Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale
tale che
,
e l’asse
coincida istante per istante con il punto dell’asta che giace nel piano
che ovviamente si muove di moto circolare uniformemente accelerato, e osserviamo il punto materiale
. Nella direzione dello spostamento lungo l’asta il punto materiale risulta essere soggetto solo alla forza peso poiché non sono presenti forze fittizie in quella direzione. Quindi per (
1) si trova che
, e quindi la sua legge oraria nel sistema di riferimento non inerziale è
(3)
Poniamo e otteniamo dalla precedente equazione
(4)
svolgendo i calcoli si ottiene il tempo che il punto materiale impiega per raggiungere la sommità dell’asta, cioè
(5)
La precedente equazione per essere ben definita deve valere
(6)
Ora notiamo che
(7)
che chiaramente è vero, e
(8)
che è vero, quindi entrambe le soluzioni matematicamente sono accettabili, prendiamo l’unica soluzione accettabile fisicamente tra le due, i.e. il tempo più piccolo tra , ovvero
e
(9)
A questo tempo la velocità verticale, denotata con , vale
(10)
Per calcolare le altre componenti delle velocità rispetto al sistema inerziale dobbiamo considerare che l’asta sta ruotando in modo accelerato. Calcoliamo la sua velocità angolare al tempo , cioè
(11)
dove si è tenuto conto del fatto che l’asta parte da ferma e quindi , inoltre, di seguito, in figura 2 rappresentiamo l’asta vista dall’alto.
Al tempo il punto materiale ha una componente della velocità rispetto al sistema fisso diretta tangenzialmente alla traiettoria dell’asta (si ricorda che tutti i punti dell’asta si muovono di moto circolare rispetto al sistema di riferimento fisso, tranne, ovviamente, il punto materiale perché ha anche una componente della velocità verticale) e quindi grazie alla precedente equazione abbiamo
(12)
La precedente equazione rappresenta il modulo della componente della velocità diretta tangenzialmente alla traiettoria di rispetto al sistema fisso nell’istante . Dopo di che,
calcoliamo lo spazio angolare percorso dall’asta nel tempo , cioè
(13)
Avvalendoci della precedente equazione possiamo proiettare la velocità tangenziale rispetto agli assi e del sistema fisso. Di seguito, in figura 3, diamo una rappresentazione dell’angolo e della direzione tangente e normale al moto di che sono rappresentati rispettivamente dai versori e .
Le componenti della velocità lungo l’asse delle e l’asse delle sono rispettivamente
(14)
e
(15)
Dalla geometria del problema risulta chiaro che
(16)
e
(17)
Le posizioni di lungo l’asse delle , l’asse delle e l’asse delle al tempo sono rispettivamente
(18)
e
(19)
Di seguito, in figura 4, rappresentiamo , e .
Le componenti della velocità di lungo l’asse delle , l’asse delle e l’asse delle al tempo sono rispettivamente
(20)
e
(21)
Nel punto il punto materiale ha velocità , lasciato tale punto il punto materiale si muoverà di moto parabolico nello spazio.
Per prima cosa calcoliamo il tempo che intercorre dal momento in cui il punto materiale lascia l’asta a quello in cui impatta nel piano nel punto .
L’equazione oraria lungo l’asse a partire dall’istante è
(22)
e ponendo si trova
(23)
dove l’unica soluzione accettabile è
(24)
poiché l’altra è negativa.
L’istante di tempo
(25)
è l’istante di tempo il cui il punto materiale si trova nel piano , inoltre lungo l’asse e il punto materiale si muove di moto rettilineo uniforme, quindi le sue posizioni lungo l’asse delle e delle sono rispettivamente
(26)
Se valutiamo il precedente sistema al tempo , il tempo cioè che passa tra quando il punto lascia l’asta e quando arriva nel punto di coordinate , si trova che
(27)
Sfruttando quanto ottenuto fino ad’ora dal precedente sistema abbiamo
e