Esercizio urti 39

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L’Esercizio Urti 39 è il trentanovesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 38. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

Testo esercizio urti 39

Esercizio 39 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Osserviamo dal sistema di riferimento fisso Oxyz rappresentato in figura 1 un’asta rigida di massa trascurabile e lunghezza $\ell$ . Questa è sospesa da un’estremità attraverso una cerniera minuta $C$ , solidamente fissata a un punto su una guida orizzontale che coincide con l’asse $x$ . L’asta, capace di ruotare liberamente e senza attrito attorno a $C$ , porta due masse puntiformi $m_1$ e $m_2$ , collocate rispettivamente nel centro e nell’estremità libera. Inizialmente, l’asta è ferma in posizione verticale.

Consideriamo poi un corpo di massa $m_3$ , trattato come un punto materiale, che si muove nel piano verticale $xy$ e impatta la massa $m_2$ , rimanendovi successivamente unito. La velocità $\vec{v}_0$ del corpo $m_3$ poco prima della collisione presenta componenti $v_{0x}$ e $v_{0y}$ lungo gli assi $x$ e $y$ , rispettivamente. Sono richieste le determinazioni di:

la velocità angolare $\omega_0$ dell’asta subito dopo la collisione in funzione di $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ , $v_{0,x}$ e $\ell$ ;
l’ampiezza massima dell’angolo $\theta_{\text{max}}$ che l’asta raggiunge a seguito dell’urto in funzione $v_{0,x}$ , $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ , $g$ , $\ell$ e $v_{0,x}$ ;
l’impulso $\vec{J}$ esercitato dalla reazione della cerniera durante la collisione sull’asta in funzione di $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ , $\omega_0$ , $\ell$ , $v_{0,x}$ e $v_{0,y}$ .

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Prerequisiti.

Rivediamo le principali leggi della dinamica per i corpi rigidi o per un sistema di punti materiali discreto, comunemente note come prima e seconda legge cardinale. Sono formulate come segue:

$\begin{cases} \sum_{k=1}^n \vec{F}_k^{\text{\tiny ext}} = \frac{d\vec{P}_t}{dt} \\ \sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{\tiny ext}} - m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \frac{d\vec{L}_O}{dt} \end{cases}$

dove
- $\sum_{k=1}^n \vec{F}_k^{\text{\tiny ext}}$ è la somma vettoriale di tutte le forze esterne applicate al sistema fisico in esame.
- $\vec{P}_t$ rappresenta la quantità di moto totale del fisico in esame.
- $\sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{\tiny ext}}$ indica la somma vettoriale dei momenti di tutte le forze esterne rispetto a un polo arbitrario.
- $\vec{v}_O$ è la velocità di tale polo, il quale è un punto generico di riferimento per il calcolo del momento angolare e non deve necessariamente coincidere con l’origine del sistema di coordinate.
- $\vec{v}_{CM}$ designa la velocità del centro di massa del sistema.
- $\vec{L}_O$ è il momento angolare del sistema rispetto al polo $O$ .
- Un urto anelastico è un tipo di collisione tra due o più corpi in cui parte dell’energia cinetica del sistema non si conserva come energia cinetica dopo l’urto. A differenza degli urti elastici, dove l’energia cinetica totale del sistema rimane invariata prima e dopo la collisione, negli urti anelastici una parte di questa energia viene trasformata in altre forme di energia, come energia interna, calore, o contribuisce a deformazioni permanenti dei corpi coinvolti.
  - Non conservazione dell’energia cinetica: La somma delle energie cinetiche dei corpi prima dell’urto è maggiore rispetto a quella dopo l’urto. La differenza di energia si trasforma in altre forme, come espresso dalla formula:
    $\sum_{i} \frac{1}{2} m_i v_{i,\text{prima}}^2 > \sum_{i} \frac{1}{2} m_i v_{i,\text{dopo}}^2$
  - Conservazione della quantità di moto: La quantità di moto totale del sistema si conserva durante l’urto se non ci sono vincoli. Questo principio è valido per tutti i tipi di collisioni e si esprime come:
    $\sum_{i} m_i v_{i,\text{prima}} = \sum_{i} m_i v_{i,\text{dopo}}$
    
    La precedente equazione esprime la conservazione della quantità di moto del sistema, sia prima che dopo l’urto.
  - Possibili deformazioni permanenti: I corpi coinvolti nell’urto possono subire deformazioni permanenti a causa dell’energia assorbita durante la collisione.
- Un urto completamente anelastico è un caso specifico di urto anelastico in cui i corpi coinvolti nella collisione si uniscono, formando un unico corpo che si muove con una velocità comune dopo l’urto. Se non agiscono vincoli, cioè forze esterne di natura impulsiva nell’urto, si conserva la quantità di moto. Un classico esempio di urto completamente anelastico si verifica quando un proiettile viene sparato in un blocco di legno sospeso e rimane incastrato al suo interno. Dopo l’urto, il proiettile e il blocco si muovono insieme come un unico corpo. La quantità di moto totale è conservata, mentre parte dell’energia cinetica iniziale viene dissipata in forme non recuperabili, come calore o energia interna del sistema combinato. Se nell’urto in questione è presente un vincolo non si conserva la quantità di moto del sistema fisico in esame.
Queste leggi descrivono come le forze esterne e i loro momenti influenzano il moto traslazionale e rotazionale di un corpo rigido.
Ricordiamo che il momento angolare $\vec{L}_{0}'$ di un punto materiale rispetto a un polo $O^\prime$ è dato dalla formula:

$\vec{L}_{0'} = \vec{r}^{\,'} \wedge \vec{p}$

dove $\vec{r}^{\,'}$ rappresenta la posizione del punto materiale rispetto al polo scelto, e $\vec{p}$ è la quantità di moto del punto materiale. La quantità di moto è misurata rispetto ad un sistema di riferimento fisso $Oxyz$ , come rappresentato in figura 3.
Per la seconda legge della dinamica abbiamo:

$\vec{F}=\dfrac{d\vec{p}}{dt},$

da cui

$\vec{F}dt=d\vec{p},$

conseguentemente

$\int_{0}^{t}\vec{F}dt^\prime=\int_{p_i}^{p_f}d\vec{p},$

cioè

$\int_{0}^{t}\vec{F}dt^\prime=\vec{p}_f-\vec{p}_i,$

dove $\vec{F}$ è la forza impulsiva che si manifesta nell’urto tra $m_3$ e $m_2$ , $\vec{p}_f$ è la quantità di moto del sistema dopo l’urto e $\vec{p}_i$ è la quantità di moto del sistema prima dell’urto. Per definizione sappiamo che l’impulso è definito come:

$\vec{J}\coloneqq\int_{0}^{t}\vec{F}\,dt^\prime=\vec{p}_f-\vec{p}_i.$

Questo enunciato è noto come teorema dell’impulso e della quantità di moto e connette l’impulso con la variazione della quantità di moto di un corpo.
Per un sistema di punti materiali, la seconda legge della dinamica afferma che la somma delle forze esterne è pari alla derivata temporale della quantità di moto totale del sistema:

$\sum \vec{F}_{\text{est}} = \dfrac{d\vec{p}}{dt} ,$

o anche

$\sum \vec{F}_{\text{est}} dt = d\vec{p} ,$

ovvero

$\int_{0}^{t} \sum \vec{F}_{\text{est}} dt' = \int_{\vec{p}_i}^{\vec{p}_f} d\vec{P} ,$

in altri termini

$\int_{0}^{t} \sum \vec{F}_{\text{est}} dt' = \vec{p}_f - \vec{p}_i,$

dove $\sum \vec{F}_{\text{est}}$ rappresenta la somma vettoriale delle forze esterne agente sul sistema di punti materiali, $\vec{P}_f$ è la quantità di moto totale del sistema dopo l’interazione e $\vec{P}_i$ è la quantità di moto totale del sistema prima dell’interazione. Per definizione, l’impulso totale del sistema è dato da:

$\vec{J} \coloneqq \int_{0}^{t} \sum \vec{F}_{\text{est}} \, dt' = \vec{p}_f - \vec{p}_i.$

Questo principio è noto come teorema dell’impulso e della quantità di moto e stabilisce una relazione diretta tra l’impulso applicato a un sistema di punti materiali e la variazione della sua quantità di moto totale.