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Esercizio moti relativi 33

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio sui moti relativi 33 è il trentatreesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 34, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 32. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 33

Esercizio 33 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una piattaforma circolare di raggio R si trova su di un piano orizzontale ruotando con velocità angolare costante \vec{\omega}_0 in senso antiorario rispetto al proprio asse di simmetria e su di essa è posto un punto materiale di massa m. Tale punto è vincolato a muoversi su di una guida circolare lisca di raggio r<R concentrica alla piattaforma con velocità tangenziale costante di modulo v_0 rispetto alla piattaforma in senso antiorario. Calcolare la reazione vincolare \vec{N} orizzontale della guida rispetto ad un sistema di riferimento fisso e non inerziale solidale con la piattaforma che ruota. Si verifichi che la reazione vincolare abbia la stessa espressione analitica in entrambi i sistemi di riferimento. Di seguito, in figura 1, è mostrata la geometria del problema, dove \hat{t} indica il versore tangente alla guida circolare di raggio r.

 
 

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Figura 1: geometria del problema.

 

Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


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