Serie di Fourier – Teoria e applicazioni

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Le serie di Fourier, originariamente sviluppate per la risolvere l’equazione del calore, costituiscono un importante strumento dell’Analisi Matematica. Sotto opportune ipotesi, esse permettono di scrivere una funzione periodica come somma di infinite funzioni sinusoidali del tipo $\sin(kx), \cos(kx)$ al variare di $k \in \mathbb{N}$ . Le potenzialità di questa scrittura in serie sono notevoli, in quanto consentono di ridurre un problema relativo a una generica funzione periodica a più problemi relativi a funzioni sinuoidali che possono essere di più facile soluzione, potendo così ottenere una soluzione anche al problema originario. In questa dispensa gettiamo le basi teoriche sulle serie di Fourier e le loro applicazioni. Più in dettaglio, i temi trattati sono i seguenti:

Definizione di coefficienti e serie di Fourier;
Relazione tra le proprietà di una funzione periodica e il suo sviluppo in serie di Fourier;
Criteri di convergenza puntuale, uniforme e in norma quadratica delle serie di Fourier;
Derivazione e integrazione delle serie di Fourier;
Applicazioni alla risoluzioni di equazioni alle derivate parziali, come quelle del calore e delle onde.

La dispensa risulta corredata di numerosi grafici che permettono al lettore di toccare con mano gli sviluppi in serie considerati e le loro interpretazioni pratiche. Il testo è quindi utile sia a chi desidera un’approccio intuitivo all’argomento, sia a chi desidera approfondirlo dal punto di vista teorico. Cosa aspetti quindi? Continua pure la lettura!

Segnaliamo inoltre le seguenti pagine su argomenti collegati:

Sommario

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Questa dispensa consiste in un’introduzione alle serie di Fourier. Vengono fornite le motivazioni intuitive della teoria, i principali teoremi di convergenza e numerosi esempi illustrati. Infine, viene presentata un’applicazione delle serie di Fourier alla risoluzione delle equazioni del calore e delle onde.

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi, Roberto Castorrini

Revisori: Valerio Brunetti, Davide La Manna, Daniele Ritelli, Sara Sottile, Matteo Talluri.

Notazioni

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$\mathbb{N}$	insieme dei numeri naturali positivi;
$\mathbb{Z}$	insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{R}$	insieme dei numeri reali;
$\mathbb{C}$	insieme dei numeri complessi;
$\langle f, g \rangle_H$	prodotto scalare nello spazio vettoriale $H$ ;
$\tilde{P}_{2\pi}$	spazio delle funzioni reali periodiche di periodo $2\pi$ , limitate e integrabili secondo Riemann;
$\tilde{P}_{2\pi}(\mathbb{C})$	spazio delle funzioni a valori complessi, periodiche di periodo $2\pi$ , limitate e integrabili secondo Riemann;
$\langle f, g \rangle$	prodotto scalare nello spazio $\tilde{P}_{2\pi}$ ;
$f(x_0^-)$ , $f(x_0^+)$	limiti rispettivamente sinistro e destro della funzione $f$ nel punto $x_0$ .

Introduzione

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In questa dispensa si vuole introdurre il concetto di Serie di Fourier di una funzione di variabile reale. Lo scopo delle serie di Fourier è di decomporre una funzione in una somma di funzioni elementari, generalmente trigonometriche. Si vuole cioè comprendere se una funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ possa essere scritta come una combinazione lineare infinita, ovvero una serie, di funzioni trigonometriche, cioè

(1) $\begin{equation*} f(x)=a_0+\sum_{k=1}^\infty \big( a_{k}\cos(k x)+b_{k}\sin(kx) \big) \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

con $a_0\in \mathbb{R}$ e $a_k,b_k$ successioni in $\mathbb{R}$ . Le potenzialità di simili identità sono innumerevoli: mostreremo nelle sezioni 3 e 4 alcune applicazioni.

In analogia a quanto avviene negli spazi euclidei, l’idea soggiacente alla (1) è la seguente: si vede $f$ come un elemento di uno spazio vettoriale e, grazie a un’opportuna nozione di prodotto scalare in tale spazio, si può proiettare $f$ su particolari funzioni aventi proprietà simili ai versori di una base ortonormale; quindi si cerca di scrivere $f$ come la serie di tali proiezioni.

Il primo a proporre un tale approccio allo scopo di studiare la propagazione del calore fu il matematico francese J.B. Joseph Fourier (1768–1830). Nei suoi primi risultati Fourier concludeva che una qualsiasi funzione periodica continua (o regolare a tratti) poteva essere espressa come somma di funzioni trigonometriche. I risultati di Fourier furono ripresi, formalizzati e generalizzati più avanti da Dirichlet¹ (1805-1859) e Riemann² (1826-1866).

In relazione a (1), ci porremo le seguenti domande.

$\quad$

Quali funzioni $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ si possono scrivere come in (1)?

In tal caso, che relazione esiste tra $f$ e i coefficienti $a_0,a_k,b_k$ ?

Esistono nozioni di convergenza diversa da quella puntuale per cui la serie al membro di destra in (1) converga a $f$ ?

Nel seguito affronteremo queste questioni evidenziandone i punti principali, nonostante una comprensione completa della teoria sia possibile soltanto attraverso lo studio degli spazi di Hilbert, per la quale rimandiamo il lettore a testi specializzati: consigliamo ad esempio [2, capitoli 5 e 6] e [8, capitolo 4].

La dispensa è così organizzata.

$\quad$

Nella sezione 1 introduciamo le serie di Fourier: vedremo che esse sono l’analogo della scrittura in componenti di un vettore $v$ rispetto a una base ortonormale dello spazio ambiente in cui esso si trova. Considereremo un particolare spazio $\tilde{P}_{2\pi}$ di funzioni periodiche, determineremo una sua base hilbertiana e chiameremo la scrittura in componenti di una funzione $f$ rispetto a tale base serie di Fourier di $f$ .

Nella sezione 2 studieremo le relazioni tra una funzione $f$ e la sua serie di Fourier. Forniremo formule per il calcolo dei coefficienti di Fourier $a_k,b_k$ e tratteremo la relazione tra questi e le simmetrie della funzione. Inoltre affronteremo il problema della convergenza della serie di Fourier alla funzione che l’ha generata: studieremo la convergenza di tipo puntuale, uniforme e rispetto a una naturale distanza introdotta nello spazio di funzioni che stiamo considerando. Si stabiliranno poi delle condizioni sufficienti per l’integrazione e la derivazione delle serie di Fourier.

Nella sezione 3 presenteremo numerosi esempi illustrati di calcolo delle serie di Fourier di funzioni periodiche. La convergenza della serie potrà essere intuita attraverso i grafici raffiguranti alcune somme parziali della serie in (1); utilizzeremo inoltre i risultati di convergenza per determinare delle interessanti identità per delle serie numeriche.

Nella sezione 4 mostreremo due applicazioni pratiche molto importanti delle serie di Fourier: la soluzione delle equazioni del calore e delle onde. Il primo di questi problemi, come già anticipato, è stato il principale motivo che portò Fourier a sviluppare questo strumento.

In appendice A studieremo in maggiore dettaglio le proprietà astratte del prodotto scalare e della norma in $\tilde{P}_{2\pi}$ , chiarendo ulteriormente il contesto matematico in cui operano le serie di Fourier.

Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav (1829). “Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données” . Journal für die reine und angewandte Mathematik. ↩

Mascre, D.; Riemann, Bernhard (1867), “Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Trigonometric Series”, in Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Elsevier (published 2005), p. 49, ISBN 9780080457444. ↩

Le serie di Fourier

Motivazioni.

In questa sezione introduciamo il principale oggetto di studi di questa dispensa: le serie di Fourier. L’idea principale dell’argomento è fornita dalla seguente digressione. Nello spazio euclideo $\mathbb{R}^n$ dotato del prodotto scalare usuale

(2) $\begin{equation*} \langle a , b \rangle_{\mathbb{R}^n} \coloneqq \sum_{i=1}^n a_i b_i, \end{equation*}$

risulta definita una norma, ossia un modo per misurare le lunghezze di vettori, definita come

(3) $\begin{equation*} \|a\|= \sqrt{\langle a , a \rangle_{\mathbb{R}^n}} = \left( \sum_{i=1}^n a_i^2\right)^{\frac{1}{2}} \qquad \forall a \in \mathbb{R}^n. \end{equation*}$

È inoltre possibile definire particolari basi $\{e_1,\dots,e_n\}$ , dette ortonormali, costituite da vettori di norma unitaria a due a due ortogonali, cioè tali che

(4) $\begin{equation*} \langle e_i , e_j \rangle_{\mathbb{R}^n} = \begin{cases} 1 & \text{se } i=j\\ 0 & \text{se } i \neq j. \end{cases} \end{equation*}$

Ad esempio, la base canonica di $\mathbb{R}^n$

(5) $\begin{equation*} \mathcal{E} = \{e_1,\dots,e_n\} = \{(1,0,\dots,0),(0,1,0,\dots,0),\dots,(0,\dots,0,1) \} \end{equation*}$

è ortonormale. Data una base ortonormale $\mathcal{E}$ , è noto che un generico vettore $v \in \mathbb{R}^n$ si può scrivere come somma delle sue proiezioni sugli elementi della base:

(6) $\begin{equation*} v= \sum_{k=1}^n \langle v , e_k \rangle_{\mathbb{R}^n} e_k, \end{equation*}$

dove $\langle v , e_k \rangle_{\mathbb{R}^n} e_k$ è appunto la proiezione di $v$ lungo $e_k$ .

L’idea di utilizzare il prodotto scalare per scomporre un vettore $v \in \mathbb{R}^n$ nella somma delle sue componenti rispetto a una base ortonormale ha innumerevoli applicazioni.

Una domanda naturale è pertanto sotto quali condizioni la si possa riprodurre in spazi vettoriali di dimensione infinita costituiti da funzioni, dotati di un prodotto scalare. Tra questi, il seguente riveste particolare rilevanza nelle applicazioni.

Definizione 1.1 (lo spazio $\tilde{P}_{2\pi}$ ). Si denota con $\tilde{P}_{2\pi}$ l’insieme costituito dalle funzioni $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ periodiche di periodo $2\pi$ , integrabili secondo Riemann in $[0,2\pi]$ .

$\quad$

Rispetto alla somma di funzioni e al prodotto per costanti, $\tilde{P}_{2\pi}$ è uno spazio vettoriale. Ci si può allora porre la seguente domanda.

Domanda 1.2. È possibile generalizzare il concetto di base ortonormale in $\tilde{P}_{2\pi}$ così da ottenere l’analogo di (6) in $\tilde{P}_{2\pi}$ ?

Ci si chiede quindi se si possa determinare una sorta di base ortonormale di $\tilde{P}_{2\pi}$ , ossia un insieme (infinito) $\mathcal{E}$ di funzioni di $\tilde{P}_{2\pi}$ che permettano di scrivere ogni funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ come serie delle proiezioni di $f$ rispetto alle funzioni della base $\mathcal{E}$ . Tale procedura richiede appunto che sia definito il concetto di prodotto scalare su $\tilde{P}_{2\pi}$ .

Osserviamo che un vettore $v \in \mathbb{R}^n$ può essere pensato come una funzione $v \colon \{1,\dots,n\} \to \mathbb{R}$ , ossia come una funzione che associa a ogni numero naturale $i$ tra $1$ e $n$ un numero reale, costituito dalla sua componente $i$ -esima. Analogamente, una funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ , cioè una funzione $f \colon [0,2\pi] \to \mathbb{R}$ , può essere intuitivamente pensata come un vettore a infinite componenti, aventi come indici i numeri reali nell’intervallo $[0,2\pi]$ . Pertanto risulta naturale definire il prodotto scalare tra due funzioni $f,g \in \tilde{P}_{2\pi}$ come

(7) $\begin{equation*} \langle f,g \rangle \coloneqq \int_0^{2\pi}f(x) g(x) \,\mathrm{d} x. \end{equation*}$

Si vede che questa definizione è analoga a (2): si effettua il prodotto “componente per componente” e se ne calcola la somma (o l’integrale).

Analogamente ai vettori in spazi euclidei, due funzioni $f,g$ si dicono ortogonali se $\langle f, g \rangle=0$ .

Nell’appendice A studiamo in maggiore dettaglio le proprietà di questo prodotto scalare; qui ci limitiamo a sottolineare che, se $f,g \in \tilde{P}_{2\pi}$ , allora il valore dell’integrale in (7) è lo stesso per ogni intervallo di lunghezza $2\pi$ , infatti per ogni $y \in \mathbb{R}$ , esiste $k \in \mathbb{Z}$ tale che $y \in (2k\pi,2(k+1)\pi]$ e dunque si ha

(8) $\begin{equation*} \begin{split} \int_y^{y+2\pi} \! f(x) \,\mathrm{d} x &= \int_{y}^{2(k+1)\pi} \! f(x) \,\mathrm{d} x + \int_{2(k+1)\pi}^{y+2\pi} f(x) \,\mathrm{d} x \\ &= \int_{y-2k\pi}^{2\pi} \! f(x) \,\mathrm{d} x + \int_{0}^{y-2k\pi} \! f(x) \,\mathrm{d} x \\ &= \int_0^{2\pi} \! f(x) \,\mathrm{d} x. \end{split} \end{equation*}$

Tale prodotto scalare definisce una “norma”, analogamente a quanto avviene in $\mathbb{R}^n$ :

(9) $\begin{equation*} \|f\| = \sqrt{\langle f,f\rangle} = \left( \int_0^{2\pi}f(x)^2 \,\mathrm{d} x. \right)^{\frac{1}{2}} \qquad \forall f \in \tilde{P}_{2\pi}. \end{equation*}$

In appendice A il lettore può trovare la definizione generale di norma e le proprietà di questa appena definita. Abbiamo inserito il termine “norma” tra virgolette poiché, a rigore, essa è soltanto una seminorma (osservazione A.6). Ciononostante sarebbe formalmente possibile definire una norma come quella in (9), come chiarito nell’osservazione A.6. Pertanto continueremo ad usare il termine norma nel corso della dispensa per riferici a tale seminorma, sebbene esso sia leggermente impreciso. Come una base ortonormale in $\mathbb{R}^n$ è un insieme di vettori ortonormali (cioè di norma unitaria e a due a due ortogonali) e completo (cioè l’unico vettore ortogonale a ognuno di essi è quello nullo), possiamo definire una nozione analoga, detta di base hilbertiana, in $\tilde{P}_{2\pi}$ .

Definizione 1.3 (base hilbertiana). Una famiglia di funzioni $\mathcal{E}=\{e_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ in $\tilde{P}_{2\pi}$ è detta una base hilbertiana di $\tilde{P}_{2\pi}$ se soddisfa le seguenti condizioni:

$\quad$

ortonormalità³:

(10) $\begin{equation*} \langle e_k, e_h \rangle = \delta_{kh} \coloneqq \begin{cases} 1 & \text{se } k = h\\ 0 & \text{se } k \neq h; \end{cases} \end{equation*}$

completezza: l’unica funzione continua⁴ $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ ortogonale a tutte le $e_k$ è la funzione nulla, ossia
(11) $\begin{equation*} f \text{ continua e } \langle f, e_k \rangle = 0 \quad \forall k \in \mathbb{N} \qquad \iff \qquad f(x) = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

Osservazione 1.4. (differenza tra basi algebriche e hilbertiane). Nonostante l’analogia tra i concetti di base ortonormale in $\mathbb{R}^n$ e quello di base hilbertiana in $\tilde{P}_{2\pi}$ , una base hilbertiana di $\tilde{P}_{2\pi}$ non è in generale una sua base algebrica. Infatti, una base $\mathcal{B}$ algebrica (detta anche “di Hamel”) di uno spazio vettoriale $H$ è un insieme di vettori tali che ogni elemento di $H$ si scrive in modo unico come combinazione lineare finita degli elementi di $\mathcal{B}$ .

Vedremo invece (teoremi 2.14 e A.11) che ogni elemento $f \in\tilde{P}_{2\pi}$ si può ottenere come limite di una serie, ossia come una sorta di combinazione lineare infinita di elementi di una base hilbertiana $\mathcal{E}$ di $\tilde{P}_{2\pi}$ .

Sottolineiamo inoltre che la definizione di base hilbertiana può essere data nel contesto più generale degli spazi di Hilbert, risultando dunque leggermente diversa da questa proposta, che è un caso particolare della stessa applicata allo spazio $\tilde{P}_{2\pi}$ .

Le nozioni di sistema e base ortonormale permettono di definire quella di proiezione, per cui valgono proprietà analoghe a quelle delle proiezioni in spazi euclidei. Riportiamo inoltre la disuguaglianza di Bessel, che è una sorta di “versione parziale” del teorema di Pitagora in $\tilde{P}_{2\pi}$ , che corrisponde invece all’identità di Parseval (74).

Proposizione 1.5. Sia $\{e_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ una successione di funzioni ortonormali in $\tilde{P}_{2\pi}$ , cioè soddisfacenti (10), e sia $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ . Si fissi $n \in \mathbb{N}$ e si consideri la proiezione $f_n \coloneqq \sum_{k=1}^n \langle f, e_k \rangle e_k$ di $f$ su $V_n\coloneqq \operatorname{span}(e_1,\dots,e_n)$ . Valgono le seguenti proprietà.

$\quad$

Teorema di Pitagora. $\displaystyle \| f_n\|^2 = \sum_{k=1}^n \big(\langle f, e_k \rangle\big)^2$ .

Proprietà della proiezione. $f-f_n$ è ortogonale a ogni elemento di $V_n$ e $f_n$ è l’elemento di $V_n$ che minimizza la distanza $\|f- u\|$ al variare di $u \in V_n$ .

Disuguaglianza di Bessel. Si ha $\|f_n\| \leq \|f\|$ e

(12) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} (\langle f, e_k \rangle)^2 \leq \|f\|^2. \end{equation*}$

In particolare, vale $\displaystyle \lim_{k \to +\infty} \langle f, e_k \rangle = 0$ .

$\quad$

Dimostrazione.

Dalla definizione di $f_n$ segue
(13) $\begin{equation*} \|f_n\|^2 = \left \langle \sum_{k=1}^n \langle f, e_k \rangle e_k, \sum_{j=1}^n \langle f, e_j \rangle e_j \right \rangle = \sum_{k,j=1}^n \langle f, e_k \rangle \langle f, e_j \rangle \langle e_j, e_k \rangle \overset{10}{=} \sum_{k=1}^n \big(\langle f, e_k \rangle\big)^2, \end{equation*}$

dove nella seconda uguaglianza abbiamo usato la bilinearità del prodotto scalare.

Per mostrare che $f - f_n$ è ortogonale a ogni elemento di $V_n$ , basta provare che $f-f_n$ è ortogonale a $e_1,\dots,e_n$ . Fissiamo quindi $j \in \{1,\dots,n\}$ ; si ha
(14) $\begin{equation*} \langle f - f_n, e_j \rangle = \langle f, e_j \rangle - \left \langle \sum_{k=1}^n \langle f,e_k \rangle e_k, e_j \right \rangle = \langle f, e_j \rangle - \sum_{k=1}^n \langle f,e_k \rangle \langle e_k,e_j \rangle \overset{10}{=} \langle f, e_j \rangle - \langle f, e_j \rangle = 0. \end{equation*}$

Sia $u \in V_n$ . Vale

(15) $\begin{equation*} \|u- f\|^2 = \langle (u - f_n)+(f_n-f), (u - f_n)+(f_n-f) \rangle = \|u - f_n\|^2 + \|f_n- f\|^2 \geq \|f_n - f\|^2, \end{equation*}$

dove la seconda uguaglianza segue dal fatto che $u-f_n \in V_n$ e che $f_n-f$ è ortogonale a ogni elemento di $V_n$ . La disuguaglianza (15) implica che $f_n$ minimizza la distanza da $f$ tra tutti gli elementi di $V_n$ .

Si ha
(16) $\begin{equation*} \begin{split} \|f\|^2 \langle (f - f_n) + f_n , (f - f_n) + f_n \rangle &= \langle f - f_n , f - f_n \rangle + 2 \langle f - f_n, f_n \rangle + \langle f_n , f_n \rangle \\ &= \|f - f_n\|^2 + \|f_n\|^2 \\ &\geq \|f_n\|^2 \end{split} \end{equation*}$

dove $\langle f-f_n, f_n \rangle=0$ segue dal fatto che $f_n \in V_n$ e che $f-f_n$ è ortogonale a ogni elemento di $V_n$ . Passando al limite tale disuguaglianza per $n \to + \infty$ , si ottiene (12). Poiché la serie numerica in (12) è convergente, il suo termine generale è infinitesimo, e ciò prova l’ultima asserzione.

Vedremo più avanti, con l’identità di Parseval (74), che se il sistema $\{e_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ è una base hilbertiana, nella disuguaglianza di Bessel vale in realtà l’uguaglianza.

Tra le funzioni di $\tilde{P}_{2\pi}$ , assumono particolare importanza per le applicazioni le funzioni trigonometriche definite da

(17) $\begin{equation*} \cos(kx), \quad \sin(kx) \qquad \forall k \in \mathbb{N}\cup\{0\},\,\,\, \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Risulta quindi naturale porsi la seguente domanda.

Domanda 1.6. Esiste una base hilbertiana di $\tilde{P}_{2\pi}$ formata da opportuni multipli delle funzioni in (17)?

Il simbolo $\delta_{kh}$ è detto delta di Kronecker. ↩

La continuità di $f$ è essenziale perché in $\tilde{P}_{2\pi}$ vi sono funzioni discontinue aventi prodotto scalare nullo con qualunque altra funzione, ma non identicamente nulle: si veda la funzione definita in (253). L’ipotesi di continuità si potrebbe rimuovere con l’introduzione dell’integrale di Lebesgue e identificando funzioni che coincidono quasi ovunque, ma ciò esula dagli scopi della dispensa. ↩

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