa trascurabile e lunghezza $\ell$ . Questa è sospesa da un’estremità attraverso una cerniera minuta $C$ , solidamente fissata a un punto su una guida orizzontale che coincide con l’asse $x$ . L’asta, capace di ruotare liberamente e senza attrito attorno a $C$ , porta due masse puntiformi $m_1$ e $m_2$ , collocate rispettivamente nel centro e nell’estremità libera. Inizialmente, l’asta è ferma in posizione verticale.

Consideriamo poi un corpo di massa $m_3$ , trattato come un punto materiale, che si muove nel piano verticale $xy$ e impatta la massa $m_2$ , rimanendovi successivamente unito. La velocità $\vec{v}_0$ del corpo $m_3$ poco prima della collisione presenta componenti $v_{0x}$ e $v_{0y}$ lungo gli assi $x$ e $y$ , rispettivamente. Sono richieste le determinazioni di:

la velocità angolare $\omega_0$ dell’asta subito dopo la collisione in funzione di $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ , $v_{0,x}$ e $\ell$ ;
l’ampiezza massima dell’angolo $\theta_{\text{max}}$ che l’asta raggiunge a seguito dell’urto in funzione $v_{0,x}$ , $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ , $g$ , $\ell$ e $v_{0,x}$ ;
l’impulso $\vec{J}$ esercitato dalla reazione della cerniera durante la collisione sull’asta in funzione di $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ , $\omega_0$ , $\ell$ , $v_{0,x}$ e $v_{0,y}$ .

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Prerequisiti.

Rivediamo le principali leggi della dinamica per i corpi rigidi o per un sistema di punti materiali discreto, comunemente note come prima e seconda legge cardinale. Sono formulate come segue:

$\begin{cases} \sum_{k=1}^n \vec{F}_k^{\text{\tiny ext}} = \frac{d\vec{P}_t}{dt} \\ \sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{\tiny ext}} - m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \frac{d\vec{L}_O}{dt} \end{cases}$

dove
- $\sum_{k=1}^n \vec{F}_k^{\text{\tiny ext}}$ è la somma vettoriale di tutte le forze esterne applicate al sistema fisico in esame.
- $\vec{P}_t$ rappresenta la quantità di moto totale del fisico in esame.
- $\sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{\tiny ext}}$ indica la somma vettoriale dei momenti di tutte le forze esterne rispetto a un polo arbitrario.
- $\vec{v}_O$ è la velocità di tale polo, il quale è un punto generico di riferimento per il calcolo del momento angolare e non deve necessariamente coincidere con l’origine del sistema di coordinate.
- $\vec{v}_{CM}$ designa la velocità del centro di massa del sistema.
- $\vec{L}_O$ è il momento angolare del sistema rispetto al polo $O$ .
- Un urto anelastico è un tipo di collisione tra due o più corpi in cui parte dell’energia cinetica del sistema non si conserva come energia cinetica dopo l’urto. A differenza degli urti elastici, dove l’energia cinetica totale del sistema rimane invariata prima e dopo la collisione, negli urti anelastici una parte di questa energia viene trasformata in altre forme di energia, come energia interna, calore, o contribuisce a deformazioni permanenti dei corpi coinvolti.
  - Non conservazione dell’energia cinetica: La somma delle energie cinetiche dei corpi prima dell’urto è maggiore rispetto a quella dopo l’urto. La differenza di energia si trasforma in altre forme, come espresso dalla formula:
    $\sum_{i} \frac{1}{2} m_i v_{i,\text{prima}}^2 > \sum_{i} \frac{1}{2} m_i v_{i,\text{dopo}}^2$
  - Conservazione della quantità di moto: La quantità di moto totale del sistema si conserva durante l’urto se non ci sono vincoli. Questo principio è valido per tutti i tipi di collisioni e si esprime come:
    $\sum_{i} m_i v_{i,\text{prima}} = \sum_{i} m_i v_{i,\text{dopo}}$
    
    La precedente equazione esprime la conservazione della quantità di moto del sistema, sia prima che dopo l’urto.
  - Possibili deformazioni permanenti: I corpi coinvolti nell’urto possono subire deformazioni permanenti a causa dell’energia assorbita durante la collisione.
- Un urto completamente anelastico è un caso specifico di urto anelastico in cui i corpi coinvolti nella collisione si uniscono, formando un unico corpo che si muove con una velocità comune dopo l’urto. Se non agiscono vincoli, cioè forze esterne di natura impulsiva nell’urto, si conserva la quantità di moto. Un classico esempio di urto completamente anelastico si verifica quando un proiettile viene sparato in un blocco di legno sospeso e rimane incastrato al suo interno. Dopo l’urto, il proiettile e il blocco si muovono insieme come un unico corpo. La quantità di moto totale è conservata, mentre parte dell’energia cinetica iniziale viene dissipata in forme non recuperabili, come calore o energia interna del sistema combinato. Se nell’urto in questione è presente un vincolo non si conserva la quantità di moto del sistema fisico in esame.
Queste leggi descrivono come le forze esterne e i loro momenti influenzano il moto traslazionale e rotazionale di un corpo rigido.
Ricordiamo che il momento angolare $\vec{L}_{0}'$ di un punto materiale rispetto a un polo $O^\prime$ è dato dalla formula:

$\vec{L}_{0'} = \vec{r}^{\,'} \wedge \vec{p}$

dove $\vec{r}^{\,'}$ rappresenta la posizione del punto materiale rispetto al polo scelto, e $\vec{p}$ è la quantità di moto del punto materiale. La quantità di moto è misurata rispetto ad un sistema di riferimento fisso $Oxyz$ , come rappresentato in figura 3.
Per la seconda legge della dinamica abbiamo:

$\vec{F}=\dfrac{d\vec{p}}{dt},$

da cui

$\vec{F}dt=d\vec{p},$

conseguentemente

$\int_{0}^{t}\vec{F}dt^\prime=\int_{p_i}^{p_f}d\vec{p},$

cioè

$\int_{0}^{t}\vec{F}dt^\prime=\vec{p}_f-\vec{p}_i,$

dove $\vec{F}$ è la forza impulsiva che si manifesta nell’urto tra $m_3$ e $m_2$ , $\vec{p}_f$ è la quantità di moto del sistema dopo l’urto e $\vec{p}_i$ è la quantità di moto del sistema prima dell’urto. Per definizione sappiamo che l’impulso è definito come:

$\vec{J}\coloneqq\int_{0}^{t}\vec{F}\,dt^\prime=\vec{p}_f-\vec{p}_i.$

Questo enunciato è noto come teorema dell’impulso e della quantità di moto e connette l’impulso con la variazione della quantità di moto di un corpo.
Per un sistema di punti materiali, la seconda legge della dinamica afferma che la somma delle forze esterne è pari alla derivata temporale della quantità di moto totale del sistema:

$\sum \vec{F}_{\text{est}} = \dfrac{d\vec{p}}{dt} ,$

o anche

$\sum \vec{F}_{\text{est}} dt = d\vec{p} ,$

ovvero

$\int_{0}^{t} \sum \vec{F}_{\text{est}} dt' = \int_{\vec{p}_i}^{\vec{p}_f} d\vec{P} ,$

in altri termini

$\int_{0}^{t} \sum \vec{F}_{\text{est}} dt' = \vec{p}_f - \vec{p}_i,$

dove $\sum \vec{F}_{\text{est}}$ rappresenta la somma vettoriale delle forze esterne agente sul sistema di punti materiali, $\vec{P}_f$ è la quantità di moto totale del sistema dopo l’interazione e $\vec{P}_i$ è la quantità di moto totale del sistema prima dell’interazione. Per definizione, l’impulso totale del sistema è dato da:

$\vec{J} \coloneqq \int_{0}^{t} \sum \vec{F}_{\text{est}} \, dt' = \vec{p}_f - \vec{p}_i.$

Questo principio è noto come teorema dell’impulso e della quantità di moto e stabilisce una relazione diretta tra l’impulso applicato a un sistema di punti materiali e la variazione della sua quantità di moto totale.

Svolgimento punto 1.

Di seguito, in figura 2, rappresentiamo la situazione un istante dopo l’urto.

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Durante l’urto completamente anelastico, le masse $m_1$ , $m_2$ , e $m_3$ si uniscono formando un corpo unico con massa totale $M = m_1 + m_2 + m_3$ . Immediatamente dopo l’urto, il sistema acquisisce una velocità angolare comune $\vec{\omega}_0$ . Successivamente, le masse $m_1$ e $m_2 + m_3$ si muovono in traiettorie circolari intorno al polo $C$ , con le velocità $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_{2,3}$ rispettivamente, un istante dopo l’urto. La distanza di $m_1$ rispetto al polo $C$ è $\ell/2$ , mentre la distanza di $m_2+m_3$ dal polo $C$ è $\ell$ , pertanto definendo $v_1$ e $v_{2,3}$ rispettivamente come i moduli di $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_{2,3}$ , si ha $v_1=(\ell/2)\omega_0$ e $v_{2,3}=\omega_0\ell$ .

Considerando l’insieme delle tre masse come unico sistema fisico, si osserva che durante l’urto l’unica forza esterna impulsiva è applicata al polo $C$ . Di conseguenza, scegliendo $C$ come punto di riferimento per il calcolo dei momenti delle forze esterne, l’applicazione della seconda legge cardinale dell’equazione (??) risulta semplificata nel modo seguente:

(1) $\begin{equation*} \dfrac{d\vec{L}_C}{dt} = \vec{0}, \end{equation*}$

evidenziando la conservazione del momento angolare attorno al polo $C$ .

Durante l’urto, le forze peso agenti sulle masse, ovvero $m_1\vec{g}$ , $m_2\vec{g}$ , e $m_3\vec{g}$ , hanno momento nullo rispetto al polo $C$ dato che, per l’intervallo di tempo brevissimo dell’urto, si considerano parallele all’asta. Anche nel caso in cui non fossero parallele, il loro contributo al momento angolare sarebbe comunque trascurabile in quanto non sono forze di natura impulsiva.

Mantenendo la condizione di conservazione del momento angolare attorno a $C$ , deriviamo che:

(2) $\begin{equation*} \vec{L}_{Ci} = \vec{L}_{Cf}, \end{equation*}$

dove $\vec{L}_{C_i}$ rappresenta il momento angolare del sistema immediatamente prima dell’urto, mentre $\vec{L}_{C_f}$ si riferisce al momento angolare immediatamente dopo l’urto.

Considerando che inizialmente solo la massa $m_3$ è in movimento mentre $m_1$ e $m_2$ sono ferme, il momento angolare iniziale $\vec{L}_{C_i}$ è imputabile esclusivamente a $m_3$ . Definendo i versori degli assi come $\hat{x}$ , $\hat{y}$ , e $\hat{z}$ , possiamo calcolare $\vec{L}_{C_i}$ per la massa $m_3$ utilizzando la relazione standard per il momento angolare:

(3) $\begin{equation*} \begin{aligned} \vec{L}_{C,i} &= m_3 \left( -\ell\,\hat{y} \wedge \left( v_{0,x}\,\hat{x} + v_{0,y}\,\hat{y} \right) \right) = \\ &= (m_3 \ell v_{0,x}) (-\hat{y}) \wedge \hat{x} + (m_3 \ell v_{0,y}) (-\hat{y}) \wedge \hat{y} = \\ &= m_3 \ell v_{0,x}\, \hat{z}. \end{aligned} \end{equation*}$

Immediatamente dopo l’urto, il momento angolare è:

(4) $\begin{equation*} \begin{aligned} \vec{L}_{C,f} & =-\dfrac{\ell}{2}\,\hat{y}\wedge (m_1v_{1})\,\hat{x}-\ell\hat{y}\wedge (m_2+m_3)v_{2,3}\,\hat{x}=\\[10pt] & = \dfrac{\ell}{2}m_1v_1\,\hat{z}+\ell(m_2+m_3)v_{2,3}\,\hat{z}=\\[10pt] & = \dfrac{\ell}{2}m_1\left( \dfrac{\ell}{2}\omega_0\right)\,\hat{z}+\ell \left(m_2+m_3 \right)\omega_0 \ell \,\hat{z}=\\[10pt] & = \left(\dfrac{\ell^2}{4}m_1 +\ell^2(m_2+m_3)\right)\omega_0\,\hat{z}. \end{aligned} \end{equation*}$

Applicando le equazioni precedentemente stabilite, l’equazione (2) si riformula come segue:

(5) $\begin{equation*} m_3 \ell v_{0,x}\, \hat{z}= \left(\dfrac{\ell^2}{4}m_1 +\ell^2(m_2+m_3)\right)\omega_0\,\hat{z}, \end{equation*}$

da cui

(6) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\vec{\omega}_0=\dfrac{\ell v_{0,x}m_3}{\dfrac{\ell^2}{4}m_1+\ell^2(m_2+m_3)}\hat{z}=\\[10pt] &=\dfrac{v_{0,x}m_3}{\ell\left(\dfrac{1}{4}m_1+(m_2+m_3)\right)}\hat{z}=\\[10pt] &=\dfrac{4m_3v_{0,x}\, \hat{z} }{\ell\left(m_1+4(m_2+m_3) \right)}, \end{aligned} \end{equation*}$

infine

$\boxcolorato{fisica}{ \vec{\omega}_0=\dfrac{4m_3v_{0,x} \, \hat{y}}{\ell\left(m_1+4(m_2+m_3) \right).}}$

Svolgimento punto 2.

Dopo l’urto, l’asta inizia a ruotare attorno al polo $C$ , descrivendo un moto circolare. Il moto si arresta in corrispondenza dell’istante $t^*$ , quando l’angolo $\theta$ attinge il suo massimo, $\theta_{\max}$ , come si può osservare nella Figura 4.

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Poiché il sistema non è soggetto all’azione di forze non conservative, l’energia totale si mantiene costante dopo l’urto. Denotiamo con $K$ e $U$ rispettivamente l’energia cinetica e l’energia potenziale del sistema fisico in esame. L’energia cinetica del sistema, calcolata immediatamente prima dell’urto, è la seguente:

(7) $\begin{equation*} \begin{aligned} K_i & =\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}(m_2+m_3)v_{2,3}^2=\\[10pt] & = \dfrac{1}{2}m_1\left(\dfrac{\ell}{2}\omega_0\right)^2+\dfrac{1}{2}(m_2+m_3)(\ell\omega_0)^2=\\[10pt] &=\dfrac{1}{2}\ell^2\omega^2_0\left(\dfrac{m_1}{4}+m_2+m_3 \right). \end{aligned} \end{equation*}$

Assumendo che il livello di energia potenziale sia zero all’asse delle $x$ , l’energia potenziale gravitazionale immediatamente successiva all’urto viene calcolata nel modo seguente:

(8) $\begin{equation*} U_i=-m_1g\dfrac{\ell}{2}-(m_2+m_3)g\ell. \end{equation*}$

L’energia cinetica finale $E_f$ dell’aggregato costituito dalle masse $m_1$ e $m_2 + m_3$ si riduce a zero quando l’asta arriva all’angolo $\theta_{\max}$ , n quanto, nell’istante di arresto, risulta $K_f=0$ . Pertanto, in quel frangente, l’energia totale finale $E_f$ del sistema è data dalla solo contributo dell’energia potenziale:

(9) $\begin{equation*} E_f=K_f+U_f=-\dfrac{\ell}{2}m_1g\cos \theta_{\max}-(m_2+m_3)g\ell\cos \theta_{\max}. \end{equation*}$

Sfruttando le equazioni (7), (8) e (9), per la conservazione dell’energia abbiamo:

(10) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\ell^2\omega^2_0\left(\dfrac{m_1}{4}+m_2+m_3 \right)-m_1g\dfrac{\ell}{2}-(m_2+m_3)g\ell=\\[10pt] &=-\dfrac{\ell}{2}m_1g\cos \theta_{\max}-(m_2+m_3)g\ell\cos \theta_{\max}, \end{aligned} \end{equation*}$

conseguentemente

(11) $\begin{equation*} \begin{aligned} \cos \theta_{max}&=\dfrac{\dfrac{1}{2}\ell^2\omega^2_0\left(\dfrac{m_1}{4}+m_2+m_3 \right)-m_1g\dfrac{\ell}{2}-(m_2+m_3)g\ell}{-\dfrac{\ell}{2}m_1g-\-g\ell(m_2+m_3)}=\\[10pt] &=\dfrac{\dfrac{1}{2}\ell^2\omega^2_0\left(\dfrac{m_1}{4}+m_2+m_3 \right)-\dfrac{\ell}{2}m_1g-g\ell(m_2+m_3)}{-\dfrac{\ell}{2}m_1g-g\ell(m_2+m_3)}=\\[10pt] &=\dfrac{\dfrac{1}{2}\ell^2\omega^2_0\left(\dfrac{m_1}{4}+m_2+m_3 \right)}{-\dfrac{\ell}{2}m_1g-g\ell(m_2+m_3)}+1=\\[10pt] &=1-\dfrac{\dfrac{1}{2}\ell\omega^2_0\left(\dfrac{m_1}{4}+m_2+m_3 \right)}{g\left( \dfrac{1}{2}m_1+(m_2+m_3)\right)}=\\[10pt] &=1-\left( \dfrac{\dfrac{1}{2}\ell\left(\dfrac{m_1}{4}+m_2+m_3 \right)}{g\left( \dfrac{1}{2}m_1+(m_2+m_3)\right)}\right) \cdot \left( \dfrac{v_{0,x}m_3}{\ell\left(\dfrac{m_1}{4}+(m_2+m_3)\right)}\right)^2=\\[10pt] &=1-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{v^2_{0,x}m^2_3}{g\ell\left( \dfrac{m_1}{2}+(m_2+m_3)\right)\left(\dfrac{m_1}{4}+(m_2+m_3)\right)}\right), \end{aligned} \end{equation*}$

dove nel penultimo passaggio abbiamo sostituito

(12) $\begin{equation*} \omega_0=\dfrac{v_{0,x}m_3}{\ell\left(\dfrac{1}{4}m_1+(m_2+m_3)\right)}. \end{equation*}$

Continuando i calcoli troviamo:

$\boxcolorato{fisica}{\theta_{\max}=\arccos\left(1-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{v^2_{0,x}m^2_3}{g\ell\left( \dfrac{m_1}{2}+(m_2+m_3)\right)\left(\dfrac{m_1}{4}+(m_2+m_3)\right)}\right) \right) .}$

Osserviamo che il precedente risultato è ben definito se e solo se vale:

(13) $\begin{equation*} -1\leq 1-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{v^2_{0,x}m^2_3}{g\ell\left( \dfrac{m_1}{2}+(m_2+m_3)\right)\left(\dfrac{m_1}{4}+(m_2+m_3)\right)}\right) \leq 1, \end{equation*}$

ovvero

(14) $\begin{equation*} \dfrac{v^2_{0,x}m^2_3}{g\ell\left( \dfrac{m_1}{2}+(m_2+m_3)\right)\left(\dfrac{m_1}{4}+(m_2+m_3)\right)}\leq 4. \end{equation*}$

Svolgimento punto 3.

Durante l’urto, l’unico contributo di forza esterna impulsiva proviene dal vincolo in $C$ . Questa forza esterna genera un impulso $\vec{J}$ , che è uguale alla variazione della quantità di moto totale del sistema dovuta all’urto. Le quantità di moto totali del sistema immediatamente prima e immediatamente dopo l’urto sono date rispettivamente da:

(15) $\begin{equation*} \vec{p}_i = m_3v_{0,x}\,\hat{x} + m_3v_{0,y}\,\hat{y}, \end{equation*}$

(16) $\begin{equation*} \vec{p}_f = (m_3 + m_2)\omega_0 \ell \,\hat{x} + m_1\omega_0 \frac{\ell}{2}\,\hat{x}. \end{equation*}$

Applichiamo la seconda legge della dinamica in forma impulsiva al sistema fisico in esame, facendo uso delle due equazioni precedentemente stabilite:

(17) $\begin{equation*} \vec{J}=\vec{p}_f-\vec{p}_i= (m_3+m_2)\omega_0 \ell \,\hat{x}+m_1\omega_0\dfrac{\ell}{2}\,\hat{x}-m_3v_{0,x}\,\hat{x}-m_3v_{0,y}\,\hat{y}, \end{equation*}$

cioè

$\boxcolorato{fisica}{\vec{J}=\left((m_3+m_2)\omega_0 \ell +m_1\omega_0\dfrac{\ell}{2}-m_3v_{0,x}\right)\hat{x}-m_3v_{0,y}\,\hat{y}.}$

Di seguito rappresentiamo le componenti dell’impulso lungo gli assi $x$ e $y$ .

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